(1)Қазақстан Республикасының Министерство Білім және ғылым образования и науки министрлігі Республики Казахстан Д

Қазақстан Республикасының Министерство

Білім және ғылым образования и науки

министрлігі Республики Казахстан

Д. Серікбаев атындағы ШҚМТУ ВКГТУ им. Д. Серикбаева

С.Ж Тыныбекова, Ж.Т. Рахметуллина, Ә.Ә. Конырханова

ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА СҰРАҚТАР МЕН ЕСЕПТЕРДЕ

Оқу құралы

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

Өскемен Усть-Каменогорск

2011

БЕКІТЕМІН Оқу-эістемелік жұмыс жөніндегі проректор ________________ Н.Н. Линок

«_____»_____________2011ж.

4

Оқу құралы жоғары математика кафедрасында Қазақстан Республикасының жалпы мемлекеттік білім беру стандарты негізінде барлық техникалық бағыттағы мамандықтардың студенттеріне арналып жасалған.

Оқу құралы жоғары математика құжыра отырысында талқыланған

Құжыра меңгерушісі Н.Г.Хисамиев Хаттама № ____ ___________ 2011 ж.

Ақпараттық технология және энергетика факультетінің әдістемелік кеңесінде құпталды.

Әдістемелік комиссия төрағасы Хаттама № ____ ____________ 2011 ж.

Құрастырғандар С.Д. Тыныбекова Ж.Т.Рахметуллина Ә.Ә.Қоңырханова

Норма бақылаушы Е.В. Петрова

5

МАЗМҰНЫ

Алғы сөз 4

1 Кездейсоқ оқиғалар 5

1.1.Ықтималдықтар теориясы пәні. Негізгі ұғымдар 5

1.2 Оқиғалар алгебрасы 6

1.1 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы 5

1.2 Комбинаториканың негізгі формулалары 5

1.3 Геометриялық ықтималдық 6

1.4 Ықтималдықтың қосу және көбейту теоремалары 7

1.5 Толық ықтималдықтар формуласы. Бейес формуласы 7

1.6 Тәуелсіз сынақтардың қайталануы. 8

1.7 Есеп шығару үлгілері 9

1.8 Қайталауға арналған сұрақтар 23

2 Кездейсоқ шамалар 23

2.1 Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары мен сандық сипаттамалары 23

2.2 Кездейсоқ шамалардың функциясының сандық сипаттамалары 25 2.3 Үлкен сандар заңы 25

2.4 Бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалар үшін орталық шектік теорема 26

2.5 Есеп шығару үлгілері 27

2.6 Қайталауға арналған сұрақтар 33

3 Математикалық статистика 34

3.1 Үлестірілген параметрлердің нүктелік бағалары 34

3.2 Сенімділік интервалдары 35

3.3 Жорамалдардың статистикалық тексеруі 37

3.4 ² келісімділік критерийі 38

3.5 Есеп шығару үлгілері 39

3.6 Қайталауға арналған сұрақтар 46

4 Өз бетімен орындайтын есептеу тапсырмалары 47

5 Әдебиеттер тізімі 52

А Қосымшасы. Өз бетімен орындайтын тапсырмалардің берілген мәндері 53

Б Қосымшасы. Кестелер 61

4 5 5 5 6 6 7 7 9 1 1 2 1

6

АЛҒЫ СӨЗ

Қазіргі заман талаптары техникалық мамандықтардағы бакалавриат түлектерін дайындау сапалы болуы үшін математика курсының қолданбалы бағытындағы курстарын күшейтуді және іргелі математикалық дайындықтың деңгейін арттыруды қажет етеді. Осы мақсатпен жоғарғы оқу орындарында математика пәндері бойынша элективті курстар құрастырылып, «Техникалық мамандықтарды математикаландыру» жобасы енгізілуде.

«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәні техникалық және экономикалық мамандықтар үшін өте қажет математикалық пәндердің бірі болып есептеледі. Ықтималдықтар теориясын техникалық және экономикалық есептерді қазіргі заман жағдайында шешу үшін тәжірибелік берілгендердің ғылыми негізін, яғни, қарастырылып отырған үдерістер мен құбылыстардың математикалық үлгілерін алу және талдаудың математикалық әдістерін пайдаланбай қолдану мүмкін емес. Студенттерді осындай әдіспен оқыту «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәнінің мақсаты болып табылады. Студенттердің белсенді өзіндік жұмысы пәнді терең меңгеруінің кепілі. Математика пәнінен оқу үрдісін қарқындатудың бір түрі өзіндік үй тапсырмалары (ӨҮТ) мен семестрлік тапсырмалар (СТ) жүйесі болып табылады. Ұсынылып отырған оқу құралы Қазақстан Республикасының мемлекеттік білім стандарты, типтік оқу бағдарламасы негізінде техникалық бағыттағы мамандықтарға арналып жазылған. Оқу құралы үш бөлімнен тұрады.

Негізгі теориялық мағлұматтар мен формулалар, өз білімін тексеруге арналған сұрақтар және өзіндік үй тапсырмалары мен оның бір нұсқасының есептерін шығару жолына әдістемелік талдау В.Ф Чудесенконың «Жоғарғы математикадан арнайы курстар бойынша тапсырмалар жинағы» оқу құралы негізге алына отырып берілген.

Жалпы инженерлік және техникалық пәндерден зертханалық жұмыстарды орындаудағы сынақтардың нәтижелерін дұрыс бағалауда студентер үшін оқу құралының үлкен көмегі болмақ.

Оқу құралы жоғарғы оқу орындарының барлық техникалық мамандықтарының студенттеріне арналған.

7

1 КЕЗДЕЙСОҚ ОҚИҒАЛАР

1.1 Ықтималдықтар теориясы пәні. Негізгі ұғымдар

Ықтималдықтар теориясы – ол кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық ғылым саласы.

Ықтималдықтар теориясының негізгі есебі – жалпылай мінездемелі кездейсоқ құбылыстарды зерттеудің математикалық заңдылықтарын құру және оны жеке фактілер негізінде алдын ала көру. Өзімізді қоршаған әлемде біз әртүрлі кездейсоқ құбылыстарға тап боламыз және олардың басым көпшілігі бақылаулар саны өте үлкен болғанда белгілі заңдылықтарға бағынады.

Ықтималдықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың жалпылай қайталануы бағынатын абстрактілі түрдегі заңдылықтарды зерттейді.

Ықтималдықтар теориясы 17 ғасырда құмар ойындар нәтижесінде пайда болған. Қарастырылып отырған кездейсоқ құбылыстың барлық элементар

нәтижелерінің жиынын – Ω деп белгілейік және Ω ( бос жиын).

F дегеніміз - Ω-ның оқиғалар (кездейсоқ оқиғалар) деп аталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі болсын. Әрбір  элементар оқиға деп, ал Ω-ның өзі элементар оқиғалар кеңістігі деп аталады. Егер кездейсоқ тәжірибе (сынақ, құбылыс) нәтижесінде элементар  оқиғасы пайда болатын болса және

F A

 болса, онда тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болды дейді.

Бос жиынмен беттесетін оқиға жалған оқиға деп аталады және былай белгіленеді: V. Немесе жалған оқиға деп берілген шарт бойынша мүлдем орындалмайтын оқиғаны айтамыз. Ал Ω жиынымен беттесетін оқиға ақиқат оқиға деп аталады және оны U арқылы белгілейік. Немесе ақиқат оқиға дегеніміз берілген шарт бойынша сөзсіз орындалатын оқиға. Мысалы, алтыжақты ойын сүйегін лақтырғанда бір ұпайынан кем емес ұпайдың түсуі – ақиқат оқиға.

Ықтималдықтар теориясы статистикалық қорытындылар жасау, сондай- ақ қандай да бір оқиғаның орындалу немесе орындалмауының бақылау сапасын, басқару шешімдерін қабылдау, экономикада инженерлік есептеулерді жүргізу және т.с.с. қоса алғандағы сандық бағасын, негізін құрады.

Ықтималдықтар теориясы пәні жалпылай кездейсоқ оқиғалардың ықтималды заңдылықтарын зерттейді. Ықтималдықтар теориясы әдісі сенімділіктілер теориясында, атқыштар, автоматтық басқаруларда және т.б.

кеңінен қолданылады. Ықтималдықтар теориясы өнеркәсіпті жоспарлауда және ұйымдастырудағы технологиялық үрдістерді талдауда қолданылатын математикалық және қолданбалы статистиканың негізі. Зерттеудің ықтималдық немесе статистикалық әдістері қолданылмайтын білім аймағы жоқ деп сенімділікпен айта аламыз. Ықтималдықтар теориясында оқиға ұғымына анықтама беріп көрелік.

Анықтама. Ықтималдықтар теориясында оқиға деп қандай да бір сынақ (тәжірибе) нәтижесінде орындалуы мүмкін қандай да бір фактіні айтамыз.

8

Сынау нәтижесінде А оқиғасының пайда болуы да, болмауы да мүмкін болса, онда А – кездейсоқ (мүмкін) оқиға деп аталады.

Мысалы: Атқыш нысанаға оқ атты. Оқтың атылуы – сынақ, ал оның нысанаға тиюі– оқиға. Оқиғаларды былай белгілеуге болады: A,B,

Бірлік кездейсоқ оқиға (жеке тәжірибе нәтижесі) – көбінде есепке алу мүмкін емес өте көп кездейсоқ себептердің салдарлары. Бірақ та, егер жалпылай біртекті оқиғаларды (бірдей мүмкіндіктерде жүргізілген тәжірибелердің бірнеше есе рет бақылануы) қарастыратын болсақ, онда олар белгілі бір заңдылыққа бағынады: бірдей мүмкіндікте тиынды өте көп рет лақтыру нәтижесінде герб жағының түсу саны барлық лақтырыстың санының жартысына тең деп айтсақ, жіберілген қателік үлкен болмас еді.

Анықтама.

o Оқиғалар тең мүмкіндікті оқиғалар деп аталады, егер осы оқиғалардың бірде-біреуінің сынақ нәтижесінде басқаларына қарағанда бұдан басқа ешқандай мүмкіндігі жоқ деп айтуға негіз бар болса.

o А және В оқиғалары үйлесімді оқиғалар деп аталады, егер олардың біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуын жоққа шығара алмаса. Кері жағдайда, олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.

o Оқиғалар тобы үйлесімді деп аталады, егер осы топтың тым болмағанда екі оқиғасы үйлесімді болса, кері жағдайда, олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.

o Үйлесімсіз оқиғалар тобы толық топ құрады деп айтамыз, егер сынақ нәтижесінде міндетті түрде осы оқиғалардың біреуі және тек біреуі ғана пайда болатын болса.

Мысал 1. Нысанаға үш оқ атылды: ^A₁

 

^A₁ - бірінші оқтың нысанаға тиюі (тимеуі), ^A₂

 

^A₂ - екінші оқтың нысанаға тиюі (тимеуі), ^A₃

 

^A₃ ^-

үшінші оқтың нысанаға тиюі (тимеуі). Онда:

а) A₁, A₂, A₃ - тең мүмкіндікті оқиғалардың үйлесімді тобы.

б) A₁, A₁ - үйлесімсіз оқиғалардың толық тобы, A₁ оқиғасы - A₁ оқиғасына қарама-қарсы оқиға.

в) A₁, A₂, A₃, A₁, A₂, A₃- оқиғалардың толық тобы.

1.2 Оқиғалар алгебрасы

Оқиғалар Ω-ның ішкі жиындары болғандықтан, теориялық – жиындық терминалогияны пайдаланып жаңа оқиғаларды сәйкес жиындардың қосындысы, қиылысуы және толықтауыш жиындары ретінде анықтауға болады.

Оқиғалар арасындағы қатыстар мен амалдарды қарастырайық және оның жиындар арасындағы амалдар мен қатыстарға сәйкесінше эквивалентті екенін ескерейік. Анықтама бойынша кез келген А оқиғасы элементар оқиғалар кеңістігінің (жиынының) ішкі жиыны.

9

Анықтама. А оқиғасы А оқиғасына қарама-қарсы оқиға деп аталады, егер А оқиғасының орындалмауынан А -ның орындалатыны және А оқиғасының орындалуынан А оқиғасының орындалмайтыны шығатын болса.

Бұл оқиғаны А оқиғасын жоққа шығару оқиғасы деп те айтуға болады (1-сурет, Вьенна диаграммасы)

1-сурет

А оқиғасы В оқиғасының құрамында жатады деп айтамыз, егер А оқиғасының пайда болуынан В оқиғасы сөзсіз пайда болатыны шығатын болса:

А В.

Егер АВ және ВА, онда А=В, яғни, А және В оқиғалары эквивалентті оқиғалар деп аталады.

А және В оқиғаларының қосындысы немесе бірігуі деп тым болмағанда біреуі пайда болғанда пайда болатын оқиғаны айтамыз: С=А+В немесе С=АВ (2-сурет).

С=А+В

немесе А, немесе В, немесе А және В

2-сурет

А және В оқиғаларының көбейтіндісі немесе қиылысуы деп олардың бір уақытта бірге пайда болуын айтамыз: С=АВ немесе С=АВ (3-сурет).

С=А∙В әрі А, әрі В

3-сурет

А және В оқиғаларының айырымы деп А оқиғасы пайда болып, В оқиғасы

пайда болмаған кезде пайда болатын оқиғаны айтамыз: С=А-В или С=А\В (4-сурет).

10

С=А\В

4-сурет

А₁, А₂, …, А_n оқиғалары толық топ құрса, онда:

А₁+А₂+…+А_n=U, мұндағы U- ақиқат оқиға.

А және В оқиғалары үйлесімсіз оқиғалар болса, онда:

АВ=V, мұндағы V- жалған оқиға.

Оқиғаларды қосу, көбейту және оқиғалардың айырмасы, сондай-ақ, ақиқат, жалған және қарама –қарсы оқиғалардың анықтамаларынан мынадай тепе- теңдіктерді алуға болады:

V A A C

B A C) (A B) (A A

A A

U A A C

A B A C) (B A A

A A









































B A B A

V V A C

B) (A C) (B A

B A B A

A U A C

B A C

B A

A A

A

V A

A B B A

B A B

\ A

U U A

A B B A



































































) (

) (

Бұл тепе-теңдіктердің басым көпшілігін өз бетімен тексеру қиындық туғызбайды. Геометриялық үлгілерді қолдануды ұсынамыз.

C A B A C) (B

A      формуласын дәлелдейік.

5а -сурет 5б -сурет

A B

C

A B

C

11 C)

(B

A  оқиғасы А-да и BC-да жататын элементар оқиғалардан тұрады, яғни, А оқиғасынан не В мен С оқиғаларының тым болмағанда біреуінен тұратын оқиға. Басқаша айтсақ, A(BC) оқиғасы

B

A оқиғасына не AC оқиғасына жататын элементар оқиғалардан тұрады, яғни, ABAC . Геометриялық тұрғыдан, A(BC) оқиғасы А және

C

B оқиғаларының ортақ бөлігін құрайды (5а-сурет), ал

C A B

A   оқиғасы AB және AC оқиғаларының бірігуінен тұрады (5б-сурет), яғни, A(BC) облысын көрсетеді.

1.3 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы A оқиғасының P

 

A ықтималдығы деп,

 

n A m

P  ,

шамасын айтады, мұндағы m- А оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалар саны, n- тең мүмкіндікті элементарлық оқиғалар кеңістігінің барлық оқиғалар саны.

Мысал 2. Жәшікте 30 зат бар және оның бесеуі жарамсыз. Кездейсоқ алынған бір заттың жарамсыз зат болу ықтималдығын есепте.

Шешуі. Жәшіктен бір-бірден зат алсақ, барлық мүмкін жағдайлар саны

30

n . Ал осының ішінде алынған заттың жарамсыз болу жағдайларының саны

5

m . Егер А оқиғасы - кездейсоқ алынған бір зат жарамсыз деген оқиға болса, онда оның пайда болуының ықтималдығы былай есептеледі:

6 1 30 ) 5

(A  

P .

А оқиғасының қатысты жиілігі деп мынадай шаманы айтамыз:

n A) m

( .

мұндағы m дегеніміз - А оқиғасы пайда болатын сынаулар саны, ал n- барлық жүргізілген сынаулар саны.

А оқиғасының статистикалық ықтималдығы деп жүргізілген сынаулардың үлкен санының қатысты жиілігін айтамыз және былай белгілейміз P^*(A). Сонымен,

n

n n

A m A

P^*( )lim( )lim

Ұзақ зерттеулер жүргізілген әртүрлі сынауларда n жеткілікті үлкен болған сайын ^P*

 

^A -дағы өзгеріс өте аз екенін көрсетеді, яғни статистикалық ықтималдық деп аталатын қандай да бір тұрақты санның маңайында тұрып алады.

Ықтималдықтың қасиеттері:

1. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең.

2. Жалған оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең.

12

3. Кез келген А оқиғасы үшін 0 P

 

A 1.

1.4 Комбинаториканың негізгі формулалары

Комбинаториканың негізгі принциптерін қарастыралық. Бірінен кейін бірі орындалатын k әрекет жасау қажет болсын. Егер бірінші әрекетті n₁ әдіспен, екінші әрекетті - n₂ әдіспен және т.с.с., k - әрекетті n_k әдіспен орындауға болатын болса, онда барлық k әрекетті n₁n₂n₃....n_k әдіспен орындауға болады. n элементтен тұратын жиын берілсін.

 - жиыны n элементтен тұрады. n элементті жиынның kэлементтен тұратын ішкі жиыны деп n элементтен k элемент бойынша алынған теруді атайды.

Ішкі жиындағы элементтердің реті аса маңызды емес.

Айырмашылықтары тек элементтерінің құрамында болатын әртүрлі n элементтің ішінен k элемент бойынша құралған топтастыруды теру деп атайды және былай есептеледі:

)!. (

!

! k n k C_n^k n



 

{a‚b‚c} жиынының элементтерінен екі элемент бойынша алынған терулер саны: {a‚b},{a‚c},{b‚c}, яғни, 3

! 1

! 2

!

2 3

3 

 

C , ал бір элемент бойынша алынған терулер саны:

     

^{a , b , c , яғни, 3}

! 2

! 1

!

1 3

3 

 

C .

Теру үшін мынадай формулалар ақиқат:

1 1

, ^1 _^

  

 _n^{n k} _n^{k k}_{n n}^k

k

n C C C C

C .

Мысалы,

. 2 435

1 30

2 29

30 28

30 



 

C C

 

 

n  k

k k k n k n

n C p q x

qx p

0

) (

теңдігі Ньютон биномы деп аталады. Бұдан, p1, qx1 болғанда, мына теңдікті аламыз:

 

 n k

n k

Cn 0

2 .

Айырмашылықтары тек элементтерінің орналасу ретінде болатын жиын алмастыру деп аталады және былай есептеледі: P_n  n!.

{a‚b‚c} жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен P₃ 3! 6 алмастыру құрастыруға болады,яғни:

     



, ,

 

, , ,

 

, , ,



. , , , , , , , , ,

a b c b a c a c b

c a b b c a c b a

13

Орналастыру деп айырмашылықтары не элементтерінің құрамында, не элементтерінің орналасу ретінде болатын әртүрлі n элементтің ішінен k элемент бойынша құралған топтастыруды айтамыз және мынадай формула бойынша есептейміз:

k

An=n(n1)(n2)...(nk1)

)!

(

! k n

n

  .

{a‚b‚c} жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен екі элементтен тұратын {a‚b},{a‚c},{b‚c}‚{b‚a}‚{c‚a}‚{c‚b} немесе A₃²326 орналастыру жасауға болады.

Мысал 3. Барлық жеті орынды телефон нөмірлерінің санын тап, егер бірде-бір цифр екінші рет қайталанбаса.

Шешуі. Бұл есепте кез келген екі цифрдың орнын ауыстырсақ, басқа телефон нөмірі шығады, яғни, орналасу реті ескеріледі. Ендеше, бұл 10 элементтен жеті элемент бойынша алынған орналастыру:

. 604800 4

5 6 7 8 9

7 10

10        

A

Мысал 4. Әртүрлі сегіз хатты әртүрлі сегіз конверттке неше тәсілмен салуға болады, егер бір конвертке тек бір ғана хат салу керек болса?

Шешуі. P₈ 8!40320.

Мысал 5. Спорт алаңында 12 адам ойнап жүр. Бұлардың ішінен жарысқа қатысатын төрт адамнан тұратын команданы неше тәсілмен алуға болады?

Шешуі. Орналасу реті ескерілмейді, яғни, төрт адамнан алынған команданың ішіндегі адамдардың орнын қанша ауыстырсақ та, бұл бір ғана команда болады. Ендеше, бұл теру: C₁₂⁴ 495.

m  k k

k₁, ₂,..., теріс немесе бүтін сандар және  

 m

i ki n

1

болсын. n элементтен тұратын A жиыны құрамында k₁,k₂,...,k_m сәйкес элементтері бар

Am

A

A₁, ₂,...., жиындарының қосындысы түрінде берілсін. Онда әр топтан сәйкес km

k

k₁, ₂,..., элементтерді теру формуласы:

!

!...

! ) ! ,..., , (

2 1 2

1

m m

n k k k

k n k

k

C  .

n элементтен тұратын A жиыны құрамында n₁,n₂,...,n_k сәйкес элементтері бар A₁,A₂,....,A_k жиындарының қосындысы түрінде берілсін және

  k

i ni n

1

. B жиыны - A жиынының m элементті ішкі жиыны: A₁ жиынынан m₁ элемент, A₂ жиынынан m₂ элемент, т.с.с. A_k жиынынан m_k элемент алынған



^_^{k }



i mi m

1

. B жиынын - A жиынынан таңдап алудың саны комбинаториканың негізгі принципіне сәйкес

k k

m n m

n m

n C C

С  ² ...

2 1

1 .

формуласымен есептеледі.

14

Әртүрлі n элементтің ішінен k элемент бойынша қайталаумен алынған орналастыру A^k_n n^k формуласымен есептеледі.

{a‚b‚c} жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен екі элементтен тұратын қайталаумен алынған орналастыру: {a‚b}, {a‚c}, {b‚c}‚ {b‚a}‚ {c‚a}‚

{c‚b}, {a‚а},{b‚b},{c‚c}‚ немесе A ²₃ 3² 9.

n элементтен құрамында бір типті заттан n₁ зат бар, басқа типті заттан n2 зат бар, және т.с.с. k типті заттан n_k зат бар, мұндағы n₁ n₂ ...n_k  n, алынған қайталанбалы алмастыру мынадай формула бойынша есептелінеді:

 

.

! ...

!

! ,..., !

,

2 1 2

1

k k

n n n n

n n n n

P   

Әртүрлі n элементтің ішінен k элемент бойынша қайталаумен алынған теру:

 



1



!

!

! 1

1  



 

 _{ }

n k

k C n

C^kn _n^k _k формуласымен есептеледі.

Мысал 6. Алты қабатты үйдің бірінші қабатынан үш адам лифтыға отырды. Олардың әрқайсысы бірдей ықтималдықпен, бір-біріне тәуелсіз екінші қабаттан бастап түсе алады. Қабаттарда түсудің әртүрлі барлық жағдайлары қанша?

Шешуі. Олардың барлығы екінші қабаттан бастап бір қабатта түсуі мүмкін: яғни, 2,2,2. Немесе мынадай жағдай болуы мүмкін: 2,2,5. Ендеше, біз 2,3,4,5,6 цифрларынан цифрлары қайталанатын үштаңбалы әртүрлі қанша сан құра аламыз, соны табуымыз қажет:

125 5³

3

5  

A .

Мысал 7. Бірдей он карточкаға М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А әріптері жазылған.

Жақсылап араластырылғаннан кейін кездейсоқ бір-бірден карточкалар алынып, алыну ретімен стол үстіне қойылды. Осы әріптерден әртүрлі барлығы қанша сөз құрауға болады?

Шешуі. Кейбір әріптер қайталанып тұр, әрі он әріптен он әріптен тұратын сөз жазуымыз қажет, онда ол қайталанбалы алмастыру болады:

151200

! 2

! 3

! 2

! ) 10 2 , 3 , 2

10( 



  P

Мысал 8. Дүкенде үш түрлі тәтті тоқаштар бар: наполеон, эклер, қаттама.

Кездейсоқ тоғыз тәтті тоқашты неше тәсілмен сатып алуға болады?

Шешуі.

.

9 55

3  C

Мысал 9 . Шахмат турнирына 10 гроссмейстер, 6 әлемдік шебер және 4 жай шебер қатысады. Бірінші турдың шахматшылары мен әрбір қатысушы жұптардың стол нөмірі жеребе тастау арқылы анықталады. Бірінші столда бірдей категориялы шахматшылар кезігу ықтималдығын тап.

15

Шешуі. 20 ойын қатысушыларынан екі бәсекелесті таңдап алудың барлық теңмүмкіндікті жағдайлар саны C₂₀² ; 10 гроссмейстерден екі адамның алынуының барлық барлық мүмкін жағдайлар саны C₁₀² ; 6 әлемдік шеберден екі адамнан алынудың барлық мүмкін жағдайлар саны C₆² және 4 шеберден құралатын жұптардың барлық мүмкін саны C₄². Бірінші столда бірдей категориялы шахматшылардың кезігуінің қолайлы жағдайлар саны

2 4 2 6 2

10 C C

C   . Сонымен, ізделінді ықтималдық:

95 33

2 20

2 4 2 6 2

10   

 C

C C

p C .

1.5 Геометриялық ықтималдықтар

Қандай да бір сынақ нәтижесінде Ω облысына лақтырылған нүктенің



 облысына түсу ықтималдығын қалай табу қажеттігі туындасын дейік.

А нүктесінің  облысына түсу ықтималдығы:

) (

) ) (

( 

 m A m

P  ,

мұндағы m(), m()- сәйкес облыстардың өлшемдері, геометриялық ықтималдық деп аталады.

Өлшем деп ұзындық, аудан, көлем т.с.с. ұғымдарды түсінуге болады.

Мысал 10. Екі адам А және В белгілі жерде сағат 17 мен 18 арасында кездесуге келісті. Бірінші келгені екіншісін 15 минут тосады да, одан кейін жүре береді. Олардың кездесуге келу уақыттары бір-біріне тәуелсіз және көрсетілген уақыт аралығында бірдей мүмкіндікті болса, олардың кезігу ықтималдығын есепте.

Шешуі. x дегеніміз – А-ның келу уақыты және y- дегеніміз – В-ның келу уақыты. Барлық мүмкін оқиғалар облысы (элементар оқиғалар кеңістігі) ауданы 60² болатын шаршы (6-сурет). x  y 15 теңсіздігі орындалғанда, олар кездеседі. Сонымен, олардың кезігуінің барлық элементар жиынтығы

x y 15 және x y15

түзулері арасында жатады. Оның ауданы S₁ 60² (6015)². Геометриялық ықтималдықтың

формуласы бойынша

0,4375. 16

7 60

) 15 60 ( 60

2 2 2

1     

 S P S

Сонымен, ізделінді ықтималдық

6-сурет P0,4375.

y

x

15 15

0 60

60

16

Мысал 11. Бюффон есебі (XVIII ғ. француздың табиғат зерттеушісі) Жазықтық бір-бірінен 2a арақашықтықта орналасқан параллель түзулермен жолақтарға бөлінген. Жазықтыққа кездейсоқ ұзындығы 2l (la) ине лақтырылған. Иненің бірде-бір түзуді қимау ықтималдығын тап.

Шешуі. Мынадай белгілеулер енгіземіз: x дегеніміз – иненің ортасынан жақын параллельге (түзуге) дейінгі ара қашықтық;  дегеніміз –иненің осы параллельмен жасаған бұрышы (7а-сурет).

Иненің орналасуы x и  мәндерімен толығымен анықталады, әрі x-тің қабылдайтын мәндері 0-ден a-ға дейін; -дің қабылдайтын мүмкін мәндері 0-ден  -ге дейін. Басқаша айтсақ, иненің ортасы қабырғалары a және  болатын тіктөртбұрыштың кез келген нүктесіне түсуі мүмкін (7б-сурет).

Сонымен, тіктөртбұрышты иненің ортасы түсуі мүмкін барлық жағдайларды қамтитын облыс ретінде қарастыра аламыз және оның ауданы a.

7а-сурет 7б-сурет

Иненің орналасуы x и  мәндерімен толығымен анықталады, әрі x-тің қабылдайтын мәндері 0-ден a-ға дейін; -дің қабылдайтын мүмкін мәндері 0-ден  -ге дейін. Басқаша айтсақ, иненің ортасы қабырғалары a және  болатын тіктөртбұрыштың кез келген нүктесіне түсуі мүмкін (7б-сурет).

Сонымен, тіктөртбұрышты иненің ортасы түсуі мүмкін барлық жағдайларды қамтитын облыс ретінде қарастыра аламыз және оның ауданы a.

Иненің бірде-бір түзуді қимайтын жағдайды қанағаттандыратын облысты табайық. 7а-суреті бойынша ине жақын параллельді қию шарты xl sin, яғни, иненің ортасы 7б-суреттегі штрихталған облысқа түсуі қажет.

Сонымен, ол облыстың ауданы:

l cos

l - d sin l

S 2

0 0

  

^    ^ .

Ізделінді ықтималдық:

a l S

P S

т штрих



 2

 .

2а

2l

x



x

a

0 ^{ }

x=l sin

17

1.6 Ықтималдықтардың қосу және көбейту теоремалары

1-мысалға қайта оралсақ, B A₁ A₂  A₃ оқиғасы – атылған үш оқтың тым болмағанда біреуінің тию ықтималдығы, C A₁A₂A₃ оқиғасы - атылған үш оқтың бірінші мен екіншісінің тиюі және үшіншісінің тимеуі.

3 2 1 3 2 1 3 2

1A A AA A AA A

A

D   - тура бір оқтың тиюі.

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2

1A A AA A AA A A A A

A

E     - екіден кем емес оқтың тиюі.

Екі оқиға тәуелсіз (тәуелді) оқиға деп аталады, егер олардың біреуінің пайда болуының ықтималдығы екіншісінің пайда болуына тәуелсіз (тәуелді) болса.

Бірнеше оқиғалар жинағы бойынша тәуелсіз деп аталады, егер олардың әрқайсысы мен оның қалғандары арқылы жасалынған кез келген сызықтық комбинациясы тәуелсіз оқиғалар болса.

B оқиғасының A оқиғасы орындалғандағы шартты ықтималдығы деп A оқиғасы орындалғаны белгілі деп табылған B оқиғасының ықтималдығын айтамыз және оны былай белгілейміз: P_A

  

B



P B A

 

.

B оқиғасының A оқиғасы орындалғандағы шартты ықтималдығы деп 0

) ( ) ,

( ) ) (

(  P A 

A P

AB B P

P_A теңдігімен анықталған санды айтады.

Бұл анықтамадан ықтималдықтардың көбейтіндісінің екі оқиға жағдайындағы формуласы шығады:

) ( ) ( ) ( ) ( )

(AB P A P B P B P A

P  _A  _B . Теорема 1. A₁,A₂,,A_n оқиғаларының тым болмағанда біреуінің пайда болу ықтималдығы:

             

     

¹



1 2



^.

1 1

2 3

2 1

1 3

1 2

1 2

1 2

1

n n

n n n

n n n

n

A A A P A

A A P A

A A P

A A P A

A P A A P A P A

P A P A A

A P

























































Салдар1 . Егер A₁,A₂,,A_n оқиғалары өзара үйлесімсіз болса, онда



^A₁ ^A₂ ^A_n

    

^{P A}₁ ^{P A}₂ ^P

 

^A_n ^.

P     

Шынында да, бұл жағдайда: P



A₁A₂

 

P A₁A₃



 P



A₁A₂A_n



0.

Мысал 12. Нысанаға үш оқ атылды. Бірінші оқтың нысанаға тию ықтималдығы - 0,6, екінші оқ үшін бұл ықтималдық - 0,7, ал үшінші оқ үшін -

8 ,

0 . Тым болмағанда бір оқтың нысанаға тию ықтималдығын тап.

Шешуі. A- бірінші оқ нысанаға тиді, B- екінші оқ нысанаға тиді, C- үшінші оқ нысанаға тиді деген оқиғалар, ал D- осы үш оқтың тым болмағанда біреуі нысанаға тиді деген оқиға болсын. Онда DABC, мұндағы A, B,C- үйлесімді жинағы бойынша тәуелсіз оқиғалар. Ендеше,

18

                 

                       

           0,976.

























C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P

ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P D P

Теорема 2. Өзара үйлесімсіз A₁,A₂,,A_n оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайтын болса, онда



^A₁^{ A}₂ ^{  A}_n

    

^{P A}₁ ^{P A}₂ ^{ P}

 

^A_n ^1.

P  

Мысал 13. Институт бақылау жұмыстарының пакеттерін үш қаладан алады. Пакетті бірінші және екінші қаладан алу ықтималдығы сәйкесінше 0,7 және 0,2-ге тең. Пакетті үшінші қаладан алу ықтималдығын тап.

Шешуі. A, B,C арқылы институт бақылау жұмыстарының пакеттерін алатын қалаларды белгілейік. Бұл оқиғалар оқиғалардың толық тобын құрайды, сондықтан P(A)P(B)P(C)1. Ендеше, ізделінді ықтималдық:

. 1 , 0 2 , 0 7 , 0 1 )

(B    

P

Салдар 2. Қарама-қарсы оқиғалар үшін:

 

A P

 

A 1 P

 

A 1 P

 

A .

P     

Мысал 14. Күннің жаңбырлы болуының ықтималдығы 0,7-ге тең. Күннің ашық болу ықтималдығын тап.

Шешуі. «Күн жаңбырлы» және «күн ашық» деген оқиғалар қарама- қарсы оқиғалар. Ендеше, күннің ашық болу ықтималдығы p10,70,3.

Кей жағдайларда, есеп шарты бойынша тым болмағанда бір оқиғаның орындалу ықтималдығын табу қажет болса, онда осы оқиғаға қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын тауып, 2-салдар бойынша есептеу есептеуді біршама жеңілдетеді. Жоғарыдағы 12-мысалға қайта оралсақ, D ABC

 - үш оқтың да нысанаға тимеуі. A, B, C оқиғалары жинағы бойынша тәуелсіз оқиғалар және

 

^{A 10,60,4, P}

 

^{B 0,3, P}

 

^{C 0,2}

P болғандықтан,

 

^{D 1P}

 

^{D 1P}



^ABC



^1P

 

^{A P}

 

^{B P}

 

^{C 10,40,30,20,976.}

P

Салдар 3. Өзара тәуелсіз A₁,A₂,,A_n оқиғаларының тым болмағанда біреуінің нысанаға тию ықтималдығы былай есептеледі:

  

^{A P A}₁ ^A₂ ^A_n



^{1 q}₁ ^q₂ ^q_n^,

P        (1) мұндағы q_i дегеніміз - A_i оқиғасының пайда болуының ықтималдығы, i1,n. Яғни, q_i P(A_i).

Егер A₁,A₂,,A_n оқиғаларының пайда болуларының ықтималдықтары өзара тең және p-ға тең болса, онда (1) формуласын былай жаза аламыз:

 

A qⁿ

P 1 , мұндағы q1 p.

Мысал 15. Жәшікте N зат бар, оның M -ы сапалы заттар. Алынған кез келген k заттың ішінде тым болмағанда бір сапалы зат болу ықтималдығын тап.

Шешуі. А оқиғасы - алынған заттардың ішінде тым болмағанда бір сапалы зат бар деген оқиға, ал Ā – алынған заттардың ішінде бірде-бір сапалы

19

зат жоқ деген оқиға болсын. Бұл оқиғалар өзара қарама-қарсы оқиғалар.

 

^{A P}

 

^A

P 1 екені белгілі. P(A) ықтималдығы классикалық ықтималдықтың формуласы бойынша:

n A m

P( ) , мұндағы mC_N^k_M,nC_N^k. Онда ізделінді ықтималдық:

k N k

M N

C A C

p( )1 ^ .

Бірнеше оқиғалардың бір уақытта пайда болуының (көбейту) ықтималдығы:



A A An



P

 

A PA

 

A PAA

 

A PAA A

 

An

P 1 2  1  1 2  1 2 3  1 2_ n_1 (2) формуласы бойынша есептелінеді, мұндағы PA₁A_2A_n1

 

An дегеніміз -

1 2

1,A , ,A_n

A  оқиғалары орындалғаны белгілі болғандағы A_n оқиғасының ықтималдығы.

Салдар 4. Егер A₁,A₂,,A_n оқиғалары қос – қостан тәуелсіз оқиғалар жиыны болса, онда



A A A_n

    

P A P A P

 

A_n

P ₁ ₂  ₁  ₂  , (3) себебі P_A

 

A P

 

A P_AA

 

A P

 

A P_{AA A}

 

A_n P

 

A_n

n 



 _1

2 1 2

1

1 _{2 2} , _{3 3} ,, _ .

Мысал 16. Жәшікте 5 ақ, 4 қара және 3 көк шарлар бар. Жәшіктен бір шар алынды. Алынған бірінші шардың ақ

 

^A , екінші шардың қара

 

^{B , үшінші}

шардың көк болу (С) ықтималдығын тап, егер әрбір алынған шар қайта жәшікке салынғаннан кейін ғана, келесі шар алынған болса.

Шешуі. Есеп шарты бойынша A, B, C оқиғалары - жинағы бойынша тәуелсіз оқиғалар, онда (3) формуласы бойынша:

       

144 5 12

3 12

4 12

5   







P A P B P C ABC

P .

Мысал 17. Жәшікте 5 ақ, 4 қара және 3 көк шарлар бар. Жәшіктен бір шар алынды. Алынған бірінші шардың ақ

 

^A , екінші шардың қара

 

^{B , үшінші}

шардың көк болу (С) ықтималдығын тап, егер әрбір алынған шар қайта жәшікке салынбаса.

Шешуі. Есеп шарты бойынша

   

11 , 4

12

5 

 P B

A

P _A - жәшікте бірінші

шар алынғаннан кейін 11 шар қалды, бірақ жәшіктегі қара шардың саны өзгерген жоқ. Келесі шар алынғаннан кейін барлығы 10 шар қалды және жәшіктегі көк шардың саны өзгерген жоқ:

 

10

 3 C

P_AB . Бұдан:

       

22 1 10

3 11

4 12

5   







P A P B P C ABC

P _{A AB} .

Мысал 18. Үлкен жарнамалық кәсіпорында жұмысшылардың 21%-і жоғарғы еңбек ақысын алады. Сонымен қатар, бұл кәсіпорында жұмыс істейтіндердің 40%- і әйел адамдар, оның ішінде 6,4 % әйел адам жоғарғы