ФУРЬЕ ҚАТАРЫ. БЕРІЛГЕН ФУНКЦИЯНЫ ФУРЬЕ ҚАТАРЫНА ЖІКТЕУ

4 ТАРАУ

ФУРЬЕ ҚАТАРЫ.

БЕРІЛГЕН ФУНКЦИЯНЫ ФУРЬЕ ҚАТАРЫНА ЖІКТЕУ

4.1. Фурье қатары. Фурье қатары функционалдық қатардың дербес түрі.

Функционалдық қатар деп

      

^

 













1 2

1 ... ...

k k

k x U x

U x

U x U

түріндегі өрнекті айтады. Мұндағы U₁

   

x ,U₂ x ,...,U_n

 

x ,... - бір немесе бірнеше

 



x  x₁,x₂,...,x_n



тәуелсіз айнымаларға байланысты функциялар. Ілгеріде біз екі және үш тәуелсіз айнымалыға байланысты функцияларды жиі қолданамыз.

Әзірше бір айнымалы функциялардан тұратын қатарларға байланысты негізгі ұғымдарды қарастырамыз. Функционалдық қатар x тәуелсіз айнымалысының әрбір бекітіп алынған x₀ мәнінде

      

^

 













1 0 0

0 2 0

1 ... ...

k k

k x U x

U x

U x U

түріндегі сандық қатарға айналады. Сандық қатар жинақталуы да, жинақталмауы да мүмкін. Сандық қатар жинақталса, онда х х₀ нүктесін функционалдық қатардың жинақталу нүктесі деп атайды. Функционалдық қатардың жинақталу нүктелерінен тұратын жиынды қатардың жинақталу облысы деп атайды. Математикалық анализ курсында функционалдық қатардың дербес түрі ретінде







 







  







 ^

0 0

0 0

1

0 ... ...

n

n n

n

n x x a x x

a x

x a a

дәрежелік қатары қарастырылады. Оның жинақталу облысы бір хх₀

нүктесінен, немесе центрі х0 нүктесінде орналасқан радиусы R – ақырлы санына тең интервалдан, немесе



^,^



аралығындағы барлық нүктелерден тұруы мүмкін. Жалпы жағдайда функционалдық қатардың жинақталу облысын табу қиын есептердің бірі.

Тригонометриялық қатарлар теориясында ортонормаланған функциялар жүйесі қарастырылады.

 

a,b кесіндісінде (немесе

 

a,b интервалында) анықталған және



^b2

 

^{ }

болатын, _n

 

x, n0,1,2,... функцияларынан құралған



_n

 

x



^₀ жүйесінің мүшелері үшін

 

^x

 

^{x dx n m}



^{n m}



b

a

m

n    



^{  0, , 0,1,2,...}

теңдігі орындалатын болса, онда



_n

 

x



^₀ жүйесін  ^a,b кесіндісінде (немесе

 

^a,b интервалында) ортогональ жүйе деп атайды.

 

^



^b

 

a n

n x ² x dx



санын _n x функциясының нормасы деп атайды. Егер



_n

 

x



^₀

 

a,b кесіндісінде ортогональ жүйедегі _n

 

x функцияларының нормасы бірге тең болса, ондай жүйені ортонормаланған жүйе деп атайды. Ортогональ жүйеге қарапайым мысал ретінде



,



аралығында анықталған тригонометриялық функциялардан тұратын



1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...



(*) жүйесін алуға болады. Осы жүйенің шынында да



,



кесіндісінде ортогональ жүйе болатындығын көрсету үшін төмендегі интегралдарды есептейік:

1.



^    





 2

1 dx x _ 1  2 ; 2.



^     





 0, 1,2,...

1sin

1 nx n

сosnxdx n

3.

  

        







 

 1cos 0, 1,2,...

1cos 1cos

sin

1 n n n

x n n n

nxdx

4.

   

   

       

   

n m

 

n m

 

n m



n m



m n

m n m

m n n m

n

x m n m

n

x m n

xdx m n xdx

m n mxdx

nx











 









 



 

 

 

 

































..

,.

3 , 2 , 1 , , 0 cos

2 cos 1

cos 2 cos

1 cos

2 1 cos

2 1

2 sin sin 1

2 cos 1

sin





























Егер nm болса, онда

 

  









 



 















2 0 sin 1 sin sin

sin

2nx n

n d nx сosnxdx nx

nx

5.

        

    

 

 















 sin 0

2 sin 1

2 sin 1

sin n m x

m x n

m m n

dx n mx

nx , егер nm,



n,m1,2,...



болса.

Егер nm болса, онда

 

^











 



 

 











  n 

x x dx

nx

nxdx 2

2 sin 2

2 1 cos 2 1

sin² 1 .

Демек,

 nx 

sin .

6.

      

sin



0

2 sin 1

2

cos 1  

 

 



 _{ }

^



^{ }



x m m n

x n m m n

mxdx n

сosnx , егер



, 1,2,...



, 

m n m

n .

Егер nm болса, онда

 













 



 

 











  n 

x x dx

nx

nxdx 2

2 sin 2

2 1 cos 2 1

cos² 1 .

Cондықтан,

  nx

cos .

Сонымен, (*) жүйесінің



,



кесіндісінде ортогональ жүйе болатындығы дәлелденді. Бірақ ол ортонормаланған жүйе емес. (*) жүйесі ортонормаланған жүйені анықтайды, егер де оған кіретін функциялардың нормасы бірге тең болса, мысалы,







 cos ,...

sin , ,..., 2 ,cos 2 ,sin ,cos ,sin 2 1















nx nx

x x

x x

жүйесі



^,



кесіндісінде ортонормаланған жүйе. Тағы да ортогональ жүйеге



^sinx^,sin2x^,...,sinnx^,...



^,x

 

^0, ^,

 

^{0, ,}

, ,...

cos , sin ,..., cos

, sin ,

1 x x l

l x n l x n

x l

l 







    

 

0, , ,

,...

cos ,..., cos

,

1 x x l

l x n

l 







  

 

l x

l x x n

x l

l 2 ,...,sin ,... , 0,

sin ,

sin 







   

жүйелерін мысал ретінде қарастыруға болады. Тригонометриялық емес те ортогональ жүйелер болады. Оларды ілгерідегі тарауларда қарастыратын боламыз.

4.1.1 анықтама. Коэффициенттері

  





l

l

dx x l f

a 1 ,

0

  



 ^l 

l

n xdx

l x n

l f

a 1 cos ,

1

  

sin  , 1,2,...



n l xdx

x n l f b

l

l n

 (4.1.1)

формулалары арқылы табылатын

 



 



   

 ^

1

0 cos sin

2 ^{n n n} x

l b n

l x a n

a  

тригонометриялық қатар

 

l,l аралығында анықталған, периоды T 2l тең болатын f x функциясының тригонометриялық Фурье қатары деп аталады.

Мұндағы a₀,a_n,b_n . Фурье қатарының коэффициенттері деп аталады.

 

^x

f функциясының қасиетіне байланысты оған сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатарының түрі өзгеріп отырады. Соған тоқталып өтейік.

1.Егер f

 

x функциясының периоды T 2 болса, онда оған сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары

 

_^

 

 



1

0 cos sin

~ 2

n an nx bn nx

x a f

түрінде, ал коэффициенттері

  



 ^

  ^,

1

0 f x dx

a

  



 ^

  ^{cos ,}

1 f x nxdx

a_n ^{ 1}

  

^{sin , 1,2,...}



n nxdx x

f b_n



 

формулалары арқылы табылады.

2.Егер f

 

x функциясы

 

l,l аралығында жұп функция болса, онда оған сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары

 

^



 

1

0 cos

~ 2

n

n x

l a n

x a

f 

түрінде, ал коэффициенттері

  

 ^l f x dx a l

0

0 2 , ^{an } _l



^{l f}

 

^x _l^nxdx

0

,

2 cos

n=1,2,…

формулалары арқылы табылады.

3.Егер f

 

x функциясы



l,l



аралығында тақ функция болса, онда оған сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары

  ^





1

sin

~

n

n x

l b n

x

f 

түрінде, ал коэффициенттері



  ^

 ^l

n xdx

l x n l f b

0

2 sin

, n1,2,...

формулалары арқылы табылады.

 

x

f функциясына сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатарына байланысты төмендегідей сұрақтар туындайды.

1. f

 

x функциясына сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары x

нүктесінің қандай мәндерінде жинақталады;

2. ^f

 

^x функциясына сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары жинақталса, онда оның қосындысы қай уақытта осы қатарды тудыратын ^f

 

^x

функциясына тең болады.Бұл сұрақтарға төменде келтірілетін Дирихле теоремасының тұжырымы жауап береді.

 

x

f функциясы

 

^a,b аралығында Дирихле шартын қанағаттандырады дейді, егер де ол

а)

 

^a,b кесіндісінде үзіліссіз немесе осы кесіндіде саны ақырлы бірінші ретті үзіліс нүктелерге ие болса;

ә) әрбір үзіліссіз болатын интервалда монотонды немесе осы интервалда саны ақырлы экстремум нүктелерге ие болса.

Мысалы, 13– суретте көрсетілген функция

 

a,b кесіндісінде Дирихле шартын қанағаттандырады.

Дирихле теоремасы. Егер периоды T 2l тең f

 

x функциясы

 

^l,l

а) f

 

x функциясы үзіліссіз болатын әрбір x нүктесінде тригонометриялық Фурье қатары ^f

 

^x мәніне жинақталады;

ә) f

 

x функциясы үзілісті болатын әрбір xi нүктесінде тригонометриялық Фурье қатары   ⁰  ⁰

2

1 f x_i   f x_i  мәніне жинақталады. Мұндағы

 0 lim  ,

0 f x x

f

xi

i  x  f



x



f

 

x

xi

i x

lim0

0   

 .

13 – сурет.

Ілгеріде дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешу кезінде тригонометриялық Фурье қатарын бірнеше рет мүшелеп дифференциалдауға тура келеді. Оған байланысты төмендегідей сұрақтар туындайды:

1) Қандай шарттар орындалғанда, тригонометриялық Фурье қатарының мүшелерінің туындыларынан тұратын қатарлар жинақталады?

2) Қандай жағдайда, осындай қатарлардың қосындылары сәйкесінше берілген функцияның туындыларына тең болады?

Бұл сұрақтарға толық жауап беру біздің курстың аумағынан шығып кетеді.

Сонда да айта кететін жағдай, егер ^f

 

^x функциясының үзіліссіз болуымен қатар қажетті үзіліссіз туындылары бар болса, онда оған сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатарын қажетінше мүшелеп дифференциалдауға болады және одан шыққан қатарлар сәйкесінше берілген функцияның туындыларына жинақталады. Алдағы уақытта тек қана осындай функцияларды қарастыратын боламыз.

Тригонометриялық Фурье қатарын

 

a,b кесіндісінде ортогональ болатын функциялар жүйесінен құралған Фурье қатарының дербес жағдайы ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда жүйеге қатысатын функциялардың периодты болуы міндетті емес.

4.1.2 - анықтама. Коэффициенттері

     

, 0,1,2,...

1

2 

 _x



^{f x x dx n}

С

b

a

n n

n 



a x₁ x2 x₃ x₄ b x

f(x)

формуласы арқылы табылатын _^

 

0 n

n

n x

С  қатарын

 

a,b кесіндісінде анықталған f

 

x функциясының



_n

 

x



^₀ ортогональ жүйесі бойынша алынған Фурье қатары деп атайды.

Егер _n x^₀ ортогональ жүйесі ортонормаланған жүйе болса, онда Фурье қатарының коэффициенттері ^С 



^{b f}

   

^{x x dx},ⁿ0,1,2,...

a

n

n  формуласы арқылы

табылады. Мұндай қатарлардың жинақталуы туралы сұрақтар арнайы ғылыми әдебиеттерде қарастырылады. Біз осы параграфта осындай қатарларға байланысты Стеклов теоремасын келтіреміз.

Стеклов теоремасы.

 

a,b кесіндісінде үзіліссіз екінші ретті туындысы бар,

1f 0

l және l₂f 0 біртекті шекаралық шарттарды қанағаттандыратын кез келген ^f

 

^x функциясы осы кесіндіде



L_y0,l₁y0,l₂y0



- Штурм – Лиувилль есебінің Y_n x өзіндік функциялар жүйесі бойынша жинақталатын Фурье қатарына жіктеледі, яғни

 

^

 





1 n

n nY x x С

f . Мұндағы Фурье қатарының коэффициенттері

        

 ^b

a

n n

n r x f xY x dx

x

С 1 ₂

 формуласы арқылы табылады.

Қайтадан

 

0,l кесіндісінде ортогональ жүйе құрайтын







 2 ,...,cos ,...

cos , cos ,

1 x

l x n

x l l





 , x

 

0,l ; x x

 

l

l x n

x l

l 2 ,...,sin ,... , 0,

sin ,

sin 







   

жүйелерін қарастырайық. f

 

x –

 

^0,l кесіндісінде анықталған функция болсын.

Онда осы функцияны жоғарыда көрсетілген ортогональ жүйелер арқылы

 

^0,l

кесіндісінде Фурье қатарына жіктеуге болады. Коэффициенттері

  

 ^l f x dx a l

0

0 2 ,

2

 

cos , 1,2,...

0

 

 _l



^{f x} _l^{nxdx n}

a

l n



формулалары арқылы табылатын



^



 

1

0 cos

2 n

n x

l a n

a 

тригонометриялық қатарды

 

^x

f функциясының

 

^0,l кесіндісінде косинустар бойынша Фурье қатары деп атайды. Егер тригонометриялық қатардың а₀,а_n коэффициенттері нөлге, ал

 

^{sin , 1,2,...}

2

0

 

 _l



^{f x} _l^{nxdx n}

b

l n



формуласы арқылы табылатын болса, онда

^





1

sin

n n x

l b  n

қатарын f

 

x функциясының

 

0,l кесіндісінде синустар бойынша Фурье қатары деп атайды.

Жоғарыда қарастырылған қатарларды Дирихле теоремасын пайдаланып зерттеуге болады. Нақты айтсақ, егер ^f

 

^x функциясы

 

^0,l кесіндісінде Дирихле шартын қанағаттандыратын болса, онда осы функцияның косинус және синус бойынша Фурье қатарлары жинақталады және ^f

 

^x функциясының үзіліссіз болатын нүктелерінде берілген қатарлардың қосындысы функцияның осы нүктелердегі мәніне тең болады. f

 

x функциясының үзіліс нүктелерінде қатарлардың қосындысы осы нүктелердегі функцияның сол және оң жақ шектерінің орта арифметикалық мәніне тең. Кесіндінің шеткі нүктелерінде функцияның косинус бойынша Фурье қатарының қосындысы осы нүктедегі функцияның мәніне, ал синус бойынша Фурье қатарының қосындысы нөлге тең болады.

4.2. Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу. Алдымен Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары тригонометриялық функциялар болатын жағдайларды қарастырайық. Оны мысалдар арқылы түсіндіреміз.

4.2.1 – мысал.



^{y" }^{y 0,y'}

 

^{1  y}

 

^{2 0}



- Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары бойынша ^f

  

^{x  x x2}



функциясын

 

^1,2 кесіндісінде Фурье қатарына жіктеңіз.

Шешу:

1.

 

^1,2 кесіндісінде берілген Штурм – Лиувилль есебін тәуелсіз x

айнымалысына алмастыру жасау арқылы

 

0 кесіндісінде берілетін Штурм – ^,1 Лиувилль есебіне келтіреміз. Ол үшін t x1 деп алмастыру енгіземіз. Онда

1

x болған кезде t0 және x2 болған кезде t 1 болады. Мұндай алмастыру кезінде дифференциалдық теңдеу мен шекаралық шарттар өзгермейді, өйткені

' ' ' '

t x t

x y t y

y    , y^"xx 

   

y^'x ^'x  yt^{' '}ttx^'  ytt^" _;

y_x^'

 

1  y_t^'

 

0  y^"_tt y0, y^'

   

0  y1 0. (4.2.1)

(4.2.1) есебі l1 болған кезде 3.3 пунктінде қарастырылған (3.3.6) Штурм – Лиувилль есебімен пара – пар болады. Сондықтан (4.2.1) есебінің меншікті мәндері



2 1



, 4

2 2



 n

n

  n0,1,...,

ал өзіндік функциялары



2 1



,

cos 2 n t

Y_n   

n 0,1,...

формулалары арқылы табылады.

2. f  x  x x2 функциясы t x1 алмастыруын қолданғаннан кейін

 

~

     

1 1 1

1       ²

 f t t t t

t f

түріне келеді. Бұл функцияны Стеклов теоремасының тұжырымын пайдаланып берілген Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы жіктейміз, яғни

  

^





0

~

n

n nY t С

f

түрінде. Мұндағы

           

           

 

³

3

1 1

0 1

3 0 3

2

1 2 0

2 1

0 2 1

0

1 2

1 - 1 32

2 2 1 sin 2

- 4 1 2 2

sin 1

2 - 16 1 2 2 2

1 2 2

1 cos 2

1 16 2 2

cos 1 -

~ 2

2

∫ ∫

 

 

 



 





 





 











n t

n n t

n n n

t

t n n

tdt t n

t dt

t y t f C

n n

n









 







(Жоғарыдағы интегралдарды есептеу кезінде 2 1 0

2 n 

сos және

2 1  1 , 0,1,...

sin2 n   ⁿ n

болатындығы ескерілген).

Сондықтан Y

 

t функциясына сәйкес келетін тригонометриялық Фурье қатары

   

   

∑

^∞ ₃ ¹₃ ^{2 1}

cos 2 1 2

1 - 32

~





 

 ⁿ n t

t n

f 



түрінде жазылады.

 

t

Y функциясы

 

^0,1 кесіндісінде үзіліссіз және Дирихле теоремасының барлық шарттарын қанағаттандыратын болғандықтан

   

   

∑

^∞

0 3 3

1

1 2 2

1 cos 2

1 - 32

~





 



n

n

t n n

t

f 

 (4.2.2) теңдігі орындалады.

3. ^f

 

^x функциясын

 

^1,2 кесіндісінде Фурье қатарына жіктеу үшін (4.2.2) теңдігіндегі t айнымалысын x1 айнымалысымен алмастырып,

   

    

∑

^∞

0 3 3

1

1 1 2 2

1 cos 2

1 - 32



  

 

n

n

x n n

x

f 



теңдігін аламыз. Бұл теңдік f

 

x функциясының

 

^1,2 кесіндісіндегі берілген Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары бойынша Фурье қатарына жіктеуін анықтайды.

4.2.2 - мысал.



^{y" y 0,y'}

 

^{0  y}

   

^{0 ,у' 1 0}



- Штурм – Лиувилль есебінің өзіндік функциялары бойынша

 







 



≤1 2 ≤

, 1 0

2

≤ 1 0 ,

1

х ег ер

х ег ер x

f

функциясын

 

^0,1 кесіндісінде Фурье қатарына жіктеу керек.

1)



^{y" y 0,y'}

 

^{0  y}

   

^{0,у' 1 0}



- Штурм – Лиувилль есебі l=1 болған кезде 3.3 пунктінде қарастырылған (3.3.8) есебімен пара–пар болады.

Сондықтан берілген Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері ,...

2 , 1

2,

=

= r_n n

n (r_n сандары ctgr= r теңдеуінің түбірлері), ал өзіндік функциялары

, sin

cosr x r x

r

Y_n  _{n n}  _n n^1,2,...

формулалары арқылы табылады.

2) Берілген f

 

x функциясын Фурье қатарына жіктейміз:

  

cos sin



,

1

x r x

r С r

x

f _{n n n}

n

n 





^



мұндағы

  ^



    ^



1

0 2

1 f xY x dx

x Y

С _n

n

n

 

^{sin 4 sin 2 ,}

2 2

2 2 cos

sin 4 1

1 2

1 1

1 2

2

2 



 



 









n n

n n n

n n n

r r

r r r

r r r

өйткені

 

     

 

^;

2 2 2 cos

sin 4 1

1 2

1 1 4

2 sin 2 1 2 1

2 2 cos 4

2 sin 2 1 2

2 cos 2 1

2 sin 2 cos 1

sin sin

cos 2 cos

sin cos

2 2

2 1

0

1

0

1

0 2

1

0

2 2

2 1

0

1

0 2 2

2

n n

n n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n n n

n n

n n

n

r r r r

r r r

r r r r

r r xdx xdx r

r r

xdx r r

dx x r x

r x r r x r r

dx x r x

r r dx x Y

x Y























 



 

 



 



















  



 

     

sin 2 sin 4

2 sin 2

cos 2 1 1

1 2

cos1 1 2

sin1 cos

sin sin cos

2 2 1

0 2

1

0 1

0

2 1

0

n n

n n n

n

n n n

n n

n n

n n n

n n n

r r

r r r

r

r r r r

r x r r

x r r

dx x r x

r r dx x Y