Улучшенные интерполяционные теоремы для одного класса операторов

СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 62, № 4, 1998

УДК 513.88+517.5

Е . И . Бережной, В. И. Буренков

У л у ч ш е н н ы е и н т е р п о л я ц и о н н ы е т е о р е м ы д л я одного к л а с с а о п е р а т о р о в

Для класса операторов, переводящих конус положительных функций в ко­

нус монотонно убывающих функций, приведены новые теоремы интерполяции, основанные на понятии if с-фукционала. Предложена формула для вычисления Кс-функционала для некоторых пар пространств. Приведен пример интерполя­

ционной пары пространств, для которой конусы, получаемые с помощью К-функ­

ционала Питре и Кс-функционала, различны.

Библиография: 16 наименований.

§ 1. Введение

Теория интерполяции линейных операторов, начиная от пионерских работ Рисса, Торина и Марцинкевича [1]-[5], интерполирует основное свойство линей­

ного оператора - ограниченность нормы.

В дальнейшем неоднократно предпринимались попытки проинтерполировать более тонкие свойства операторов. Например, успешно удалось проинтерполиро­

вать различные количественные характеристики свойства компактности [5, с. 122].

С другой стороны, представляет интерес при рассмотрении некоторых специаль­

ных классов операторов с дополнительными свойствами попытка улучшить общие интерполяционные теоремы для этих специальных классов. К этому вопросу и от­

носится настоящая работа, которая посвящена теоремам интерполяции для спе­

циального класса линейных операторов в идеальных пространствах, названного в работе классом В и содержащего, например, операторы интегрирования, воль- терровские с положительными и монотонными ядрами и близкие к ним.

Операторы этого класса нашли различное применение в гармоническом анали­

зе (см., например, [6]-[9]). Они обладают замечательным свойством: переводят положительные функции в монотонные. Поэтому, с одной стороны, их ограничен­

ность можно проверять лишь на положительных функциях, а с другой стороны, об­

раз конуса положительных функций идеального пространства будет содержаться в конусе монотонных функций. Используя это наблюдение, в работе вводится по­

нятие if с-функционала, определенного для монотонных функций и построенного по разложению их по монотонным же функциям, и приводится формула для его вычисления в некоторых идеальных пространствах. На основе этого вычисления приведен пример интерполяционной пары идеальных пространств, когда класси­

ческий if-функционал Питре и Кс-функционал, введенный в работе, не эквива­

лентны. Исходя из этого приведен пример интерполяционной пары идеальных про­

странств, для которой интерполяционные пространства, получаемые с помощью

© Е . И . Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. Б У Р Е Н К О В 1998

4 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

К-функционала Питре и введенного if ^с-функционала, дают различные простран­

ства, т.е. нормы на этих пространствах не эквивалентны. Для некоторых же клас­

сических пар идеальных пространств интерполяционные пространства, получен­

ные с помощью if-функционала и К с-функционала, совпадают.

§ 2. Основные теоремы

Прежде всего отметим, что термины "положительная функция / " и "отрица­

тельная функция д" в настоящей работе означают, что f(t) ^ 0 и g(t) ^ 0, а тер­

мины "убывающая функция / " и "возрастающая функция д" означают, что если t ^ s, то f(t) ^ f(s)wg(t) ^ g(s) соответственно. Аналогичные соглашения действуют и для других высказываний, содержащих термины "положительный",

"отрицательный" и "убывающий", "возрастающий".

Приведем некоторые сведения из теории интерполяции линейных операторов и идеальных пространств.

Пусть 5(IR⁺,E,/i) - пространство измеримых относительно меры \i функций х: М+ —> R. Через 5 ( / i )+ обозначим конус неотрицательных функций в S(/i):

5(/i)+ = {х е S(fjL): x(t) ^ 0 п.в.},

а через S(/i)^c обозначим конус монотонно убывающих функций в S(/i):

5Ы

= { ж е 5 Ы

: ^ ) 1 } .

Напомним [4], [10], что пространство X называется идеальным, если из выпол­

нения п.в. неравенства \x(t)\ ^ \y(t)\ и из х G S(/i), у G X следует, что х G X и выполнено неравенство ||х\Х || < ||?/|Х||. (Символом ||х\Х\\ обозначается норма элемента х в пространстве X.) Для идеального пространства X символами Х+, X^е обозначим конусы в пространстве X:

Х + = S(/x)+ Ш , Xе = 5(/i)c п X.

Будем считать, что на конусах Х⁺, X^е норма индуцирована нормой из X, т.е.

для х G Х+ верно равенство ||ж|Х+|| = ||ж|Х||, а для х G Xе верно равенство 11 ж | X ^с 11 = 11ж|X11. Классическими примерами идеальных пространств являются пространства Лебега Lp, Орлича Ьдг, Лоренца А(ф), Марцинкевича М(ф). Изло­

жение теории идеальных пространств можно найти в [4], [10], [11].

Если X - идеальное пространство, и G 5 ( / i )+ - весовая функция, то символом

X((JS) обозначается новое идеальное пространство, норма в котором задается ра­

венством

\\х\Х(ш)\\ = \\хш\Х\\.

В частности, в пространстве L^P(UJ) норма имеет вид

1И^М|| = Ц \x(tMt)\p d»(t))

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 5

с обычной модификацией при р = оо.

Введем теперь классы операторов, которые будут играть важную роль в работе.

Будем говорить, что оператор Т положителен (Т Е Р ) , если он переводит положительные функции в положительные.

Будем говорить, что линейный оператор Т принадлежит классу В (Т Е В), если он положительный и переводит положительные функции в убывающие.

Класс В достаточно широк. Например, он содержит оператор интегрирования

/

оо

x(s) dfi(s)

и, более общо, операторы Вольтерра

/

оо

k(t,s)x(s) d/i(s),

если ядро k(t, s) положительно и убывает по первой переменной. Отметим, что для положительных линейных операторов для всех х Е <S(/i)+ и t E М+ верно неравенство

\Tx(t)\^T\x\(t). (1) Действительно,

О < T(\x\(t) + x(t)) = T\x\(t) + Tx(t), О < T(\x\(t) - x(t)) = T\x\(t) - Tx(t), поэтому выполнено (1).

Таким образом, если X, Y - идеальные пространства и Т - положительный опе­

ратор, то из (1) следует равенство

\\T\X -+ ГЦ = 8ир(||Г^Ж|Г⁺||: х е Х⁺, \\х\Х\\ < 1). (2) (Символом ||Т|Х —> Y\\ обозначается норма оператора Т из пространства X в

пространство Y.) Аналогично, если Т - оператор класса В, то

\\T\X -+ У || = Sup(\\Tx\Yc\\ :х€Х+, \\х\Х\\ < 1). (3) Напомним теперь некоторые обозначения и факты из теории интерполяции ли­

нейных операторов вещественным методом интерполяции [1]-[3].

Пусть А - некоторое линейное топологическое пространство. Пара банаховых пространств (Ao,Ai), непрерывно вложенных в пространство А, называется ин­

терполяционной парой. Пусть (Ао, А\) - интерполяционная пара пространств.

Для каждого а Е Ао + Aiwt > 0 определен функционал Питре K ( t , a ; A⁰, A i ) =inf(||ao|A⁰|| + £ | | a i | A i | | : a = a⁰ + a i ) .

6 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

При каждом t эти функционалы являются нормой на А$ + А\. Именно функци­

онал Питре является базой для определения вещественного метода интерполяции.

Наряду с классическим K(t, а; Ао, А^-функционалом для интерполяционной пары идеальных пространств (Хо, Х\) на соответствующих конусах можно определить следующие функционалы:

K+(t,x\Xv,Xx) =inf(||xo|X0|| + t | | x i | X i | | : х0 G X + , x i Е X + ; X = X0+X1), Kc(tJx;Xo,X1)=M(\\xo\X0\\+t\\x1\X1\\: x0 E X^Xl E Xf; x = x0 + m ) .

Поскольку К~^~ и Кс для каждого х есть нижняя грань линейных функций по £, то К+ и Кс как функции t являются вогнутыми.

Отметим, что функционал if+(£,x; Xo,Xi) определен на конусе XQ + Х^ , а функционал Kc(t, ж; Хо, Х\) определен на конусе XQ + Xf. Легко видеть, что на общей области определения справедливы неравенства

K ( t , x ; X0, X ! ) < K + ( t , x ; X o , X ! ) < Kc(t,x; X^X^). (4) В дальнейшем нам потребуется следующее важное неравенство:

K + ( t , x ; X o , X ! ) < 2K(t,x;X0,X1), (5) которое можно легко извлечь из работ [12], [13].

Пусть Ф - идеальное пространство на М+, содержащее функцию min(l, t).

Пространство (Х$,Х\)К,Ф СОСТОИТ ИЗ тех х Е Хо + X i , для которых конечна норма

\\х\{Х0,Хг)к^\\ = \\К%х;Х0,Х{)\Щ.

Это пространство является интерполяционным [1]-[3].

Рассмотрим случай, когда идеальное пространство Ф есть пространство &e,q (О < 0 < 1, 1 ^ g ^ oo), состоящее из тех функций, для которых конечна норма

/ roo i,\l/q

\\х\Ф

,4 = {1 ( ' " ' I ^ D t )

со стандартной модификацией при q = оо.

Наряду с пространством (Хо, Х\)К,Ф введем следующие множества. Множест­

во (Хо, Х\) к+ ф состоит из тех х Е XQ + Х±, для которых конечен функционал

\\х\{Х0,Хг)к+^\\ = ||/Г+(*,а;;Хо,^1)|Ф||.

Множество (Хо, Х\)кс,Ф СОСТОИТ ИЗ тех х Е XQ + Xf, для которых конечен функ­

ционал

\\x\(X0,Xi)Kc#\\ = ||Д-с(«,а;;Хо,Х1)|Ф||.

Соотношения (4) и (5) показывают, что конус положительных функций интер­

поляционного пространства (XQ, Х\)К,Ф может быть получен из конусов XQ , Х±

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 7 положительных функций пространств Хо и Х\ с помощью аналогичных конструк­

ций.

Оформим это наблюдение в виде леммы.

Л Е М М А 1. Пусть (Хо, Х\) - интерполяционная пара идеальных прост­

ранств, Ф - идеальное пространство на М+. Тогда верно равенство (Xo,Xi)K^ = (Х0 ,ХХ ) К , Ф ,

причем для всех х Е ( X O , X L ) ^ - ф верны неравенства

|И(Х0,Х1)+> Ф|| < \\х\(Х+,Х+)к,Ф\\^2\\х\(Х0,Х1)+гФ\\.

Используя равенство (2), придем к следующему варианту классической интер­

поляционной теоремы для вещественного метода интерполяции для положитель­

ных операторов.

Т Е О Р Е М А 1. Пусть (Xo,Xi), (Yo, Yi) - две интерполяционные пары идеаль­

ных пространств. Пусть Т - положительный оператор и \\T\Xi —> Yi\\ = Mi (i = 0,1). Тогда

Г : (Х+,Х+)к⁹ф -+ ( У⁰+ , У + ) К , Ф ,

| | Г | ( Х0 +, Х1 +) К , Ф -+ ( У0 +, У1 +) к , ф И т а х ( М0, М1) . Аналог этой теоремы для операторов класса В можно получить так.

Л Е М М А 2. Пусть (Xo,Xi), (Yo,Yi) - dee интерполяционные пары идеаль­

ных пространств. Пусть Т - оператор класса В и \\T\Xi —> Yi\\ = Mi (г = 0,1). Тогда для любого х Е XQ + Х± справедливо неравенство

Kc(t, Тх; Yo, П ) < max(M0, Mi)K(t, x; X + , X + ) .

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Действительно,

K^c(t,Tx;Y⁰,Y¹)=mf{\\g⁰\Y⁰\\+t\\g¹\Y¹\\:Tx = g⁰+gi; <?o ^ F^0C, gi^Yf}

^ i n f { | | T x o | X o | | + t | | r x i | X i | | : x = x0 + ХЦ X0 E X0+, Xl E X + }

^ m a x ( M0, M i ) K ( t , x ; X + , X1 +) . Лемма доказана.

Используя леммы 1 и 2, прийдем к следующей теореме.

Т Е О Р Е М А 2. Пусть ( X O , X L ) , (Yb?^i) ~ dee интерполяционные пары иде­

альных пространств. Пусть Т - оператор класса В и \\T\Xi —> Yi\\ = Mi (i = 0,1). Тогда

Т: (Xo,Xi)K^ —• (У0 С?^1С)К,Ф,

| | Г | ( Х о , ^ 1 ) ^ ф ^ (1ЪС,1Т)1С,Ф|| < 2 т а х ( М0, М ! ) .

Именно последняя теорема и является усилением классической интерполяцион­

ной теоремы для вещественного метода интерполяции Питре для операторов клас­

са В. Это связано с тем, что конус (YQC, Y£)K,& может быть существенно уже ко­

нуса (YQ , Y± ) К , Ф , который согласно лемме 1 совпадает с конусом (Yo, F i ) ^$. В следующем параграфе мы продемонстрируем эту возможность.

8 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. Б У Р Е Н К О В

§ 3. Некоторые результаты о вычислении К^с-функционала Пусть ио - некоторая положительная функция на 1R+. Положим для всех t Е М+

Q(t) = esssup{cj(s): s < £}. (6) Очевидно, что Q{t) - положительная возрастающая функция. Отметим, что если

п.в. верно равенство с^о(t) = cji(t), то всюду верно равенство Qo(t) = u)i(t). По­

этому, если это необходимо, можно исправить u(t) на множестве меры нуль так, чтобы вычислять в (6) вместо существенной верхней грани обычную.

Следующая лемма показывает, что при вычислении нормы убывающей функции x(t) в пространстве L°°{UJ) можно заменить uj{t) на Q(t).

Л Е М М А 3. Для любого положительного измеримого веса cj(t) и функции х Е S(/i)c верно равенство

\\x\L°°(u)\\ = \\x\L°°(Q)\\. (7)

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть х Е L°° (UJ) C . Без ограничения общности можно счи­

тать, что функции x{t) и cu(t) непрерывны слева. Так как функция х монотонно убывает и п.в. u(t) ^ 2(£), то для п.в. t верно соотношение

x(t)u(t) ^x(t)Q(t).

Поэтому

\\x\L°°{u>)\\^\\x\L°°(Q)\\. (8) Докажем обратное неравенство. Пусть

\\x\L00(ои)\\ = М < оо.

Это означает, что п.в. выполнено неравенство М

Поскольку x{t) убывает и непрерывна слева, то верно соотношение x(t) = essinf{x(s): s < t) < essinf< : s < t >

M M esssup{cj(s): s < t} Q(t)'

Вспоминая определение нормы в L°° (Q), окончательно получим

\\x\L°°(Q)\\^\\x\L™(u;)\\. (9) Объединяя (8) и (9), придем к (7). Лемма доказана.

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 9 Непосредственно из леммы получим, что для любого х Е S(fi)^c верно равенство

K^c(t,x]X,L°°(oj)) = K^c(t,x]X,L°°(oj)). (10) Используя очевидную формулу

К^^х-.Х^Хг) = ^К^с(г,х;Х^ъХ⁰), проиллюстрируем применение формулы (10) одним примером.

Пусть C J0, ^ I E 5(/i)^c, х Е S(/i)^cnc⁰ = l i m^s^^{+ 0}c j⁰( s ) , c\ = l i m^s^^{+ 0} CJI(S).

Тогда справедливо равенство

i(:c(tJa:;L0 0(a;o)JL0 0(a;i))=min(coJcit) lim x(s).

Действительно,

Kc( t , x ; L ^ ( ^ o ) , b ^ ( ^ i ) ) = Kc( t , x ; Lo c( S o ) , Lo c( S i ) )

= Kc(t, х- L°°(co), L°°(ci)) = x(+0) min(c0, cit).

Прежде чем переходить к основной теореме этого параграфа, введем два по­

нятия.

Пусть x(t),oj(t) E 5(/i) + . Для каждого t Е М+, а Е М+ положим

x^a,u>(t) =max<x(t) —г,0 L (11)

Пусть ж Е 5(/i) + . Для каждого £ положим

х(£) = esssup{x(s): s ^ £}. (12) Очевидно, что функция x(t) убывает. Если это необходимо, то можно исправить

x(t) на множестве меры нуль так, чтобы вычислять в (12) вместо существенной верхней грани обычную.

Теперь мы можем сформулировать основную теорему.

Т Е О Р Е М А 3. Пусть X - идеальное пространство и cj(t) - положительный измеримый вес. Тогда для любой функции x(t) E S(/i)c верно равенство

K^c(t,x;X,L°°(u)) = i n f { | | £^a, a \X\\+ta: a E М⁺} . (13) (Функция Ха:з определена с помощью формул (6), (11), (12); сначала строим

функцию х^а^, а затем функцию х^а Q .)

10 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

= тах<^

= тах<^

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Согласно лемме 3 верно равенство

\\x\L°°(u)\\ = \\x\L°°(Q)\\.

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда u(t) - положительная возрастаю­

щая функция и, следовательно, п.в. выполнено равенство uj{t) = Q{t).

Докажем сначала неравенство

K^c(t,x]X,L°°(oj)) ^ ini{||x^{a 5}£ | X\\+ta: a G М⁺} . (14) Без ограничения общности можно считать, что функции x{t) и uj{t) непрерывны

справа. Тогда функция ха^ также непрерывна справа. Из того что п.в. выполнено равенство oo(t) = 2(t), следует справедливость соотношения

xa,co(t) = esssup{xa5U;(s): s ^ t} = esssup< max< x(s) — , 0 >: s ^ t >

c< esssup< x(s) -—: s ^ t >, 0 >

I l Ф) J J

c< esssup< x(s) — ^^{/ ч} : s ^ t > , 0 >

I l Ф) J J

3sup< max< x(s) — ^, ч, 0 >: s ^ t > = xa Q(t). (15)

I l Ф) J J

Из неравенства

x(t) ^ sup{x(s): s ^ t} ^ sup< max< x(s) -—, 0 >: s ^ t> = xa ^(t)

I I ^(s) J J

следует, что функция xo(t) = x(t) — xa,Lj(t) неотрицательна. Проверим, что она убывает на М+. Пусть to < t\. Если XQ,^ (to) = xa^(ti),TO

жо(*о) - s0(*i) = x(t0) - x(h) ^ 0. (16)

ЕСЛИ ж е Xa,uj(to) > %a,uj(tl)i TO

^a,w(fc) = sup<^ x(s) - - : t0 < s < h\.

Для каждого п выберем s(n) G [to, ti) так, чтобы

/ ч / / чч OL 1

Xa,cu{to) < X ( s ( n ) ) + - . (17)

Тогда из неравенства ess^

#o(£i) = x(^i) — sup< x(s) ——: s ^ t\ > ^ CJ(S) ' ^ J ^ c j ( t i ) '

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы Ц

неравенства (17) и убывания функций x(t) и ^ т получим

so(*o) - x0(ti) > x(t0) - x(s(n)) + — ^ - - . (18) co{s{n)) oo(ti) n n

Из (18) с помощью предельного перехода получим, что и в этом случае тоже вы­

полняется неравенство (16). Таким образом, мы убедились, что хо убывает на 1R+. Оценим теперь величину \\х — ха^\Ь°°{ьо)\\.

Из убывания функции x(t) и определения функции x^a^(t) получаем соотноше­

ние

I u{s) ) ( / ч а \ а

< x(t) - x(t) = —-.

Поэтому

\\х-х^а,^ш\Ь°°(ш)\\^а.

Если учесть выполнение п.в. соотношения (15), то можно выписать оценку сверху для if с-функционала:

K^c(t,x]X,L°°(uj)) ^Ы{\\х^а& | X | | + t o : a G M⁺} . Таким образом, (14) доказано.

Докажем теперь обратное неравенство:

Kc(t,x;X,L°°(u)) ^ i n f { | | £a, a \X\\+ta: aeR+}. (19) Пусть go, gi G S(/a)^c и почти при всех t верно равенство x(t) = go(t) + gi(t). Если

положить

\\^д1\Ь°°(со)\\ = \\^д1\Ь°°(а)\\=а, (20)

то п.в. выполнено неравенство

Поэтому из соотношения

g⁰(t) = X(t) - ^9l(t) ^ X(t) - —- cu{t) и неравенства go(t) ^ 0 получим, что п.в. выполнено неравенство go(t) ^ тах< 0,ж(£)

{°> ^х ®-щ}-

12 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

Без ограничения общности можно считать, что до непрерывна справа. Так как до убывает, то для всех t получим

go(t) ^ sup{#oO): s ^ t} ^ sup I maxj x(s) - ^ р г > 0 Г- s ^ t\ = xa^(t). (21)

Из (20), (21) и идеальности пространства X получим, что

Kc(t,x]X,L°°(oj)) ^ i n f { | | £a ja | X\\+ta: aeR+}.

Объединяя (14) и (19), придем к (13). Теорема доказана.

Отметим, что формула (13) очень напоминает известную формулу для вычис­

ления К-функционала Питре через Е-функционал [1], [3].

Приведем теперь пример вычисления Кс-функционала для конкретной пары идеальных пространств.

Т Е О Р Е М А 4. Пусть и Е S(/i)+ - некоторый вес, для которого при некото­

ром s > 0 верно соотношение

/ ' и(т) dji{r) < оо.

Положим

гоо

/ и(т) ф ( т ) = М.

Jo

Пусть х Е S(fi)c. Для каждого t Е (О, М) определим число r(t) из уравне­

ния

/ u(s) dfi(s) = t.

Jo

Тогда при t Е (О, М) справедливо равенство

(22)

Kc(t,x;L1(u),LOQ)= f x(s)u(s)d/i(s).

Jo ⁽²³⁾

Если же t ^ М, то

- 1 / . л т оо\

= / x(s)i

К^с(г,х;Ь¹(и),Ь°°)= / x(s)u(s)d/i(s). Jo

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 13 Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть х Е S(/J)C. Без ограничения общности можно счи­

тать, что x(t) непрерывна справа. Поскольку oo(t) = 1, то функция жад убывает, и поэтому справедливо равенство ж^ад = ж^ад . Поэтому, применяя предыдущую теорему, прийдем к формуле

K^x^L1^)^00) = inf{||£a,i | L1^ ) ! ! + ta: a E M+}

= ini{||xa,i | L1^ ) ! ! + ta: a E M+} . Разберем сначала случай t E (0,M). Положим

G(x,a) = ||ж^ад|Ь¹(г^)|| + ta.

Покажем сначала, что для любого а справедливо неравенство

r{t)

G(x,a)^ x(s)u(s)dfi(s). (24) Jo

Это можно сделать так. Из непрерывности справа и монотонности функции х сле­

дует, что

J(a) = {s: r r^a, i ( s ) > 0 } = [0,r*(a)).

Если т* (а) < т(£), то x(s) < а при s E (т*(а),т(£)), и поэтому

гт*(а>) гт*(а>) ГТ(~Ь)

G(x,a) = / x(s)u(s) d/ji(s) — а / u(s) d/i(s) + а / u(s) d/a(s) Jo Jo Jo

гт*(а) rr(t)

= / ж(з)Цз) d/i(s) + a / Цз) d/i(s)

io Jr*(a)

rr{t)

^ / x(s)u(s)d/i(s). (25) Если r* (a) > r(t), то x(s) > а при s E [0,r*(a)), и поэтому

Гт * ( а ) г т * ( а ) /.T(t)

/*т (а) /*т {a) rT\t)

G(x,a) = / x(s)u(s) dfi(s) — а / Цз) d/i(s) + a / u(s) dfi(s) Jo Jo Jo

rr(t) гт*(а>) гт*(а>)

= / x(s)u(s) d/i(s) + / x(s)u(s) d/i(s) —a u(s) d/a(s)

Jo Jr(t) Jr(t)

rr{t)

^ / a;(s)u(s)d/x(s). (26) Jo

Таким образом, из (25) и (26) следует, что неравенство (24) выполнено, и поэто­

му

r

tf^a;;!,1^),!,00) ^ / a;(s)u(s)d/x(s). (27) Jo

14 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

Докажем теперь обратное неравенство

rr(t)

/О rr{t)

tf^a;;!,1^),!,00) = 'mf{G(x,a): a G M+} < / x(s)u(s) d/i(s). (28) Jo

Выберем непрерывную функцию g(t), которая удовлетворяет условиям: для всех t G М+ верно неравенство g(t) > 0; если s > £, то #(s) < g(t) и

/ #(s) d/i(s) = С < оо.

Jo Для каждого n G N положим

/ я(*) + ^ при t<r(t), xn(t) = < n

[ x(t) при £ ^ r ( t ) . Тогда xn{t) ^ ж(£) всюду и

{s: xn(s) >x(r(t))} = [0,r(t)).

Поэтому

inf{G(ar,a): a G M+} < inf{G(xn, a): a G M+} < G(xn,x(r(t)))

rr(t) rr(t)

= / xⁿ(s)u(s) d/i(s) — x(r(t)) / u(s) dfi(s)

Jo Jo

rr(t)

+ x(r(t)) / u(s)dfi(s) Jo

r( t ) с

< / a;(s)u(s) dji(s) + - . (29)

Jo ⁿ

Устремляя в (29) n к бесконечности, придем к (28). Объединяя (27) и (28), по­

лучим (23).

Случай t ^ M разбирается аналогично. Теорема доказана.

Отметим один частный случай теоремы 4. Пусть u(t) = 1 и /i(s) есть мера Лебега на 1R⁺. Тогда из теоремы 4 получим, что для всех х G S(/JL) верно равенство

K^c(t,x;L¹,L°°)= [ x(s)ds. (30)

Jo

Если заметить, что для х G S(/a)c справедливо равенство x(t) = x*(t) (напом­

ним, что для функции х перестановка ж* (t) по убыванию определяется равенством x*(t) = inf{r: /i(s: \x(s)\ ^ т) < £}), то (30) совпадает на S(/i)^c с известной фор­

мулой Питре [1]-[5] для К- функционал а пары (L¹, L°°).

Результаты, аналогичные теоремам 3, 4, справедливы и для if+-функционала.

Сформулируем их для полноты изложения.

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 15

Т Е О Р Е М А 5. Пусть X - идеальное пространство и oo(t) - положительный измеримый вес. Тогда для любой функции x(t) Е 5 ( / i )+ верно равенство

K+(t,x;X,L°°(uo)) =Ы{\\х^а,^ш \X\\+ta: a E М⁺} , где функция ха^ определена равенством (11).

Т Е О Р Е М А 6. Пусть и Е S(/i)+ - некоторый вес, для которого при некото­

ром s > 0 верно соотношение

/ u(r) dfi(r) < оо.

Jo Положим

рос

и{т) d/i(r) = М.

I

Пусть х Е 5(/i) ⁺ . Для каждого t Е (О, М) определим число r(t) из уравне­

ния

r(t)

u(s) d/i(s) = t.

/о

JO

Тогда при t Е (О, М) справедливо равенство

fr{t)

К + ^ ж ; ! ,¹! » , ! ,^{0 0}) = / x(s)u(s)d/i(s).

Jo Если oice t ^ M, то

РОО

K+(t,x;L1(u),L°°)= / x(s)u(s)d/i(s).

Jo

Формула (30) показывает, что для всех х Е S(/i)c, где \i - мера Лебега, верно равенство

Kc(t, x; L1^00) = K(t, x; L1^00). (31) Покажем, что в случае весовых пространств между Кс-функционалом и К-функ­

ционалом даже может не быть эквивалентности.

Рассмотрим пару (L1, Ь°°(ио)) на М+, и пусть \± есть мера Лебега. Пусть вес ио удовлетворяет следующим условиям: uj(t) - непрерывная функция; uj(t) убывает;

ио(0) = 1;

sup{scj(s): s ^ 1} = С < оо. (32) Отметим, что из убывания ио следует, что oo(s) = 1. Тогда для функции х^а (s) = s^a,

а Е (—1, 0], согласно формулам (10) и (31) будем иметь

l fc( t , a ;a; L1, L0 0( a ; ) ) = l f ( t , a ;a; L1, L0 0) = / rra(s)ds = - ^ — . (33)

Jo « + 1

16 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

С другой стороны,

K(t,x^a;L¹,L⁰⁰(u^J))^mi{\\x(D)x^a\L¹\\+t\\x(R⁺\D)x^a\L⁰⁰\\: D с К + } . (Здесь x(D) - характеристическая функция множества D.) Поэтому

K^.x^L1^00^)) ^ i n f i / xa(s)ds-\-tco(r)xa(r): r ^ o l

= inN -\-tco(r)xa(r): r ^ 0 \.

Для t > 1 положим т = \Д- Тогда

*(l + a ) / 2

Kit.x^L¹^⁰⁰^)) ^ — +tcu(Vi)t^a/² a + 1 ч 7

+(l + a ) / 2

= - - + ^ ( v ^ ) t1 +- /2.

a + 1 ^{ч ;}

Таким образом, верно неравенство

K(t,x

;L\L°°{u:)) < ^

( j ^ + w(Vt)VtY

Из условия (32) следует, что при t ^ 1 верно неравенство

К^ха;Ь\Ь°°(ои)) < C i £( a + 1 ) / 2. (34) Поэтому из (33) и (34) получим

t^So Kc{t,xOL]L1,L°°{u))

Последнее равенство означает, что К-функционал Питре и Кс-функционал для пары (L¹, Ь°°(со)) не эквивалентны.

Продемонстрируем сейчас еще один эффект, связанный с различным поведением К- и Кс-функционалов. А именно мы покажем, что для любого симметричного пространства X найдется пара весов w$ и w\ такая, что на общем конусе множества

(Х(и⁰), X(uj¹))^Kc^^9q, (Х(и⁰), Х(и¹))к¹ф^вд имеют неэквивалентные нормы.

Пусть X - идеальное пространство, с^о, ^1 - две весовые функции, X (соо), X (CJI ) - два весовых идеальных пространства, построенных по одному и тому же X. Хоро­

шо известно, что справедлива формула [14, с. 53]

-II min(o;oj^i)^|X|| ^ K(t,x; X(OJQ), X(OJI)) ^ ell min(o;oj^i)^|X|L (35) с

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 17 причем константа с не зависит от х Е X и весов UJQ,UJ\.

Пусть X - симметричное пространство. Напомним (см., например, [4]), что иде­

альное пространство X называется симметричным, если из х Е S(/i), у Е X и выполнения при всех а Е М⁺ неравенства А(ж, а) ^ Х(у, а), где A(z, а) есть функ­

ция распределения функции z: X(z,a) = /i{r: \z(r)\ > а}, следует, что х Е X и 11 ж | X11 ^ 112/1X11. Многочисленные примеры симметричных пространств приведены в [4].

Далее мы ограничимся случаем, когда областью определения функций из сим­

метричного пространства X и соответственно из Х(с^о) и X ( C J I ) является множес­

тво (0,1], а мера \i есть мера Лебега. Этого достаточно для демонстрации обещан­

ного нами эффекта. В других случаях рассмотрения аналогичны.

Пусть cti - убывающая положительная последовательность, причем ао = 1 и lim cti = 0.

Положим J2k = (2"fe _ 2 - (f e+2\ 2 -f e] , J2k+1 = (2-(fc+i),2-f e - 2 " (f e+2) ] , к = 0 , 1 , 2 , . . . Тогда \J^2k\ = \J^2k+1\ = 2-(^fe+²) и (0,1] = \J°Z⁰ Ji-

Определим веса OJQ(S),OJI(S) соотношениями

LUo(s) =

CJiO) =

1 При S E J<2i, CLi При S E J 2 i + 1 , CLi При S E J 2 i ,

1 при s E J2i+b Для каждого ж Е 5 ( / i )⁺ положим

• OO

^ f c ( r ) = x ( r ) x f ( J ^ 2 г

Покажем сначала, что для х Е S(/i)c при всех & выполнены неравенства

min(l,t)||x|X|| ^ К^с( £ , х ; Х Ы , Х ( ^ 1 ) ) ^ min(l,t)\\x^k\X\\. (36) Следует обратить внимание, что в (36) весовые пространства присутствуют толь­

ко в центральной части неравенств.

Проверим первое неравенство в (36). Из того, что для i = 0,1 при всех т верно неравенство 0 < Ui (г) ^ 1, следует соотношение

Кс(г,х;Х(си0),Х(ил)) ^ Кс( £ , ж ; Х ( 1 ) , Х ( 1 ) ) ^ min(l,t)||x|X||.

Поэтому первое неравенство в (36) доказано.

18 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

Проверим второе неравенство в (36). Пусть x,0o,0i Е S(/i)^c w х(т) = до(т) + 01 (т). Положим уо(т) = д$(т)х ( \JiZk ^2г)- Тогда из того, что X - идеальное пространство, очевидным образом выполнено неравенство

||<?о№о)|| >

goxi (J J2,

^г=к

/ ОО

goxl IJ ^

Х(и>о)

uogoxi IJ ^2

i=k

X

i=k

х

yi(r)=9i{r- 2-C+²))

и продолжим ее в остальных точках (0,1] нулем. Тогда из включения д\ Е S(/i)c

для любого г Е J2i следует неравенство

х{т) = д⁰(т) + 01 (т) < 0о(г) + 0 i ( r - 2-^^{i + 2})) = 2/⁰(т) + yi(r).

Поэтому при всех т Е (0,1] верно неравенство

а*(т) < у0( т ) + i / i (т). (38)

Кроме того, из симметричности пространства X следует неравенство

Ил №011 >

ОО

д\Х\ IJ ^2г+1

i—k оо

0 i x ( ( J ^2г+1

i=k

Х(ил) X

ОО

^ШХ1 (J ^2

г=к

х

Ых\\.

Поэтому из (37)-(39) получим соотношение

| | $ o № o ) | | + * | | < 7 i № i ) | | > ||lft>№o)|| + * | | l / i № i ) | | > min(l,t)||a;^fc|X||

и, следовательно,

Кс(1,х;Х(и0),Х(ил)) > min(l,t)||a;fc|X||.

Таким образом, (36) полностью доказано.

Покажем теперь, что если х Е S(/i)^c и suppx = % (U^2/c ^ ) ' ^{т 0 в е}Р^{н ы не}~ равенства

\\х^к\Х\\^\\х\Х\\^Щх^к\Х\\. (40)

Отметим, что первое неравенство в (40) следует из идеальности X.

Для проверки второго неравенства в (40) можно поступить так.

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 19 Д л я т Е ( 2 - (i+1) , 2 - (i+1) + 2-^+3)] положим у (г) = хк(т - 2 - ^ +3) ) , а для т Е ( 2 - (^{i + 1}) + 2-(*^{+ 3}),2-(*^{+ 1}) + 2~(*+²)] положим z(r) = х^к(т - 2 * 2 - ^ +³) ) , г = 0 , 1 , 2 , . . . , а при остальных т доопределим у(т) и z(r) нулем.

Тогда из графика х(т), включения х Е S(/i)c и определения ж^ следует неравен­

ство

х(т) ^хк(т) +2/(г) + я(т).

Кроме того, из построения 2/(г), 2:(г) и симметричности пространства X следуют неравенства

\\у\Х\\^\\хк\Х\\, \\z\X\\^\\xk\X\\.

Поэтому и второе неравенство в (40) верно.

С другой стороны,

< Г min(l, ta,i) при s e J²i,

mm(o;o,^i) = <> (41) L mm(ai,t) при s E J2i+i-

Поэтому если г ^ /с, то из монотонности а^ и (41) получим неравенство

min(cJo,^i) ^ max{mm{a^k, £},min{l, ta^k}}. (42) Непосредственно из (42) следует, что:

- если 0 < t < ак, то min(cJo, tu\) ^ max(£, tak) ^ £;

- е с л и ак ^ £ ^ 1, то min(cJo,^i) ^ max(a/c, ta^) ^ ак; - е с л и 1 ^ t ^ —, то min(cJo,^i) ^ max(a/c, ta^) ^ £а&;

- если t ^ тт^, то min(cJo, ^ i ) ^ max(l, а&) < 1.

ад.

Поэтому, используя (35), для х Е S(/i)c с suppx С U?^2/c ^j П 0 ЛУЧ И М не­

равенство

К(г,х;Х(шо),Х(ил)) ^С{

t\\x\X\\ при te (0,ak], a^k\\x\X\\ при t E (a/,,1], tafc||a:|X|| при t E (1,1/a^],

||ж|Х|| при t E ( 1 / 0 ^ , 0 0 )

(43)

Пусть теперь ipo (s), ipi (s) - две произвольные функции ipi: (0,1) —> 1R⁺, удовле­

творяющие условиям: ipo(s) возрастает, ipi(s) убывает; для всех s E (0,1) верны неравенства(^i(s) ^ 1, (fo(s) ^ 1;

lim <£i(s) = 00, lim ipo(s) = 0, lim sipUs) = 0, lim — — = 0. (44)

s^O s^O s^O s^O (fo{s)

20 Е.И. Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

Тогда из (36), (40), (43) и (44) следует соотношение

lim sup<^ KfrxxiU^JfrXiuo^Xiui.))

* - ° ° {K-(t,xx{\JT=2kJj)'X^o),X(uj1))' x € XC(UQ) +Xc(ui1),t € [<fo(ak),<Pi(ak))

^ З С т а х J lim s u p ( " J f *^{1 1} : x £ X >⁰) + Х^с(ол), t £ M « f c ) , 1 ) } .

^ s u p j ^ j № l : a: £ Xе (u„) + X > i ) , * £ [ l , ^ ( af e) ) U

< 3(7 lim max< —-—r,afc^i(^fc) r = 0- (45)

Соотношение(45) показывает, что для любого симметричного пространства X найдется такая пара весов с^о и ш\, что if-функционал и Кс- функционал равномер­

но неэквивалентны на некоторых конусах.

Покажем теперь, что на общем конусе множества

(X(cj⁰), X(uj¹))^Kc^^9q, (X(uj⁰),X(uj¹))^K^^eq с 0 < 0 < 1, g ^ 1 имеют неэквивалентные нормы.

Из соотношений (36) и (40) следует, что если х Е 5(/i)c и supp ж = U?^2/c ^j> T 0

i m i n ( l , t ) | | x | X K Kc( t , x ; X ( ^0) , X ( ^1) ) ^ m i n ( l , t ) | | x | X | | . Поэтому для х Е S(/i)c с supp ж = U?^2/c ^ ' в еРн ы соотношения

i | | m i n ( l , t ) ^ , , , | H | x | X | | < \\х\(Х(ио),Х(ил))Кс1ф0Л < ||min(l,*)|ФМ|| • ||х|Х||.

1 Х1/ ^

Поскольку верно равенство

ll

^ll = ( ( Г ^ ,

то для х Е S(/a)c с supp ж = U?^2/c ^ ' выполнены соотношения 1 / 1 \1/д

||ж|л:|| < ||Ж|(Л:(^О),А:(£ХЛ))^С,Ф 3 V ( i - 0 ) 0 g

УЛУЧШЕННЫЕ И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Е Т Е О Р Е М Ы 21 Положим

ФФ =tx(0,a^k) +a^kx(a^kjl) +ta^kx[ 1, — I + x ( — > °°

V o>k) \a>k

Тогда из (43) получим справедливость для всех х Е S(/i)c с suppx = {Jc*=2k ^j неравенства

Jf(t,a;;X(w⁰),X(wi)) < С|И«)|Ф^{в >},|| ||ar|JC||, где С не зависит от х.

Простой подсчет показывает, что

Поэтому для всех х Е S(fi)c с supp х = U?^2/c ^ в еРн 0 неравенство

К&х;Х(иъ),Х(Ш1)) < с (( 1 J g j g J1 " ( " i1" ^ + "fe9)1 / g № 1 1 - (47) Поскольку a& —> 0 при k —> oo, то, сравнивая (46) и (47), видим, что на общем конусе множества (Х(ио),Х(и1))к^с,Ф^в и (Х(ио),Х(и1))к,Ф^в с q ^ 1, 0 <

# < 1 имеют неэквивалентные нормы.

Теперь мы рассмотрим пример интерполяционной пары пространств с весом, которая очень часто встречается в гармоническом анализе и для которой конструк­

ции вещественного метода интерполяции, построенные по К-функционалу Питре и по К^с-функционалу, совпадают. Некоторые интерполяционные пространства этой пары описывались в [15], [16].

Пусть снова fi есть мера Лебега. Как обычно, через Lp'q обозначим простран­

ство Лоренца, состоящее из тех функций, для которых конечна величина

Хорошо известно [1], что L^p,p = L^p. В общем случае L^p,q - квазинормированное пространство, но при р > 1 квазинорму можно заменить на норму, при введении которой Lp,q становится банаховым пространством.

Для пространства L^p'^q положим (L^p'^q)^c = L^p'^q П 5(/i)^c, а для пространства (Ь1(и),Ь°°)к,Фб,д соответственно

(L\u),L°°yK,*eq = ( ^ ( t O . L0 0) * , * ^ n S ( / Oc.

22 Е . И . Б Е Р Е Ж Н О Й , В. И. БУРЕНКОВ

Т Е О Р Е М А 7. Пусть u(s) = sa и 1 < q < оо, О < 0 < 1 , - 1 < а < ^ г ^ , 1 / р = ( а + 1 ) ( 1 - в ) .

Тогда с точностью до эквивалентных норм верно равенство (Ь\и),Ь°°)Кс,Фвл = ( L V U0 0) ^ * , , , = (Lp'9)c, причем для х G 5(/i)c прг/ 1 < q < оо верны неравенства

а прг/ g = 1 выполнено равенство

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . В нашем случае р > 1. Поэтому пространство Lp'g явля­

ется банаховым. Соотношение

(L\u),L°°)Kt*e>q=U>*

хорошо известно [16], откуда следует равенство

(L\u),L^r

^

=(L^r.

Докажем, что

{Ь\и),Ь~)Кс#вл={Ц>*у. (48)

Пусть х G S(fi)^c. Тогда из теоремы 4 получим

r(t)

Kc(t,x;L1(u),L°°)= / rr(s)w(s) ds, (49) где

r(t) = ((a + l ) t )1 / ( a + 1 ). (50)

По определению

^ ( L ^ L ^ K C ^ J I = (^j™ {t-0Kc{t,x,L1(u),L™))qj^j

1/9

' r( ^t -*r ^w , ^ . V *

^{4 l / e}

Сделав замену переменных s = r(t)a, получим

l l a r K ^ H . L0 0) ^ , * ^ ! ! = Ц°° (t-e J\(ar(t))r(t)(ar(t)r da ^q dt^1/q

t