Типовой расчёт 1

3

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

НӘТИЖЕЛЕРДІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨҢДЕУ

5В070200 -Автоматтандыру және басқарумамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға

арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

Алматы 2017

Математикалық модельдеу және бағдарламалық қамтамасыз ету кафедрасы АЛМАТЫ

ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС

УНИВЕРСИТЕТІ

4

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.

Нәтижелерді математикалық өңдеу. 5В070200 -Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. - Алматы:

АЭжБУ, 2017. - 43 б.

5В070200 -Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар «Нәтижелерді математикалық өңдеу» пәнінің

№1, №2 типтік есептеулерден тұрады. Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі келтірілген.

Кестелер- 24, без.- 22, әдеб.көрсеткіші – 5 атау.

Рецензент: ЭР кафедрасының доценті Елеукулов Е.О.

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2017 ж. жоспары бойынша басылды

 «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2017 ж.

5 Кіріспе

Математикалық статистиканың негізгі есеғптерінің бірі әртүрлі зерттеулердің нәтижелерін өңдеу әдістерін оқып үйрену болып табылады.

Математикалық статистика ықтималдық теориясымен тығыз байланысқан. Екі пән де жаппай кездейсоқ құбылыстарды зерттейді. Ықтималдық теориясы математикалық статистика айналысатын кең ауқымдағы қолданбалы есептердің теориялық негізін қамтамасыз етеді.

Сондықтан әдістемелік нұсқаулықтар екі бөлімді есептік-графикалық жұмыстарынан тұрады. Біріншісінде ықтималдық теориясының, екіншісінде - математикалық статистиканың негізгі сұрақтары келтірілген.

Әрбір бөлімде теориялық сұрақтар мен мәліметтер келтірілген. Әрбір есептік-графикалық жұмыстардың типтік варианттың шешуі келтірілген.

Әр студенттің вариантының нөмірі топтың тізімі бойынша анықталады.

Есептік-графикалық жұмыс оқушы дәптеріне анық орындалуы керек.

1 Есептік-сызба жұмыс №1. Кездейсоқ оқиғалар мен кездейсоқ шамалар

Мақсаты: кездейсоқ оқиғалар мен оның ықтималдығы туралы түсініктермен, ықтималдық теориясының негізгі теоремаларымен таныстыру.

Үлестірім заңдарын және дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын оқып-үйрену.

1.1 Теориялық сұрақтар

1. Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар. Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың статистикалық, геометриялық және классикалық анықтамалары.

2. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Шартты ықтималдық.

3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы. Бернулли формуласы.

4. Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Пуассона формуласы.

5. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ ша- маның үлестірім заңы.

6. Интегралдық үлестірім функциясы. Үлестірім тығыздығы.

7. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі), дисперсиясы және орта квадраттық ауытқуы.

8. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі. Бірқалыпты және көрсеткіштік, сенімділік функциясы.

6 9. Қалыпты үлестірім.

10. Шектік теоремалар туралы ұғым. Үлкен сандар заңы, орталық шектік теорема.

1.2 Есептік тапсырмалар

1. Лотереяда n билет бар, оның n₁-і 1000 тенге , n₂-і - 500 тенге, n₃-і - 100 тенге ұтысты ( n n

i

i 



Табу керек:

а) 1000 тенгелі ұтысты билеттің қатысты жиілігін;

б) m сатып алынған билеттердің барлығы 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын;

в) сатып алынған m билеттердің ішінде m₁-і 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын;

г) сатып алынған m билеттердің ішінде m₁-і 1000 тенгелі, m2-і 500 тенгелі, m₃-і 100 тенгелі ( m m

i

i 



д) сатып алынған m билеттердің ішінде ең болмағанда біреуі 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын.

№ n n₁ n₂ n₃ m m₁ m₂ m₃

1.1 100 41 29 30 10 5 3 2

1.2 90 29 21 40 12 6 4 2

1.3 85 25 35 25 7 2 2 3

1.4 80 18 42 20 5 1 2 2

1.5 95 43 27 25 9 3 4 2

1.6 70 22 28 20 9 2 4 3

1.7 80 30 21 29 7 3 1 1

1.8 90 42 20 28 6 1 3 2

1.9 75 24 26 25 8 2 4 2

1.10 100 37 33 30 10 2 3 5

1.11 90 26 34 30 8 3 2 3

1.12 80 31 29 20 5 1 2 2

1.13 95 29 31 35 8 3 2 3

1.14 96 34 26 36 7 4 1 2

1.15 89 25 35 29 5 1 2 2

1.16 70 20 26 24 5 2 1 2

1.17 75 40 20 15 8 4 1 3

1.18 85 35 30 20 5 2 1 2

1.19 90 20 40 30 7 2 2 3

1.20 87 30 45 12 8 3 2 3

7

1.21 100 25 55 20 15 8 3 4

1.22 90 40 24 26 9 4 3 2

1.23 95 28 42 25 10 3 5 2

1.24 85 30 15 40 7 2 2 3

1.25 90 17 33 40 6 1 3 2

1.26 85 31 25 29 5 2 2 1

1.27 75 28 32 15 5 1 2 2

1.28 100 30 41 29 9 3 4 2

1.29 80 32 28 20 7 3 2 2

1.30 85 24 26 35 5 1 3 1

2. Станок үш түйіннен тұрады. Олар бір бірінен тәуелсіз жұмыс істейді.

Қандай да бір уақыт ішінде бірінші, екінші, үшінші түйіндердің мүлтіксіз жұмыс істеу ықтималдықтары сәйкес

p

p

а) үш түйін де мүлтіксіз жұмыс істеу;

б) тек бір түйін істен шықпау;

в) екі түйін мүлтіксіз жұмыс істеп, біреуі істен шығу;

г) ең болмағанда біреуі істен шықпау ықтималдығын табу керек.

№ ^p₁ p2 p₃ № ^p₁ p2 p₃ № ^p₁ p2 p₃

2.1 0.6 0.9 0.5 2.11 0.4 0.6 0.8 2.21 0.9 0.6 0.8 2.2 0.7 0.8 0.6 2.12 0.5 0.7 0.9 2.22 0.8 0.5 0.7 2.3 0.8 0.5 0.7 2.13 0.6 0.8 0.7 2.23 0.5 0.8 0.6 2.4 0.9 0.6 0.8 2.14 0.7 0.9 0.5 2.24 0.6 0.9 0.5 2.5 0.9 0.4 0.9 2.15 0.8 0.9 0.4 2.25 0.7 0.9 0.4 2.6 0.5 0.7 0.9 2.16 0.9 0.6 0.5 2.26 0.5 0.9 0.4 2.7 0.6 0.5 0.8 2.17 0.8 0.7 0.6 2.27 0.7 0.8 0.5 2.8 0.7 0.9 0.7 2.18 0.7 0.5 0.8 2.28 0.5 0.7 0.6 2.9 0.8 0.4 0.6 2.19 0.6 0.9 0.8 2.29 0.4 0.6 0.7 2.10 0.9 0.5 0.5 2.20 0.5 0.7 0.9 2.30 0.5 0.5 0.8 3. Бір атаулы құрылғылар үш зауытта: n₁-і бірінші, n₂-і екіншіде, n3-і үшінші зауытта дайындалады ( 1000

3 



i

ni ). Бірінші зауыт m₁% сапасыз құрылғы дайындайды, екіншісі - m₂%, үшіншісі - m₃%.

Табу керек:

а) түсу ықтималдығын табу керек;

б) өндіріске сапасыз құрылғы түсті. Осы құрылғының i – ші зауыттан болу ( i =1,2,3) ықтималдығын табу керек.

8

№ n₁ n₂ m₁ m₂ m₃ i № n₁ n₂ m₁ m₂ m₃ i 3.1 520 220 5 8 7 1 3.16 100 250 7 8 5 1 3.2 270 410 10 5 9 2 3.17 430 180 5 4 7 2 3.3 250 140 8 7 4 2 3.18 170 540 6 5 8 3 3.4 190 380 5 9 30 1 3.19 650 120 10 9 8 2 3.5 290 610 6 3 3 2 3.20 400 180 7 10 5 1 3.6 270 430 10 6 4 2 3.21 120 380 10 6 9 2 3.7 280 360 7 10 9 1 3.22 270 340 9 5 4 3 3.8 520 110 5 7 10 1 3.23 430 120 10 7 6 2 3.9 240 290 9 8 4 3 3.24 360 120 5 10 8 1 3.10 310 410 7 2 5 3 3.25 420 210 8 7 6 1 3.11 520 110 3 6 7 2 3.26 370 130 10 6 5 2 3.12 280 310 9 8 4 2 3.27 410 200 5 10 8 3 3.13 400 320 4 5 8 1 3.28 280 510 10 6 5 3 3.14 350 240 9 8 7 1 3.29 710 120 2 10 4 3 3.15 190 520 5 2 4 3 3.30 460 240 5 9 7 1

4. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р-ға тең. n сынақта А оқиғасының:

а) дәл k₁ рет;

б) k₁-ден кем емес;

в) k₂-ден артық емес;

г) ең болмағанда бір рет (жұп нұсқалар үшін, мұндағы n=10);

д) k₁ ден k₂ ге дейін (тақ нұсқалар үшін, мұндағы n=100) болу ықтималдығын табу керек.

№ k₁ k₂ p № k₁ k₂ p № k₁ k₂ p

4.1 80 90 0.8 4.11 78 92 0.75 4.21 40 60 0.8 4.2 5 9 0.8 4.12 2 6 0.7 4.22 3 7 0.3 4.3 70 95 0.8 4.13 30 85 0.7 4.23 50 80 0.3 4.4 3 6 0.7 4.14 4 9 0.7 4.24 4 6 0.3 4.5 50 60 0.7 4.15 80 95 0.6 4.25 45 75 0.4 4.6 6 8 0.7 4.16 3 5 0.6 4.26 2 5 0.4 4.7 70 80 0.7 4.17 62 82 0.6 4.27 80 95 0.4 4.8 4 7 0.6 4.18 5 7 0.8 4.28 5 8 0.8 4.9 65 80 0.75 4.19 55 75 0.8 4.29 60 90 0.6 4.10 7 9 0.75 4.20 4 8 0.8 4.30 2 8 0.7

5. Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.

Табу керек:

а) оның үлестірім функциясын F(x), оның графигін салу керек;

9

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығын.

Х х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆ а b

Р р₁ р₂ р₃ р₄ р₅ р₆

5.1 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5

Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2

5.2 Х 1 2 3 5 6 7 0 4

Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3

5.3 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4

Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2

5.4 Х 1 2 5 6 7 8 3 6

Р 0.2 0.15 0.15 0.1 0.3 0.1

5.5 Х -1 0 2 4 7 8 1 5

Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17

6.6 Х 1 2 4 5 6 8 0 7

Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17

5.7 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2

Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1

5.8 Х 1 2 3 4 7 9 0 8

Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28

5.9 Х 0 1 3 5 7 8 2 6

Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08

5.10 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2

Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1

5.11 Х 1 2 3 5 8 9 4 7

Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28

5.12 Х 1 3 4 5 7 8 2 6

Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19

5.13 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2

Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2

5.14 Х 0 2 3 4 6 8 1 7

Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28

5.15 Х -1 0 2 3 7 8 1 6

Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19

5.16 Х 0 1 2 4 6 9 -2 7

Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1

5.17 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.18 0.21

5.18 Х 1 2 3 5 7 8 -3 6

Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1

10

5.19 Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1

Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1

5.20 Х 1 2 4 5 7 9 3 8

Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28

5.21 Х -1 0 2 3 5 7 -4 4

Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3

5.22 Х -2 -1 0 3 5 7 1 6

Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3

5.23 Х 1 2 4 5 6 8 0 6

Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1

5.24 Х 1 2 3 4 7 9 5 8

Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23

5.25 Х 0 1 2 3 7 9 4 8

Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1

5.26 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.21

5.27 Х -1 0 3 5 7 8 1 6

Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15

5.28 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3

Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1

5.29 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6

Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3

5.30 Х -1 0 1 3 7 8 2 6

Р 0.26 0.14 0.15 0.2 0.1 0.15

6. Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығы мен f(x) берілген.

Табу керек:

а) оның үлестірім функциясын F(x);

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

F(x) және f(x) графиктерін салу керек.

№ f(x) а b № f(x) а b

6.1









 



 

 





3 0

3 , 3 1 2

3 , 0 , 0

x x x

x -1 2 6.16

6.2 0, 0, 6 4sin 2 ,0

6

x x

x x





  



  



0

12

 6.17

11 6.3

2

0, 1, 2

2 ,1 2

x x x x

 



  



0 1,5 6.18

6.4















3 2

5 , 2

3 , 2 , 0

x x x

x 1 2,5 6.19

6.5

2

0, 0, 1

3

6 1

(1 ),0 3

x x

x x



  



  

 



0,1 1 6.20

6.6





















2 1

, ) 1 9( 1

2 , 1 ,

0

2 x

x

x

x 0 1 6.21

6.7

2

0, 0, 1 2

6 1

,0 2

1

x x

x

 x

  



  

 



1 4

1 6.22

6.8

2

0, 3, 5

7,5,3 5

x x

x x

 



  



2 4 6.23

6.9 0, 0, 6 6sin 3 ,0

6

x x

x x





  



  



0

12

 6.24

6.10 0, 1, 2

2 2,1 2

x x

x x

 

   



0 1,5 6.25 6.11

2

0, 2, 2

1 4 , 2 2

2

x x

x x



  



    



0 1 6.26

6.12 0, 0, 5

2(1 ),0 5

5 5

x x

x x

 



   



1 4 6.27

6.13

0, 0, 6 3cos3 ,0

6

x x

x x





  



  



12

 9

 6.28

6.14

2

0, 3, 3

1 9 , 3 3

2

x x

x x



  



    



0 2 6.29

6.15 0, 1, 4

2 ,1 4

15 x x x x

 



  



2 3 6.30

12

7. Тұтынушылардың талабын зерттеу кезінде N азық-түлік дүкендері тексерілді. Қандай да бір тауардың осы дүкенде болмауы бірдей және m%-ды құрайды. Осы тауар жоқ дүкен санының үлестірім заңын құру керек (Х кездейсоқ шамасы). Осы кездейсоқ шаманың математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын табу керек.

№ N m № N m № N m

7.1 5 20 7.11 2 21 7.21 2 10

7.2 3 19 7.12 4 22 7.22 4 15

7.3 2 23 7.13 5 24 7.23 5 17

7.4 4 11 7.14 3 18 7.24 3 12

7.5 5 28 7.15 2 22 7.25 2 15

7.6 3 11 7.16 3 10 7.26 4 15

7.7 2 16 7.17 2 12 7.27 5 13

7.8 4 29 7.18 4 20 7.28 3 14

7.9 5 10 7.19 5 25 7.29 2 20

7.10 3 17 7.20 3 30 7.30 4 27

8. Тоқымашы N ұршық иіреді. Бір минут ішінде бір ұршықта жіптің үзілу ықтималдығы р-ға тең.

Табу керек:

а) жібі үзілген ұршықтар саны бойынша үлестірім заңын;

б) m ұршықтан кем емес ұршықта жіптің үзілу ықтималдығын табу керек.

№ N m р № N m р № N m р

8.1 1500 3 0,002 8.11 2000 5 0,002 8.21 5000 2 0,001 8.2 2000 4 0,001 8.12 1000 6 0,005 8.22 2000 4 0,001 8.3 1000 5 0,007 8.13 6500 8 0,007 8.23 1500 5 0,008 8.4 3500 1 0,002 8.14 7000 6 0,002 8.24 3500 7 0,004 8.5 2000 5 0,001 8.15 5500 9 0,004 8.25 2000 2 0,003 8.6 1000 6 0,005 8.16 1500 3 0,002 8.26 1500 6 0,005 8.7 4500 2 0,003 8.17 2000 4 0,001 8.27 4000 2 0,006 8.8 2000 4 0,001 8.18 1000 5 0,007 8.28 8000 2 0,001 8.9 1000 5 0,007 8.19 3500 1 0,002 8.29 6500 6 0,002 8.10 3000 7 0,004 8.20 2000 5 0,001 8.30 3000 2 0,005

9. Қайбір маршруттың автобустары кесте бойынша ғана жүреді. Жүру интервалы а минут. Х кездейсоқ шамасы –автобусты күту уақыты.

Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын f(x);

б) үлестірім функциясын F(x);

в) математикалық үмітін, дисперсиясын;

13

г) аялдамаға келген жолаушы трамвайды m минуттен кем (артық) күту ықтималдығын.

F(x) және f(x) графиктерін салу керек.

№ а m № а m № а m

9.1 5 3 9.11 18 9 9.21 22 8

9.2 10 4 9.12 24 8 9.22 17 6

9.3 15 5 9.13 6 3 9.23 18 5

9.4 6 2 9.14 12 6 9.24 21 11

9.5 20 10 9.15 16 8 9.25 23 12

9.6 19 8 9.16 7 2 9.26 26 15

9.7 20 5 9.17 11 4 9.27 12 4

9.8 25 5 9.18 13 5 9.28 18 7

9.9 9 3 9.19 25 10 9.29 9 2

9.10 14 7 9.20 8 3 9.30 7 3

10. Радиолокатордың нысананы табу уақыты (Т кездейсоқ шамасы)  параметрімен көрсеткішті үлестірілген.

Табу керек:

а) f(t) үлестірім тығыздығын;

б) F(t) үлестірім функциясын, оның ықтималдық мағынасын көрсету керек;

в) сенімділік функциясын R(t), оның ықтималдық мағынасын көрсету керек;

г) математикалық үмітін, дисперсиясын;

д) t уақыт ішінде нысана табылу ықтималдығын және t уақыт ішінде табылмау ықтималдығын.

F(t), R(t) және f(t) графиктерін салу керек.

№  t №  t №  t

10.1 8 3 10.11 9 10 10.21 7 3

10.2 9 2 10.12 10 6 10.22 8 2

10.3 10 1 10.13 1 7 10.23 9 1

10.4 1 10 10.14 2 8 10.24 10 7

10.5 2 6 10.15 3 2 10.25 1 9

10.6 3 8 10.16 1 5 10.26 2 5

10.7 4 4 10.17 2 10 10.27 3 10

10.8 6 3 10.18 3 6 10.28 4 6

10.9 7 2 10.19 4 8 10.29 6 8

10.10 8 1 10.20 6 4 10.30 7 4

14

11. Өлшеудің кездейсоқ қатесі (Х кездейсоқ шамасы) а және  параметрлі қалыпты үлестірім заңына бағынады.

Табу керек:

а) f(х) үлестірім тығыздығын;

б) F(х) үлестірім функциясын;

в) математикалық үмітін, дисперсиясын;

г)





д) өлшеу абсолют шамасы бойынша  -дан аспайтындай қате жіберу ықтималдығын.

F(t) және f(t) графиктерін салу керек.

№ а     № а    

11.1 10 2 9 14 2 11.16 10 1 8 14 2

11.2 12 4 5 14 3 11.17 12 2 7 14 3

11.3 14 1 9 15 5 11.18 14 3 10 15 5

11.4 11 6 8 12 3 11.19 11 5 9 12 3

11.5 13 4 6 17 2 11.20 13 2 6 13 2

11.6 12 9 8 15 4 11.21 12 3 7 15 4

11.7 10 3 6 17 2 11.22 10 2 8 17 2

11.8 12 5 6 13 6 11.23 12 4 6 14 6

11.9 14 2 12 19 5 11.24 14 6 11 19 5

11.10 15 3 4 12 3 11.25 15 5 8 12 3

11.11 17 1 5 14 2 11.26 17 4 6 14 2

11.12 12 4 9 18 4 11.27 12 5 7 18 4

11.13 11 3 4 12 3 11.28 18 5 6 12 3

11.14 17 2 5 19 5 11.29 10 4 6 15 2

11.15 13 5 6 18 3 11.30 12 3 5 18 4

1.3 Типтік варианттың шешуі

1. Лотереяда 120 билет бар, оның 40-ы 1000 тенге , 50-і - 500 тенге, 30-ы - 100 тенге ұтысты.

Табу керек:

а) 1000 тенгелі ұтысты билеттің қатысты жиілігін;

б) 20 сатып алынған билеттердің барлығы 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын;

в) сатып алынған 20 билеттердің ішінде 9-ы 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын;

г) сатып алынған 20 билеттердің ішінде 9-ы 1000 тенгелі, алтауы 500 тенгелі, бесеуі 100 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын.

д) сатып алынған 20 билеттердің ішінде ең болмағанда біреуі 1000 тенгелі ұтысты болу ықтималдығын.

15 Шешуі:

а) А оқиғасының қатысты жиілігі деп (белгіленуі Р^*(А)) А оқиғасы пайда болған сынақ санының m барлық сынақтың жалпы санына n қатынасы айтылады: Р^*(А) = m/ n.

А – 1000 тенгелі ұтысты билетті таңдау оқиғасы болсын, сонда Р^*(А) = 40/ 120=1/3.

Қалған пункттерде А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы m –А оқиғасының пайда болуына қолайлы сынақтар саны, n – сынақтардың жалпы саны;

б) А – сатып алынған 20 билеттің барлығы да 1000 тенгелі ұтысты болу оқиғасы болсын. Элементар оқиғалардың жалпы саны 120 билеттің ішінен 20 билетті таңдап алудың әртүрлі жолдар саны, яғни n = С₁₂₀²⁰ ; қолайлы оқиғалар саны 40 билеттің ішінен 1000 тенгелі ұтысты 20 билет алудың әртүрлі жолдар санына тең, яғни m = С^{2 0}_{4 0}. Сонымен,

Р(А) = m/ n = С^{2 0}_{4 0}/ С₁₂₀²⁰ = 4,67910^12;

в) А – кез келген ретпен алынған 20 билеттің тоғызы 1000 тенгелі ұтысты болу оқиғасы болсын. Жоғарыда айтылғандай, n = С₁₂₀²⁰ .

А элементар оқиғасының m қолайлы сынақтар санын комбинаториканың ережелерінің бірін қолдану арқылы табамыз: n элементті жиында s ішкі жиын бар болсын. Ішкі жиындар сәйкес n₁, n₂,...,n_s элементтерден тұрады ( n n

s

i 



1

).

Осы жиыннан таңдау жүргізілсін делік: n₁ -ден m₁ элемент, n₂ -ден m₂

элемент,…, n_s -тен m_s элемент таңдап алынсын. Онда N жалпы саны ms

m

m₁, ₂,..., элементтерден тұратын s группасын құру әдістер саны болады N = C^mn₁¹ C^mn₂²…C^mn_s^s , бұл жағдайда элементтердің реті ескерілмеген.

Сонымен бұл пунктте m = С⁹₄₀С^{1 1}_{8 0}, мұндағы С⁹_{4 0} теруі 1000 теңгелі ұтысты 40 билеттің ішінен 1000 теңгелі ұтысты 9 билетті таңдап алу санын береді, ал С^{1 1}_{8 0} теруі 1000 теңгелі ұтысты 80 қалған билеттің ішінен 1000 теңгелі ұтысты 11 қалған билетті таңдап алу санын береді, яғни m = С⁹₄₀С^{1 1}_{8 0}. Сонымен,

Р(А) = m/ n = С⁹₄₀С^{1 1}_{8 0} / С120²⁰ = 0,097;

г) А - кез келген ретпен алынған 20 билеттің тоғызы 1000 теңгелі ұтысты, алтауы 500 теңгелі, бесеуі 100 теңгелі ұтысты болу оқиғасы болсын.

Бұл есепті шешу үшін А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы n қолда бар 120 билеттің арасынан 20 билетті таңдап алудың мүмкін әдістерінің саны, яғни n = С₁₂₀²⁰ . А оқиғасының пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны жоғарыда келтірілген комбинаторика ережесі бойынша табылады, яғни m = С⁹₄₀С⁴₅₀С⁵_{3 0}. Сондықтан Р(А) = m/ n = 0,021;

16

д) А - сатып алынған 20 билеттердің ішінде ең болмағанда біреуі 1000 теңгелі ұтысты болу оқиғасы болсын, онда оған қарама-қарсы A - сатып алынған 20 билеттердің ішінде ешқайсысы 1000 теңгелі ұтысты болмау оқиғасы. б) пунктіндегі сияқты бұл оқиғаның ықтималдығын келесі формуламен табамыз Р(A) = m/ n = С^{2 0}_{8 0}/ С₁₂₀²⁰ = 1,210^4. Онда А оқиғасының ықтималдығы P(A)1P(A)11,210^4 1, яғни бұл оқиға ақиқат оқиғаға жуық оқиға.

Теру санын есептегенде Mathcad-та combin функциясы қолданылды.

Төменде combin(Q,R) қолданушының C(Q,R) функциясы ретінде енгізілген файлдың көшірмесі келтірілген, ол Q мен R-дің кез келген мәндерінде

C 40 20(  )  1.378 10¹¹ C 80 20(  )

C 120 20(  )  1.210^4 1  C 10 0(  ) 0.8 ⁰0.2¹⁰  1

C 40 9(  ) C 50 6 (  )C 30 5(  )

C 120 20(  )  0.021

2. Станок үш түйіннен тұрады. Олар бір бірінен тәуелсіз жұмыс істейді.

Қандай да бір уақыт ішінде бірінші, екінші, үшінші түйіндердің мүлтіксіз жұмыс істеу ықтималдықтары сәйкес 0,75; 0,8; 0,9-ға тең. Осы уақыт ішінде:

а) үш түйін де мүлтіксіз жұмыс істеу;

б) тек бір түйін істен шықпау;

в) екі түйін мүлтіксіз жұмыс істеп, біреуі істен шығу;

г) ең болмағанда біреуі істен шықпау ықтималдығын табу керек.

Шешуі: келесі оқиғалар енгіземіз: A₁ – бірінші түйіннің мүлтіксіз жұмыс істеуі, A₂ – екінші, A₃ – үшінші. Шарт бойынша P(A₁)=0,75, P(A₂)=0,8, P(A3)=0,9.

а) А – үш түйін де мүлтіксіз жұмыс істеу оқиғасы болсын, сонда

3 2 1A A A

A және A₁, A₂,A₃ тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, P(А) = P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃) =0,750,80,9= 0,54;

б) В – тек бір түйін істен шықпау оқиғасы болсын, сонда

3 2 1 3 2 1 3 2

1A A A A A AA A

A

B   , мұндағы ^A₁^,A₂^,A₃- A₁, A₂, A3 оқиғаларына қарама- қарсы оқиғалар, яғни сәйкес бірінші, екінші, үшінші атқыштардың тимеуі.

25 , 0 75 , 0 1 ) ( 1 )

(A₁  P A₁   

P , P(A₂)1P(A₂)10,80,2, P(A₃)1P(A₃) 1

, 0 9 , 0 1 

 . Қосылғыштар тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, C Q R(  )  combin Q R(  )_, C 80 11(  )  1.048  10¹³ _,

C 40 9(  ) C 80 11 (  )

C 120 20(  )  0.097 C 40 20(  )  1.378  10¹¹

C 40 9( )  2.734  10⁸

C 120 20(  )  2.946  10²²

17 ) (

) (

) (

)

(B P A₁A₂A₃ P A₁A₂A₃ P A₁A₂A₃

P    =0,750,20,10,250,80,10,250,20,9= 0,08;

в) С - екі түйін мүлтіксіз жұмыс істеп, біреуі істен шығу оқиғасы болсын, яғни біреуі нысынаға тимейді, C  A₁A₂A₃A₁A₂A₃A₁A₂A₃. Оның ықтималдығы да алдыңғы пункттегідей есептелінеді:

) (C

P =0,750,80,10,250,80,90,750,20,9=0,3456;

г) D - ең болмағанда біреуі істен шықпау оқиғасы болсын. Қарама-қарсы оқиғаны қарастырамыз: D- үшеуі де нысынаға тимеді. D  A₁A₂A₃ болғандықтан, P(D)1P(D) =1P(A₁A₂A₃)=10,250,20,1=0,995.

3. Жинақтау бөліміне үш зауыттан тетіктер келіп түседі: n₁=100 бірінші зауыттан, n₂ = 300 екіншіден, n₃ = 1000 - n₁ n₂= 600 үшіншіден

( 1000

3 



i

ni ). Бірінші зауыт 5% сапасыз тетік шығарады, екіншісі - 4%, үшіншісі - 6%.

а) жинақтау бөліміне сапасыз тетіктер түсу ықтималдығын табу керек;

б) жинақтау бөліміне сапасыз тетік түсті. Осы тетіктің 2 – ші зауыттан болу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: А – сапасыз тетік сатып алынған оқиғасы болсын, ал В₁, В₂, В₃– тетік сәйкес бірінші, екінші, үшінші зауыттан келіп түскен оқиғалары болсын (бұл оқиғалар гипотезалар деп аталады).

а) А оқиғасының ықтималдығы толық ықтималдықтар формуласымен есептелінеді:

Р(А) = Р(В₁)Р(А/ В₁)+Р(В₂)Р(А/ В₂)+Р(В₃)Р(А/ В₃),

мұндағы Р(А/ В_i) – сатып алынған тетік i– ші зауыттан келіп түскен оқиғасының шартты ықтималдығы (i=1,2,3).

Есептің шарты бойынша:

Р(В₁) = 100/1000 = 0,1; Р(В₂) = 300/1000 = 0,3; Р(В₃) = 600/1000 = 0,6;

Р(А/ В₁)=0,05; Р(А/ В2)=0,04; Р(А/ В3)=0,06.

Сондықтан Р(А) = 0.10.050,30,040,60,06= 0,053;

б) бұл пунктте Р(В₂/А) шартты ықтималдығын табу керек. Ол үшін Байеса формуласын қолданамыз:

n n i

k P A Bk

Bk P

Bi A i P B A P

Bi

P , 1,2,...,

1

) / ( ) (

) / ( ) ) (

/

( 







,

біздің есеп үшін ол былай жазылынады

3) / ( 3) ( 2) / ( 2) ( 1) / ( 1) (

2) / ( 2) ) (

2/

( P B P A B P B P A B P B P A B

B A P B A P

B

P    =

053 , 0

04 , 0 3 , 0 

= 0,226.

18

4. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең. n сынақта А оқиғасының:

а) дәл k₁ рет (А оқиғасы);

б) k₁-ден кем емес (В оқиғасы);

в) k₂-ден артық емес (C оқиғасы);

г) ең болмағанда бір рет (жұп нұсқалар үшін, мұндағы n=10) (D оқиғасы);

д) k₁ ден k₂ ге дейін (тақ нұсқалар үшін, мұндағы n=100) болу ықтималдығын табу керек (E оқиғасы).

Шешуі: бұл есепте қандай да бір оқиғаның n тәуелсіз оқиғалар арасынын k рет пайда болу ықтималдығын табу керек, ол P_n(k) деп белгіленеді. Есептің шартына байланысты оның шешімін әртүрлі жолмен қарастырады:

1) n =10, k₁=9, k₂=2 болсын (тақ нұсқалар үшін). Бұл жерде n үлкен емес, сондықтан А оқиғасының ықтималдығын анықтау үшін Бернулли формуласын қолданамыз: P_n(k)C_n^kp^kq^nk, мұндағы q1 p, (k0,1,2,...n).

В және С оқиғаларының ықтималдығы ықтималдықтардың қосындысы ретінде анықталады: P_n(k)P_n(k 1)...P_n(n) – бұл n тәуелсіз оқиғалар арасынын k реттен кем емес пайда болу оқиғаларының ықтималдығы, яғни немесе k рет, немесе k+1 рет,…, немесе n рет; P_n(0) P_n(1)...P_n(k)– бұл n тәуелсіз оқиғалар арасынын k реттен артық емес пайда болу оқиғаларының ықтималдығы, яғни немесе 0 рет, немесе 1 рет, немесе 2 рет,…, немесе k рет.

Бұл оқиғалар комулятивті (жинақталған) деп аталады. Сонымен, а) P(A)=P₁₀(8)C₁₀⁸ 0,08⁸0,92²=6,3910^8;

б) P(B) P₁₀(9) P₁₀(10)1,24610^9; в) P(C) P₁₀(0)P₁₀(1)P₁₀(2)0,96;

г) қарама қарсы Dоқиғасын енгіземіз – бұл 10 тәуелсіз сынықтарда D оқиғасының мүлдем пайда болмауы. Онда

) ( 1 )

(D P D

P   =1P₁₀(0)0,566.

Төменде Mathcad-тан есептеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.

C 10 9(  ) 0.8 ⁹0.2¹  0.268

C 10 9(  ) 0.08 ⁹0.92¹  C 10 10(  ) 0.08 ¹⁰0.92⁰  1.246  10^9 C 10 9(  ) 0.08 ⁹0.92¹  C 10 10(  ) 0.08 ¹⁰0.92⁰  1.246  10^9

C 10 0(  ) 0.08 ⁰0.92¹⁰  C 10 1( ) 0.08 ¹0.92⁹ C 10 2(  ) 0.08 ²0.92⁸  0.96 1 C 10 0(  ) 0.08 ⁰0.92¹⁰  0.566

2) n =100, k₁=70, k₂=80 болсын (жұп нұсқалар үшін). тәуелсіз тәжірибелер саны n үлкен болғандықтан, қандай да бір оқиғаның n тәжірибеде k рет пайда болу ықтималдығы P_n(k) Муавр-Лаплас аймақтық

C Q R(  ) combin Q R(  )

19

теоремасымен есептелінеді және жуық шамамен 1 ( ) )

( x

k npq

P_n   тең, мұндағы

npq np

x k  , 0 p1, exp( /2) 2

) 1

(x  x²

  (осы функцияның мәнін

кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі dnorm функциясы арқылы табады).

В, С және D оқиғаларының ықтималдығын анықтау үшін Муавр-Лаплас интегралдық теоремасын қолданады: қандай да бір оқиғаның пайда болу k саны k₁-ден k₂-ге дейінгі аралығында болу ықтималдығы P_n(k₁,k₂) жуық шамамен P_n(k₁,k₂)(x₂)(x₁) тең, мұндағы

npq np x₂  k²  ,

npq np x₁ k¹  , dt

t x

x

) 2 / 2 exp(

) 1 (

0





  - Лаплас функциясы, оның мәні арнайы кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі pnorm функциясы арқылы.

а) Р(А)= (2,5) 0,018/4 0,0045 2

, 0 8 , 0 100 ) 1

80

100(  



  

P ;

2 , 0 8 , 0 100

8 , 0 100 70







 

x =-2,5;

б) Р(В)=P₁₀₀(k 80)P₁₀₀(80,100)(x₃)(x₂)0,5; x₃ 5; в) Р(С)=P₁₀₀(k 70)P₁₀₀(0,70)(x₁)(x₄)0,006; x₄ 20; д) Р(Е)=P₁₀₀(70,80)(x₂)(x₁)0,494, x₂ 0, x₁ 2,5. Mathcad жүйесіндегі есептелінген есептеулер көрсетілген.

dnorm x1 0(  1) 0.018 pnorm x3 0(  1) pnorm x2 0(  1)  0.5

pnorm x1 0(  1)  pnorm x4 0(  1)  6.21  10^3 немесе басқа нұсқа

n 100 k1 70 k2 80 p 0.8 q 1p

x1 k1  n p n p q

 x2 k2  n p

n p q

 x3 n  n p

n p q

 x4 0  n p

n p q



x1 2.5 x2 0

pnorm x2 0(  1) pnorm x1 0(  1)  0.494 _,

( )x  pnorm x 0(  1) 0.5 P k1 k2(  )  ^(x2) ^(x1)

(x1)  0.494 ^(x2)  0

P k1 k2(  )  0.494 x3 5 x4 20

(x3)  0.5 ^(x4)  0.5

(x3)(x2)  0.5 ^{(x1)  (x4)  6.21 103}

20

3) P_n(k) ықтималдығын есептейтін тағы бір формула бар, ол n үлкен шама, p кіші шама, ал көбейтіндісі  n p үлкен емес сан болғанда қолданылады. Ол Пуассон формуласы P_n(k)^k e^ /k!.

n=1000, k=6, p=0,003,  10000,0033 болсын. Сондықтан

! 6 / 3

) 6

( ^{6 3}

1000

 

 e

P =0,05.

Есептеулер кезінде p(k,)^k e^ /k! функциясының кестелік мәнін немесе Mathcad-тан dpois функциясын қолдануға болады. Төменде Mathcad- тан есетеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.

p k( )  dpois k( ) p 6 3(  )  0.05

5. Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.

Х 0 10 20 30 40 50

Р 0,05 0,15 0,3 0,25 0,2 0,05

Табу керек:

а) оның үлестірім функциясын F(x), оның графигін салу керек;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;

в) Х –тің (15;45) интервалына түсу ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

а) Х кездейсоқ шамасының F(x) үлестірім функциясы (интегралдық үлестірім функциясы) Х<х оқиғасының ықтималдығын анықтайды. Дискретті

кездейсоқ шамасы











x x

i

i

p x

X P x

F( ) ( ) =







x x

i

i

x X

P формуласымен

есептелінеді, мұндағы x_i x үшін қосу барлық i бойынша жүргізіледі.

Сонымен,

1) Егер x0, онда F(x)P(X 0)0.

2) Егер 0x10, онда F(x)P(X 0)0,05.

3) Егер 10x20, онда F(x)P(X 0)P(X 10)0,050,150,2. 4) Егер 20 x30, онда F(x)P(X 0)P(X 10)P(X 20)=

5 , 0 3 , 0 2 ,

0  

 .

5) Егер 30x40, онда F(x)P(X0)P(X 10)P(X 20)P(X 30) = 75

, 0 25 , 0 5 ,

0  

 .

6) Егер 40 x50, онда F(x)P(X0)P(X 10)P(X 20)P(X 30) + +P(X 40) 0,750,20,95.

7) Егер x50, онда F(x)P(X 0)P(X 10)P(X 20)P(X 30) + +P(X 40)P(X 50) 0,950,051.