Х А Б А Р Л А Р Ы

(1)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҰЛТТЫҚ ҒЫЛЫМ АКАДЕМИЯСЫНЫҢ

Х А Б А Р Л А Р Ы

ИЗВЕСТИЯ

НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

N E W S

OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА СЕРИЯСЫ

♦ СЕРИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

♦ SERIES

OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL

4 (290)

ШІЛДЕ – ТАМЫЗ 2013 ж.

ИЮЛЬ – АВГУСТ 2013 г.

JULY – AUGUST 2013

1963 ЖЫЛДЫҢ ҚАҢТАР АЙЫНАН ШЫҒА БАСТАҒАН ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1963 ГОДА

PUBLISHED SINCE JANUARY 1963 ЖЫЛЫНА 6 РЕТ ШЫҒАДЫ

ВЫХОДИТ 6 РАЗ В ГОД PUBLISHED 6 TIMES A YEAR

АЛМАТЫ, ҚР ҰҒА АЛМАТЫ, НАН РК ALMATY, NAS RK

(2)

2

Б а с р е д а к т о р ҚР ҰҒА академигi Б. Т. Жұмағұлов

Р е д а к ц и я а л қ а с ы:

физика-математика ғылымдарының докторы Н. М. Темiрбеков (бас редактордың орынбасары), ҚР ҰҒА-ның

академиктерi Н. Ж. Тəкібаев, С. Н. Харин, Т. Ш. Кəлменов, Н. Қ. Блиев, Б. Н. Мұқашев, М. Ө. Өтелбаев, физика-математика ғылымдарының докторы Қ. Қ. Қадыржанов, физика-математика

ғылымдарының докторы Н. Т. Данаев, физика-математика ғылымдарының докторы Т. С. Рамазанов, физика-математика ғылымдарының докторы Ө. Ө. Өмiрбаев, академик А. Гаджиев (Əзірбайжан), академик А. Пашаев (Əзірбайжан), академик И. Тигиняну (Молдова), академик И. Н. Вишневский (Украина), академик А. М. Ковалев (Украина), академик А. А. Михалевич (Беларусь), химия ғылымдарының докторы Н. Бейсен (жауапты хатшы)

Г л а в н ы й р е д а к т о р академик НАН РК Б. Т. Жумагулов

Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:

доктор физико-математических наук Н. М. Темирбеков (заместитель главного редактора), академики НАН РК Н. Ж. Такибаев, С. Н. Харин, Т. Ш. Кальменов, Н. К. Блиев, Б. Н. Мукашев, М. О. Отелбаев, доктор физико-математических наук К. К. Кадыржанов, доктор физико-математических наук Н. Т. Данаев,

доктор физико-математических наук Т. С. Рамазанов, доктор физико-математических наук У. У. Умирбаев, академик А. Гаджиев (Азербайджан), академик А. Пашаев (Азербайджан), академик И. Тигиняну (Молдова), академик И. Н. Вишневский (Украина), академик А. М. Ковалев (Украина), академик А. А. Михалевич (Беларусь), доктор химических наук Н. Бейсен (ответственный секретарь)

E d i t o r - i n - c h i e f academician of the NAS of the RK

B. T. Zhumagulov

E d i t o r i a l s t a f f:

doctor of physical and mathematical sciences N.M. Temirbekov (deputy editor-in-chief), academicians of the NAS of the RK N. Zh. Takibayev, S. N. Harin, T. Sh. Kalmenov, N. K. Bliev, B. N. Mukashev, M. O. Otelbaev,

doctor of physical and mathematical sciences K. K. Kadirzhanov, doctor of physical and mathematical sciences N. T. Danaev, doctor of physical and mathematical sciences T. S. Ramazanov, doctor of physical and mathematical

sciences U. U. Umirbaev, academician А. Gadzhiev (Azerbaijan), academician А. Pashaev (Azerbaijan), academician I. Tiginaynu (Moldova), academician I. N. Vishnevskiyi (Ukraine), academician А. М. Kovalo’v (Ukraine), academician А. А. Mikhalevich (Belarus), doctor of chemical sciences N. Beysen (secretary)

«Известия НАН РК. Серия физико-математическая» I SSN 1991-346X

Собственник: РОО «Национальная академия наук Республики Казахстан» (г. Алматы)

Свидетельство о постановке на учет периодического печатного издания в Комитете информации и архивов Министерства культуры и информации Республики Казахстан №5543-Ж, выданное 01.06.2006 г.

Периодичность: 6 раз в год.

Тираж: 3000 экземпляров.

Адрес редакции: 050010, г. Алматы, ул. Шевченко, 28, ком. 219, 220, тел.: 272-13-19, 272-13-18 www:akademiyanauk.kz Адрес типографии: ИП «Аруна», г. Алматы, ул. Муратбаева, 75.

(3)

3

Теоретическая физика

УДК 530.12

К. А. БОШКАЕВ^1,2,3, Э. КЕВЕДО^2,3,4,

М. Е. АБИШЕВ¹, С. ТОКТАРБАЙ¹, Е. К. АЙМУРАТОВ¹

(¹Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Республика Казахстан,

2Dipartimento di Fisica and ICRA, Universita’ di Roma La Sapienza, Piazzale Aldo Moro 5, I-00185 Roma, Italy,

3ICRANet, Piazz della Repubblica 10, I-65122 Pescara, Italy,

4Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, AP 70543, Mexico, Distrito Federal 04510, Mexico)

СООТВЕТСТВИЕ МЕТРИК ФОКА И ХАРТЛА-ТОРНА

Аннотация

В работе рассмотрены приближенные решения Фока и Хартла-Торна, которые могут быть использованы для описания гравитационного поля астрофизических компактных объектов в предельном случае медленного вращения и малой деформации. Мы используем метод Фока для получения обобщенного внутреннего решения, а также внешнего решения, которое оказывается эквивалентно внешнему приближенному решению Хартла-Торна. В результате мы получим аналитическое приближенное решение, описывающее внутреннее и внешнее гравитационное поле медленно вращающихся и слегка деформированных астрофизических объектов.

Кілт сөздер: Эйнштейн теңдеулерінің жуық шешімдері, Фок метрикасы, Хартл-Торн метрикасы.

Ключевые слова: приближенные решения уравнений Эйнштейна, метрика Фока, метрика Хартла- Торна.

Keywords: approximate solutions of Einstein’s equations, Fock’s metric, Hartle-Thorne’s metric.

Введение. Метрика Фока [1–3] является постньютоновским приближенным решением урав- нений Эйнштейна, которая применяется для описания геометрии вокруг астрофизического объекта со слабым гравитационным полем и медленным вращением. Данная метрика была получена в общей интегральной форме [1, 2] в разные годы Чандрасекаром (1965) и Абдильдиным (1985).

Нетрудно показать, что эти результаты идентичны при соответствующих начальных преобразо- ваниях плотности тела в тензоре энергии и импульса. Хотя именно в работе Абдильдина (1985) метрика Фока была впервые получена для медленно вращающегося сферически-симметричного шара (жидкого и твердого) [2, 4]. Было продемонстрировано, что точное решение уравнений Эйнштейна для вращающегося тела, так называемая метрика Керра [5], в приближении слабых полей и медленных скоростей нетривиальным образом, соответствующими координатными преоб- разованиями, сводится к метрике Фока [2, 4, 6]. Однако до сих пор не удалось найти внутреннее решение Керра, даже в приближенном виде [6]. Данный факт показывает, что метрика Керра мо- жет применяться только для ограниченного класса астрофизических объектов, таких как, например, черные дыры [6]. Цель данной работы – показать, что метрика Хартла-Торна [7, 8], являющаяся приближенным решением уравнений Эйнштейна, которая работает (действительна) в сильных гравитационных полях с умеренными скоростями, совпадает с частным случаем уточненной метрики первого приближения Фока. Решение Хартла-Торна, часто применяется в литературе для описания геометрии вокруг вращающихся деформированных объектов, харак- теризующиеся тремя мультипольными моментами, такими как полная масса, угловой момент, и квадрупольный мо- мент – они позволяют описать реальные астрофизические объекты от плането- подобных небесных тел вплоть до нейтронных звезд. Одной из наиболее важных характеристик этого семейства ре-шений является то, что соответствующие уравнения состояния были построены

(4)

4

с использованием реалистичных моделей для внутренней структуры релятивистских звезд. Полу- аналитические и численные обобщения метрики Хартла-Торна с более сложными уравнениями состояния были предложены различными авторами [9]. Наиболее полный обзор этих решений приведен в [10]. Во всех этих случаях, однако, предполагается, что мультипольные моменты (квадрупольные и октупольные) относительно невелики и вращение медленное.

Чтобы сопоставить метрику Фока с метрикой Хартла-Торна, в первой вычисляются интегралы для осе-симметричного деформированного тела, зависящие от внутренней структуры [4, 6, 11, 12].

Впоследствии получаем метрику Фока для медленно вращающегося деформированного тела с тремя параметрами: полная масса, угловой момент, квадрупольный момент. Далее метрика Хартла- Торна записывается в приближении ~1/c² и находятся координатные преобразования между дву- мя метриками. В результате оба внешних решения, записанные в одних и тех же координатах, сопоставляются между собою весьма простыми алгебраическими выражениями.

Структура статьи организована следующим образом. Сначала мы рассмотрим внешнее решение Хартла-Торна и кратко прокомментируем его наиболее важные свойства. Затем мы представим уточненную метрику первого приближения Фока, какой она впервые была получена Абдильдиным [2, 12], в гармонических координатах, а также введем ряд новых координат, которые дают возмож- ность сравнения с другими внешними метриками. Кроме того, мы явно найдем преобразование координат, устанавливающее связь между уточненной метрикой Фока и внешним решением Хартла-Торна.

Метрика Хартла-Торна. С учетом поправок второго порядка малости по угловой скорости, структура компактных объектов может быть приближенно описана с помощью массы, углового момента и квадрупольного момента. Важным следствием этого приближения является то, что уравнения равновесия сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Хартл и Торн [7, 8] исследовали гравитационное поле вращающихся звезд в приближении медленного вращения. Этот формализм можно применить к большинству компактных объектов, в том числе и к пульсарам с миллисекундными периодами вращения, но, согласно [10], он будет показывать

«большие» расхождения в случае быстро вращающихся релятивистских объектов вблизи предела массового сброса, т.е. когда угловая скорость объекта достигает угловой скорости частицы по круговой кеплеровой орбите на экваторе звезды. В самом деле, недавно в [13], [14] было показано, что поправки второго порядка для вращения по Хартлу-Торну вполне достаточны для описания свойств звезд с промежуточными скоростями вращения. Эти результаты были обобщены в [15], чтобы включить поправки третьего порядка по угловой скорости. Оказывается, что поправки третьего порядка по угловой скорости не играют существенной роли в определении кеплеровой скорости вращения, однако они важны для изучения момента инерции быстро вращающихся нейтронных звезд.

Дополнительным свойством этого формализма является то, что он может быть использован для сшивания внутренней метрики с приближенной внешней метрикой. В связи с этим стоит отметить, что проблема сшивания внутренних и внешних решений подразумевает многие математические и физические проблемы [16-22], в том числе вычисление метрических функции и координат на поверхности сшивания, а также физическое поведение таких внутренних параметров, как давление и плотность распределения вещества. В следующих подразделах мы представим внутренние и внешние метрики и введем обозначения, которые будут использоваться далее в статье.

Внешнее решение Хартла-Торна. Метрика Хартла-Торна, описывающая внешние поля медленно вращающегося, слегка деформированного объекта, дается как

φ

dtd

R d J

d P

k R

R dR J P R

R k

R dt J P R

R k ds

Θ +

Θ + Θ Θ

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

− Θ

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ Θ−

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + Θ

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

4 sin sin )

)](

cos ( 2 [1

1 2 2 ) cos ( 2 2 1

1

cos 1) 2 (2

1 2 ) cos ( 2 2 1

1

=

2 2 2 2

2 3 2

2 4 1 2 2

2 1

2 2 4

1 2 2

1 2

M M

(1)

где

(5)

5

6 ,

= , / 1

8 1 5

= ²₃ ₃² ₂² ₂ ₁ ₄²

1 R

k J R k

J Q Q R

R

k J ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

M M

M

, 2 1

/ 1 4

= 5 ₂¹

1/2 2

2 4

2 1

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + −

+

−

M M

M

M R

R Q R

J Q R

k J k и

1) , (

5 3 1 ln 1 2 1) 3 (

= ) ( 1 ,

2 3 1 ln 1 2 1) 3 (

= )

( ₂ ₂

3 2

2 2 2

2 1/2

2 1

2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− −

−

− +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− −

−

− +

x x x x

x x x x Q

x x

x x x

x Q

присоединенные функции Лежандра второго рода. Константы M, J и Q связаны с полной массой, угловым моментом и квадрупольным моментом вращающегося объекта, соответственно. Этот вид метрики исправляет некоторые опечатки в исходной работе Хартла и Торна [8] (см. также [6] и [23]).

В общем случае данная метрика представляет собой приближенное вакуумное решение, с точностью до второго порядка по угловому моменту J и до первого порядка по квадрупольному моменту Q. В случае обычных звезд, таких как Солнце, в учете гравитационной постоянной G и скорости света с, метрика (1) может быть упрощена из-за малости параметров:

. 10 ,

10 ,

10

2 ⁶ ₃ ₂ ¹² ₂ ₃ ¹⁰

2

−

− ≈ ≈

×

≈

Sun Sun Sun

Sun Sun

Sun

c GQ c

GJ c

G

R R

R

M (2)

Для этого частного случая можно вычислить соответствующую приближенную метрику из (1) в пределе с → ∞. Расчеты эти просты и приводят метрику к следующему виду

. sin )

( ) cos 2 (

1 )

cos 2 (

1 2

4 sin )

cos 2 (

) cos 2 (

1 2

=

2 2 2 2 3 2

2 2

3 2 2 2

2 2 2 2 4 2

4 2 3 2

2 2

2

φ φ

d d

R R P

c dR GQ

R P c

GQ R

c G

R dtd c dt GJ c R P

c Q P G

R c

GQ R

c ds G

Θ +

⎥⎦ Θ

⎢⎣ ⎤

⎡ − Θ

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ + − Θ

−

Θ

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − + Θ + Θ

M

M M

(3)

Она описывает гравитационное поле для широкого спектра компактных объектов, и только в случае очень плотных (GM ~ c²R) или очень быстро вращающиеся (GJ ~ c³R²) объектов появляются большие расхождения.

Подход Фока. Для изучения физических свойств решений уравнений Эйнштейна, Фок [11]

предложил альтернативный метод, в котором параметры, входящие во внешнюю метрику, полу- чаются с помощью физических моделей для внутренней структуры тела. Этот подход учитывает внутренние свойства гравитационного источника, и сводит задачу нахождения приближенного внутреннего решения к вычислению некоторых интегралов, которые явно зависят от физических характеристик объекта. Таким образом, значимость внешних параметров становится более реалис- тичной и появляется возможность определения некоторых аспектов внутренней структуры объекта с помощью наблюдений, проводимых во внешней области тела. Итак, в этом разделе мы приводим основные результаты данного подхода, вывод частного внутреннего приближенного решения, и изучаем возможность сшивания его с внешним аналогом.

Внутреннее решение. Уточненная метрика первого приближения Фока была получена и иссле- дована Абдильдиным [2, 4, 12] в довольно простой форме. Впервые метрика была написана в первоначальном виде для гармонической системы координат [24, 25] следующим образом:

( )

8

( )

,

1 2

|

| 2 3 3 2

2 2

=

3 3 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 1

3 2 2

2 2

2

dt dx U dx U dx c U dx dx c dx

U

dt x r d

r

p U v

c G c

U U c ds

+ +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′ ′

−

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +Π−

− +

−

∫

^ρ

(4)

где c – скорость света в вакууме, G – гравитационная постоянная, U – ньютоновский гра- витационный потенциал, ρ – плотность массы тела, v – скорость частицы внутри тела, Π – упругая энергия на единицу массы, р – давление,

U

– гравитационный векторный потенциал. Заметим, что

(6)

6

величины ρ, v, Π и U, характеризующие внутреннюю структуру источника, зависят только от

«внутренних» координат x′_i, которые определяются только внутри тела. Для упрощения обозначе- ний мы опускаем аргументы, которые определяют координаты этой зависимости. Соответст- вующий тензор энергии-импульса задается как

( )

^,

= 1 ,

= 2 ,

1 1

= ₂ ₂ ² ⁰ ₂ ₂

00 i i ij vivj p ij

T c c v

T v U

c

T c

ρ ρ ρ

₊

δ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +Π−

+ (5)

где δ^ij – символ Кронекера и i, j = 1, 2, 3. Потенциал Ньютона удовлетворяет уравнению

∆U = – 4πGρ. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию асимптотической плоскости на бесконечности, может быть записано в виде объемного интеграла:

∫∫∫

_| ₋ _′_| ^′ ^′ ^′^.

= dx₁dx₂dx₃ r

G r

U

ρ

(6) Кроме того, гравитационный векторный потенциал должен непосредственно удовлетворять уравнению ∆Ui = – 4πGρvi, тогда общее асимптотическое плоское решение может быть представ- лено в виде

∫∫∫

_| ₋ _′_| ^′ ^′ ^′^.

= dx₁dx₂dx₃ r

r G v

U_i

ρ

ⁱ

(7) Дополнительную информацию об этой метрике можно найти в [3] и [26].

Стоит отметить, что Чандрасекар, используя метод Фока, получил в работе [1] решение, анналогичное (4), что впоследствии было использовано Хартлом и Шарпом в [27]. Тем не менее, не трудно показать, что решение Чандрасекара эквивалентно (4). Действительно, определение плотности

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ 1 3 2

1

=

2 2

U v

Chandra c

Fock

ρ

(8)

на уровне тензора энергии-импульса позволяет вычислить соответствующие метрические функции, показывающие эквивалентность метрик. Кроме того, в [1] было показано, что решение для стати- ческого случая может быть сопоставлено с известным решением Шварцшильда, специализиро- ванного на случай сферической симметрии и гидростатического равновесия в пост-ньютоновском приближении.

Метрика Фока для деформированного тела. В этом разделе мы рассмотрим случай дефор- мированных объектов, как, например, вращающийся эллипсоид. Очевидно, что если форма тела слегка отклоняется от сферической симметрии, то тело приобретает мультипольные моменты, в частности, квадрупольный момент; моменты более высокого порядка являются незначительными, особенно для медленно вращающегося эллипсоида. Мы теперь обобщим метрику Фока так, чтобы квадрупольный момент мог появиться явно при интегрировании (4) и в ньютоновском потенциале.

Следует отметить, что определение внешнего и внутреннего ньютоновских потенциалов для вращающегося эллипсоида является одной из классических проблем как теоретической, так и математической физики. Некоторые примеры для однородного эллипсоида рассмотрены в [28], но самые подробные сведения по этому вопросу были приведены в [29] и совсем недавно в [30]. Что касается внешнего решения, существуют несколько точных решений [6, 31-35] с квадрупольным моментом и параметром вращения, которые могут быть использованы в качестве возможных кандидатов для сшивания с внутренним приближенным решением. Однако в этой работе мы ограничимся лишь изучением приближенной метрики Хартла-Торна.

Рассмотрим уточненную метрику первого приближения Фока (4). Здесь удобно использовать обозначение х'1 = х, х'2 = у, х'3 = z. В общем случае тот факт, что плотность массы ρ = ρ(х, у, z) является функцией координат, не позволяет найти явное выражение для внутреннего ньюто- новского потенциала. Это возможно только путем численного интегрирования. Тем не менее, для случая однородной плотности в литературе существует огромное количество точных решений для вращающихся эллипсоидов. Поскольку здесь рассматривается приближение медленного вращения и слабого поля, мы можем использовать разложение для ньютоновского потенциала вдали от создающих его масс [28, 36] в виде

(7)

7

, ) cos 2 (

| =

= | ) ,

(

θ ρ

₃ P₂

θ

r GD r

dxdydz Gm r

G r r

U +

− ′

∫∫∫

(9)

где m – масса покоя эллипсоида, D – ньютоновский квадрупольный момент, θ – угол между r'²= x² + y² + z² и осью z. Заметим, что начало координат выбрано в центре инерции масс [28].

Первое слагаемое в выражении выше, является потенциалом сферы, а второе – отвечает за отклонение от сферической симметрии. Если взять ось z в качестве оси вращения, то масса покоя и квадрупольный момент определяются как

∫∫∫

^dxdydz

m=

ρ

, (10)

∫∫∫

⁽² ⁻ ⁻ ⁾ ^.

= z² x² y² dxdydz

D

ρ

(11) Используя ту же процедуру, можно записать интеграл в метрике Фока следующим образом

), cos 2 (

| =

| 2 3 3

3 2 2

ζ θ ρ

r P dxdydz r

r r

p U

v + D

− ′

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +Π−

∫∫∫

(12)

где

∫∫∫

^⎢_⎣^⎡ ^⎜_⎝^⎛₂³ ⁺^Π⁻ ^⎟_⎠^⎞⁺³ ^⎥_⎦^⎤ ^,

=

ρ

v² U p dxdydz

ζ

(13)

∫∫∫

^⎢_⎣^⎡ ^⎜_⎝^⎛₂³ ⁺^Π⁻ ^⎟_⎠^⎞⁺³ ^⎥_⎦^⎤⁽² ⁻ ⁻ ⁾ ^.

=

ρ

v² U p z² x² y² dxdydz

D (14)

Величина D/c² ^{является}релятивистской поправкой к ньютоновскому квадрупольному мо- менту D, т.е. квадрупольным моментом, возникающим из-за вращения. Для вычисления интегралов воспользуемся соотношением для сжимаемой упругой среды [11]:

,

= W

p

U

ρ

Π− + (15) здесь W есть потенциал центробежных сил определяемый как

2 , )

= ( ²

2

2+y Ω

W x (16) где для твердотельного вращения угловая скорость тела Ω={0,0,Ω} имеет одну компоненту вдоль оси z, и тогда v²=2W. Принимая во внимание эти выражения, вышеуказанные интегралы сводятся к простой форме

[ ]

∫∫∫

² ⁺ ^,

2

=

ρ

W p dxdydz

ζ

(17)

[ ]

∫∫∫

² ⁺ ⁽² ⁻ ⁻ ⁾ ^.

2

=

ρ

W p z² x² y² dxdydz

D (18)

Более того, для вычисления этих интегралов рассмотрим следующие два случая, определяющие внутреннюю структуру тела:

1) жидкое тело с последующим уравнением внутреннего движения [11]:

( )

= .

i

i x

W p

x U ∂

+ ∂

∂

ρ

∂ (19) 2) абсолютно твердое тело с уравнением внутреннего движения [37]:

.

=

i

i x

p x U

∂

ρ

∂

(20) Это уравнения гидростатического равновесия, которые были приняты Фоком [11] и Брум- бергом [37] для описания внутренней структуры объекта. Мы же ограничимся рассмотрением тех случаев, когда тело вращается как целое, в виде твердого тела. Тогда для жидкого и твердого тел кинетическая энергия вращения имеет следующий вид

2 ,

=

= Ω²

∫∫∫

^Wdxdydz ^I^zz

K

ρ

(21)

(8)

8

где Izz – главный момент инерции эллипсоида вдоль оси z. Давление может быть выражено как

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

∫∫∫

, ,

3 1

, ,

3 2 1

=

тела твердого для

тела жидкого для

K dxdydz

p ε

ε

(22)

где

∫∫∫

^,

2

= 1

ρ

Udxdydz

ε

(23) представляет собой отрицательную энергию взаимного притяжения частиц тела с обратным знаком.

Вторые моменты кинетической энергии

∫∫∫

^' ^' ^,

= Wx x dxdydz

K_ik

ρ

_i _k (24) могут быть вычислены с помощью приведенных выше выражений. Тогда для вторых моментов давления получаем

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

∫∫∫

−

, 2 ,

1

, 5 ,

2 2

1

= '

'

K

K dxdydz

x px

ik ik ik

k i

χ

(25)

где (более подробную информацию можно найти в [12])

∫∫∫

_∂^∂

− .

' ' ' 5 '

= 2 dxdydz

x x U x x

j j k i

ik ρ

χ (26)

После вычисления всех интегралов получаем

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ +

, 3 ,

4 2

, 3 ,

2 3 8

=

K

K ε

ζ ε (27)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

− +

∂

− ∂

−

− +

∫∫∫

, ,

) )(

5 ( 28

, ' ,

' ) 5 (

) 4 )(

5 ( 28

=

2 2 2 2 2

2 0

2 2 2

2 2 2 2

2 0

тело твердое dxdydz

x z y I x

S

тело жидкое dxdydz

x x U x z dxdydz

x z y I x

S

zz S

j j zz

L

κ ρ

ρ κ ρ

D ₍₂₈₎

где S₀ угловой момент тела, который находится из

,

0

= I

_zz

Ω

S

(29) и численные множители соответственно равны

⎪⎩

⎪⎨

⎧

. 28,

= 15

, 7,

= 4

=

S L

κ

κ κ (30)

В отличие от ньютоновского скалярного потенциала, векторный потенциал может быть легко вычислен из

[ ]

^.

= 2 ₃ S₀ r r

U G × (31) Введя эффективную (общую) массу

,

= ₂

m c

M ₊

ζ

(32) для метрики Фока мы получим следующее выражение

(9)

9

[ ]

4 sin ^,

sin ) (

) cos 2 (

1

) cos ( )

cos 2 (

) 2 cos 2 (

2

=

2 2 2 0

2 2 2 2 3 2

2 2

2 3 2

2 2 3 2

2

dt r d

c d GS d

r dr r P

c GD r

c GM

dt r P

c P G

r GD r

GM P c

r GD r

c GM ds

φ θ φ

θ θ

θ

θ θ

θ

+ +

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− D

(33)

в гармонических координатах. Для записи метрики в Шварцшильдо-подобных (стандартных) сферических координатах следует использовать преобразования

,

2 , →Θ

−

→

θ

c R GM

r (34) которые преобразуют метрику (33) в

, sin )

( ) cos ( 1

) cos 2 (

1

4 sin )

cos ( )

cos 2 (

=

2 2 2 2 3 2

2 2

3 2 2 2

2 2 2 0 4 2

2 2 3 2

2 2

2

φ

d

d R R P

c dR GD

R P c

GD R

c GM

dt R d

c dt GS R P

c DM P G

R G D c

R c GM ds

Θ +

⎥⎦ Θ

⎢⎣ ⎤

⎡ + Θ

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ + + Θ

−

Θ

⎥ +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟ Θ − Θ

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

−

− D

(35)

где мы пренебрегли квадратичными членами по квадрупольному моменту D. В предельном случае с нулевым вращением S₀= 0 и исчезающими квадрупольными моментами D=D=0, эта метрика представляет приближенное решение Шварцшильда.

Исследование метрики (33) показывает, что при грубом приближении, когда вращение медленное S₀ ≠0, но при этом тело обладает сферической симметрией, данная метрика сводится к приближенной метрике Фока рассмотренной в [2, 12] с полной массой М, и

2 .

= 0,

=

2 0

M

D

κ

S

−

D (36) Следует отметить, что аналогичный результат был получен Лаараккерсом и Пуассоном [38].

Они численно вычислили скалярный квадрупольный момент Q вращающихся нейтронных звезд для нескольких уравнений состояния, и обнаружили, что при фиксированной гравитационной массе М, квадрупольный момент дается простым квадратичным фитингом

2 2

= Mc

α

J

−

Q , (37) где J – угловой момент звезды и α – безразмерная величина, зависящая от уравнений состояния.

Следует обратить внимание, что скалярный квадрупольный момент Q Лаараккерса и Пуассона связан с квадрупольным моментом Хартла и Торна следующим образом

−Q

Q= (38) Вышепоказанный квадратичный фитинг воспроизводит Q с поразительной точностью. Вели- чина α колеблется от α ≈ 2 для очень мягкого уравнения состояния и до α ≈ 7.4 для очень жесткого уравнения состояния. Этот результат значительно отличается от черной дыры Керра, для которого κ = α = 1 (см. [2, 4, 6]). Недавно результаты работы [38], были модифицированы с учетом правиль- ного определения мультипольных моментов [18]. Поэтому значение параметра α в численном фитинге (37) слегка отличается от приведенного в [38]. В нашем случае, есть похожие, но не оди- наковые результаты, так как решение Фока недействительно в пределе сильных гравитационных полей (например, нейтронных звезд) и быстрых вращений. Значения для постоянной κ получаются из качественного анализа в пределе слабого поля и медленного вращения. Для того чтобы найти точные значения κ, необходимо задать уравнение состояния и выполнить численное интегриро- вание. Эта задача, однако, выходит за рамки настоящей работы.

И, наконец, покажем, что внешняя уточненная метрика Фока соответствует внешней метрике Хартла- Торна. Чтобы убедиться в этом, необходимо рассмотреть внешнее решение (35), написанное в тех же координатах, как и внешнее решение (3); это приводит к следующим алгебраическим соотношениям

2 .

= 1 ,

= ,

= ₀ ₂⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

− D c

Q S

J

M D

M (39)

(10)

10

Заключение. В данной работе мы изучили гравитационное поле медленно вращающихся, слег- ка деформированных астрофизических компактных объектов. Были рассмотрены приближенные решения уравнений Эйнштейна, которые могут быть использованы для описания внутреннего и внешнего гравитационных полей. В частности, был применен метод, предложенный Хартлом и Торном, для нахождения внутреннего и внешнего приближенных решений, и метод, предложен- ный Фоком. Мы вывели внешнюю уточненную метрику Фока, учитывающую вклад квадруполь- ного параметра до первого порядка, который описывает отклонение тела от сферической сим- метрии. Специфический параметр κ, который входит в уточненную метрику Фока, впоследствии принимает особые значения в случае жидкой и твердой сфер. Выяснилось также, что в случае приближенной метрики Керра, этот параметр не соответствует ни одной из известных внутренних моделей тела проанализированных в рамках формализма Фока.

Чтобы избежать технических проблем, которые обычно возникают в процессе сопоставления решений [21], мы использовали тот же набор координат внутри и снаружи тела. В случаях, пред- ставленных здесь, это может быть сделано относительно простым способом только потому, что все преобразования координат рассчитываются не точно, а с тем же приближением, что и метрические функции. Такой подход позволяет сократить соответствующие проблемы в сопоставлении метрик на соответствующей поверхности: таким образом, появляются только алгебраические условия.

Используя этот метод, мы могли показать, что приближенная метрика Керра не может быть сопоставлена с внутренним решением Фока.

С учетом последних работ по белым карликам [40–42] и нейтронным звездам [43], было бы интересно вычислить квадрупольный момент для этих объектов и выполнить анализы работ Лаараккерса и Пуассона [38], Паппаса и Апостолатоса [18]. Из наших предварительных резуль- татов мы ожидаем, что квадрупольный момент для вращающихся белых карликов и нейтронных звезд будет больше, чем квадрупольный момент Керра Q=J²/M. С этой целью целесообразно использовать метрику Хартла-Торна, так как она обладает как внутренним, так и внешним решениями в отличие от других точных решений, кроме того, она работает в режиме сильных гравитационных полей, в то время как метрика Фока работает только в режиме слабых полей.

ЛИТЕРАТУРА 1 Chandrasekhar S. // Astrophys. J. 142, 1488 (1965).

2 Абдильдин М.М. Вопросы теории поля / Под ред. С. Е. Ерматова. – Алма-Ата: Қазақ университеті, 1985. – С. 20-25.

3 Abdildin M.M., Abishev M. E., Beissen N.A., Boshkaev K.A. // Gravit. Cosmology. 15, 1 (2009)

4 Абдильдин М.М. Проблема движения тел в общей теории относительности. – Алматы: Қазақ университеті, 2006.

5 Kerr R.P. // Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).

6 Boshkayev K., Quevedo H., Ruffini R. // Physical Review D 86, 064043 (2012) 7 Hartle J.B. // Astrophys. J. 150, 1005 (1967).

8 Hartle J.B., Thorne K.S. // Astrophys. J. 153, 807 (1968).

9 Andersson N., Comer G. L. // Classical Quantum Gravity 18, 969 (2001).

10 Stergioulas N. // Living Rev. Relativity 6, 3 (2003).

11 Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. – М, 1961.

12 Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна. – Алма-Ата: Наука, 1988.

13 Berti E., Stergioulas N. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 350, 1416 (2004).

14 Berti E., White F., Maniopoulou A., Bruni M. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 358, 923 (2005).

15 Benhar O., Ferrari V., Gualtieri L., Marassi S. // Phys. Rev. D 72, 044028 (2005).

16 Pappas G., Apostolatos T.A. // Classical Quantum Gravity 25, 228002 (2008).

17 Pappas G. // J. Phys. Conf. Ser. 189, 012028 (2009).

18 Pappas G., Apostolatos T.A. // Phys. Rev. Lett. 108, 231104 (2012).

19 Pappas G. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 422, 2581 (2012).

20 Pachon L.A., Rueda J.A., Valenzuela-Toledo C.A. // Astrophys. J. 756, 82 (2012).

21 Quevedo H. Proceedings of the 12th M-G Meeting on GR. – Paris, 2009 / Еd. by T. Damour, R. T. Jantzen, and R. Ruffini (World Scientific, Singapore, 2012); arXiv:1205.0500.

22 Thorne K.S. // In Houtes Energies en Astrophysique / Edited by C. DeWitt, E. Schatzman, and P. Veron (Gordon and Breach, New York, 1967), Vol. 239.

23 Bini D., Geralico A., Quevedo H. // Classical Quantum Gravity 26, 225006 (2009).

24 Donder T. De. La Gravifique Einsteinienne. – Paris: Gauthier-Villars, 1921.

25 Lanczos C. // Phys. Z. 23, 537 (1923).

26 Abdildin M.M., Abishev M. E., Beissen N.A., Brisheva Zh.N. // Gravit Cosmol. 15, 141 (2009).

27 Hartle J. B., Sharp D.H. // Astrophys. J. 147, 317 (1967)

28 Landau L.D., Lifshitz E.M. Classical Theory of Fields. – Addison-Wesley, Reading, MA, 1962.

(11)

11

29 Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium. – Yale Univ. Pr., New Haven, CT, 1967.

30 Meinel R., Ansorg M., Kleinwachter A., Neugebauer G., Petroff D. Relativistic Figures of Equilibrium. – Cambridge, England: Cambridge University Press, 2008.

31 Manko V.S. // Classical Quantum Gravity 7, L209 (1990).

32 Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. // Phys. Rev. D 61, 081501(R) (2000).

33 Quevedo H., Mashhoon B. // Phys. Lett.A109, 13 (1985).

34 Quevedo H., Mashhoon B. // Phys. Rev. D 43, 3902 (1991).

35 Quevedo H. // Phys. Rev. D 33, 324 (1986).

36 Lanza A.F., Rodono M. // Astron. Astrophys. 349, 887 (1999).

37 Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. – М., 1972.

38 Laarakkers W.G., Poisson E. // Astrophys. J. 512, 282 (1999).

39 Thorne K.S. // Rev. Mod. Phys. 52, 299 (1980).

40 Rotondo M., Rueda J. A., Ruffini R., S.-S. Xue. // Phys. Rev. C, 83(4) (2011).

41 Rotondo M., Rueda J. A., Ruffini R., S.-S. Xue. // Phys. Rev. D, 84(8) (2011).

42 Boshkayev K., Rueda J. A., Ruffini R., Siutsou I..// ApJ. 762, 117 (2013).

43 Belvedere R., Pugliese D., Rueda J. A., Ruffini R., S.-S. Xue // Nuclear Ph. A, 883:1–24, 2012.

REFERENCES 1. Chandrasekhar S., Astrophys. J. 142, 1488 (1965).

2. Abdildin M.M., Voprosy teorii polya, pod redakciei S.E. Yermatova (Qazaq Universiteti, Alma-Ata, 1985) str. 20–25. (in Russ).

3. Abdildin M.M., Abishev M. E., Beissen N.A., and Boshkaev K.A., Gravit. Cosmology 15, 1 (2009)

4. Abdil'din M.M., Problema dvizhenija tel v obshhej teorii otnositel'nosti (Qazaq Universitetі, Almaty, 2006). (in Russ).

5. Kerr R.P., Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963).

6. Boshkayev K., Quevedo H., Ruffini R., Physical Review D 86, 064043 (2012) 7. Hartle J.B., Astrophys. J. 150, 1005 (1967).

8. Hartle J.B. and Thorne K.S., Astrophys. J. 153, 807 (1968).

9. Andersson N. and Comer G. L., Classical Quantum Gravity 18, 969 (2001).

10. Stergioulas N., Living Rev. Relativity 6, 3 (2003).

11. Fok V.A., Teorija prostranstva, vremeni i tjagotenija (M, 1961). (in Russ).

12. Abdil'din M.M., Mehanika teorii gravitacii Jejnshtejna (Nauka, Alma-Ata, 1988). (in Russ).

13. Berti E.and Stergioulas N., Mon. Not. R. Astron. Soc. 350, 1416 (2004).

14. Berti E., White F., Maniopoulou A., and Bruni M., Mon. Not. R. Astron. Soc. 358, 923 (2005).

15. Benhar O., Ferrari V., Gualtieri L., and Marassi S., Phys. Rev. D 72, 044028 (2005).

16. Pappas G.and Apostolatos T.A., Classical Quantum Gravity 25, 228002 (2008).

17. Pappas G., J. Phys. Conf. Ser. 189, 012028 (2009).

18. Pappas G.and Apostolatos T.A., Phys. Rev. Lett. 108, 231104 (2012).

19. Pappas G., Mon. Not. R. Astron. Soc. 422, 2581 (2012).

20. Pachon L.A., Rueda J.A., and Valenzuela-Toledo C.A., Astrophys. J. 756, 82 (2012).

21. Quevedo H., Proceedings of the 12th M-G Meeting on GR, Paris, 2009, ed. by T. Damour, R. T. Jantzen, and R. Ruffini (World Scientific, Singapore, 2012); arXiv:1205.0500.

22. Thorne K.S., in Houtes Energies en Astrophysique, edited by C. DeWitt, E. Schatzman, and P. Veron (Gordon and Breach, New York, 1967), Vol. 239.

23. Bini D., Geralico A., and Quevedo H., Classical Quantum Gravity 26, 225006 (2009).

24. Donder T. De, La Gravifique Einsteinienne (Gauthier-Villars, Paris, 1921).

25. Lanczos C., Phys. Z. 23, 537 (1923).

26. Abdildin M.M., Abishev M. E., Beissen N.A., Brisheva Zh.N., Gravit Cosmol. 15, 141 (2009).

27. Hartle J. B. and Sharp D.H., Astrophys. J. 147, 317 (1967)

28. Landau L.D., Lifshitz E.M., Classical Theory of Fields (Addison-Wesley, Reading, MA, 1962).

29. Chandrasekhar S., Ellipsoidal Figures of Equilibrium (Yale Univ. Pr., New Haven, CT, 1967).

30. Meinel R., Ansorg M., Kleinwachter A., Neugebauer G., and Petroff D., Relativistic Figures of Equilibrium (Cambridge University Press, Cambridge, England, 2008).

31. Manko V.S., Classical Quantum Gravity 7, L209 (1990).

32. Manko V.S., Mielke E.W., and Sanabria-Gomez J.D., Phys. Rev. D 61, 081501(R) (2000).

33. Quevedo H. and Mashhoon B., Phys. Lett.A109, 13 (1985).

34. Quevedo H. and Mashhoon B., Phys. Rev. D 43, 3902 (1991).

35. Quevedo H., Phys. Rev. D 33, 324 (1986).

36. Lanza A.F., and Rodono M., Astron. Astrophys. 349, 887 (1999).

37. Brumberg V.A., Reljativistskaja nebesnaja mehanika (M, 1972). (in Russ)..

38. Laarakkers W.G. and Poisson E., Astrophys. J. 512, 282 (1999).

39. Thorne K.S., Rev. Mod. Phys. 52, 299 (1980).

40. Rotondo M., Rueda J. A., Ruffini R., and S.-S. Xue. Phys. Rev. C, 83(4) (2011).

41. Rotondo M., Rueda J. A., Ruffini R., and S.-S. Xue. Phys. Rev. D, 84(8) (2011).

42. Boshkayev K., Rueda J. A., Ruffini R., and Siutsou I. ApJ, 762, 117 (2013).

43. Belvedere R., Pugliese D., Rueda J. A., Ruffini R., and S.-S. Xue. Nuclear Ph. A, 883:1–24, 2012.

(12)

12 Резюме

К. А. Бошкаев^1,2,3, Э. Кеведо^2,3,4, М. Е. Абишев¹, С. Токтарбай¹, Е. К. Аймуратов¹ (¹Əл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы, Қазақстан Республикасы,

ФОК ЖƏНЕ ХАРТЛ-ТОРН МЕТРИКАЛАРЫНЫҢ СƏЙКЕС БОЛУЫ

Жұмыста Фок жəне Хартл-Торн шешімдері қарастырылады. Бұл шешімдер баяу айналатын жəне сəл деформацияланған астрофизикалық компакт объектілердің гравитациялық өрісін сипаттау үшін пайдала- нылады. Жалпыланған ішкі жəне сыртқы шешімдерді алу үшін Фок əдістері қолданылады. Фок əдісімен алынған сыртқы шешім Хартл-Торнның жуық сыртқы шешіміне пара-пар екені көрсетіледі. Нəтижесінде баяу айналатын жəне сəл деформацияланған астрофизикалық компакт объектілердің гравитациялық өрісін сипаттайтын аналитикалық жуық шешім алынды.

Кілт сөздер: Эйнштейн теңдеулерінің жуық шешімдері, Фок метрикасы, Хартл-Торн метрикасы.

Summary

K. A. Boshkayev^1,2,3,H. Quevedo^2,3,4, M. E. Abishev¹, S. Toktarbay¹, Y. K. Aimuratov¹ (¹Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Republic of Kazakhstan,

CORRESPONDENCE OF FOCK AND HARTLE-THORNE METRICS

In this work the approximate solutions of Fock and Hartle-Thorne are studied in the limiting case of weak gravitational field, slow rotation and slight deformation. The Fock method is used to derive a generalized interior solution, and also an exterior solution that turns out to be equivalent to the exterior Hartle-Thorne approximate solution. As a result an analytic approximate solution is obtained that describes the interior and exterior gravitational field of a slowly rotating and slightly deformed astrophysical object.

Keywords: approximate solutions of Einstein’s equations, Fock’s metric, Hartle-Thorne’s metric.

Поступила 5.07.2013г.

(13)

13 УДК 53.087/.088; 53.072; 53:004;

УДК 002.6:004.65; 002.6:0