• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

aues.kz

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Share "aues.kz"

Copied!
68
0
0

Толық мәтін

(1)

3

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра математики и математического моделирования

МАТЕМАТИКА 2

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика,

5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2018

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

(2)

4

СОСТАВИТЕЛИ: Масанова А.Ж. Математика 2. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ №1,2,3 для студентов специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. – Алматы: АУЭС, 2018. - 67 с.

Методические указания содержат задания к 3-м расчетно-графическим работам (РГР№1,2,3) по разделам «Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды» дисциплины «Математика 2». По каждой РГР даны основные методические указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности и решение заданий первого уровня типового варианта.

Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный материал соответствует разделам.

Библиогр. – 11 названий, 2 рисунка.

Рецензент: к.ф.-м.н. Саламатина А.М.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2018 г.

(3)

5

Введение

Программа по курсу «Математика 2» структурирована в соответствии с действующими учебными планами АУЭС. Все студенты изучают 3 модуля по данному курсу, что соответствует общему количеству кредитов, выделенных в учебных планах. В результате изучения дисциплины студент должен знать основные формулы и методы дифференцирования и интегрирования функции нескольких переменных, а также уметь находить оптимальные методы и использовать теорию приближения функции в решении прикладных задач.

Методические указания содержат задания к 3 расчетно-графическим работам (РГР) по разделам «Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды»

дисциплины «Математика 2». Необходимые теоретические знания приведены в конспекте лекций [5]. По каждой части даны основные методические указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности и решение заданий первого уровня типового варианта. Все вычисления можно проводить и в программном продукте «МАТНСАD» любого уровня.

Вариант задания расчетно-графической работы для студентов, обучающихся по очной форме, определяется по списку группы. Вариант задания расчетно-графической работы (контрольной работы) для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера зачетной книжки на 30.

Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной ученической тетради. Все объяснения должны быть лаконичными и ясными для понимания.

Расчетно-графическая работа № 1

Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных

Теоретические вопросы.

1. Функции нескольких переменных. Частные производные.

Смешанные производные

2. Функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

3. Полный дифференциал для функции нескольких переменных и его связь с частными производными.

4. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия.

5. Двойные интегралы, их основные свойства. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.

6. Тройные интегралы, их основные свойства. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.

(4)

6

7. Якобиан. Замена переменных в кратных интегралах.

Расчетные задания.

Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:

а) y

z x z

 , ;

б) x y

z y

z x

z

2

2 2 2 2

,

, ;

в) убедиться, что

2 2

z z

y x x y

  

    ; г) dz, d2z.

1.1 𝑧 = 𝑒2𝑥2+𝑦2 1.2 𝑧 = 𝑦 𝑥2

1.3 𝑧 = 𝑥3𝑦6 1.4 𝑧 = cos⁡(𝑥2𝑦2− 5) 1.5 𝑧 = sin⁡(𝑥3𝑦) 1.6 𝑧 = (𝑥2− 2𝑦)5 1.7 𝑧 = (4𝑥 − 𝑦3)2 1.8 𝑧 = (5𝑥3+ 2𝑦)4 1.9 𝑧 = (2𝑥3− 𝑦)7 1.10 𝑧 = (4𝑥2− 5𝑦3)5 1.11 𝑧 = 𝑒𝑥2+𝑦3 1.12 𝑧 = (4𝑥 + 𝑦)9 1.13 𝑧 = cos⁡(𝑥 − 5𝑦) 1.14 𝑧 = sin⁡(𝑥𝑦) 1.15 𝑧 = cos⁡(3𝑥2− 𝑦3) 1.16 𝑧 = (3𝑥 + 2𝑦)9 1.17 𝑧 = (5𝑥2− 3𝑦4)2 1.18 𝑧 = (𝑥3− 4𝑦)7 1.19 𝑧 = 𝑒3𝑥𝑦−4 1.20 𝑧 = cos⁡(𝑥𝑦2) 1.21 𝑧 = 𝑒𝑥2−𝑦2 1.22 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦3 1.23 𝑧 = 𝑥

𝑦

1.24 𝑧 = cos⁡(𝑥𝑦2) 1.25 𝑧 = sin⁡(𝑥2− 𝑦) 1.26 𝑧 = 𝑥3𝑦2 1.27 𝑧 = (𝑥 − 𝑦2)5 1.28 𝑧 = (2𝑥 + 𝑦)7 1.29 𝑧 = (𝑥 − 3𝑦)8 1.30 𝑧 = (3𝑥2− 2𝑦2)3

Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции

   M u x y z 

u  , ,

в точке M1

x1,y1,z1

.

u   M M

1

u   M M

1

2.1

x

2

y  y

2

z  z

2

x

(1,-1,2) 2.16 ln

x3 y3 z1

(1,3,0)

2.2

5 xy

3

z

2 (2,1,-1) 2.17

x  2 y  e

z (-4,-5,0)

2.3

ln  x

2

 y

2

 z

2

(-1,2,1) 2.18

x

4

 3 xyz

(2,2,-4)

2.4

z  e

x2y2z2 (0,0,0) 2.19

3 x

2

y

3

z

(-2,-3,1)

2.5

ln  xy  yz  xz 

(-2,3,-1) 2.20 exyz2 (-5,0,2)
(5)

7

2.6

1  x

2

 y

2

 z

2 (1,1,1) 2.21

x

yz (3,1,4)

2.7

x

2

y  xz

2

 2

(1,1,1) 2.22

x2 y2 z2

3 (1,2,-1)

2.8 xeyyexz2 (3,0,-2) 2.23

x y

z (1,5,0)

2.9 3xy2z2xyz (1,2,2) 2.24 x2yy2z3z (0,-2,-1) 2.10

5 x

2

yz  xy

2

z  yz

2 (1,1,1) 2.25

1 10

2 2

2 y z

x

(-1,2,-2) 2.11

2 2

2 y z

x x

(1,2,2) 2.26 ln

1x2 y2z2

(1,1,1)

2.12

y

2

z  2 xyz  z

2 (3,1,-1) 2.27

x z z y y

x   (-1,1,1)

2.13

x

2

 y

2

 z

2

 2 xyz

(1,-1,2) 2.28 x3xy2 6xyz (1,3,-5) 2.14 ln

1 x y2 z2

(1,1,1) 2.29

z x z y y

x   (2,2,2)

2.15 x2 2y2 4z2 5 (1,2,1) 2.30

e

xyz (1,0,3)

Задание 3. Найдите частные производные

y z x z

 , от неявно заданной функции z=f(x,y): F(x,y,z)=0.

F  x , y , z 

F  x , y , z 

3.1

xyz  3 xy

2

 5 yz

2 3.16

xy

2

 z  xyz  z  x 

3.2 x2yz2xyz2 3xy2z 3.17

x y

z2 x

y2 z2

3.3

2 x

2

y

2

z  xyz

3

 x

2

yz

2 3.18

x  yz  xyz  xz

2

3.4

x

2

 y  z   yz

2

 2 xyz

3.19

x

3

y  y

3

z  z

3

x

3.5

 xy  yz  z

2

 xy

2

z

3.20

xy

2

 yz

2

 zx

2

3.6 2xy2 3xyz2xz2 3.21 xyzx2y2xy2 3.7

yz

xyz

x yz

yz2 3.22

x z

y2

y x

z2

3.8 3xyz2 4xy2zx2y2 3.23 xy2zx2yzxyz2 3.9

 x

2

y  2 xyz  3 xz

2 3.24

 x  yz  x

2

 2xyz

2

3.10

xyz  z

3

 2 xy

2 3.25

xy

z2

yz

x2
(6)

8

3.11

zx  y  x   2 xyz  z

3 3.26

 x  yz  z  z  x  y 

3.12 x

y2 z2

3xyzz3 3.27

 x  2 y  z

2

 3 xyz

3.13

 y  z  x

2

 2 xy

2

 xyz

3.28

x

2

yz  y

2

xz  z

2

xy

3.14

xy  z  y   2 x

3

 3 xy

2 3.29

 x  y  x

2

 y

2

z  2 xyz

3.15

 x  y  zx

2

 2 xy

2

z  xyz

2 3.30 x3y y3z z3x

Задание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S в заданной точке M0(x0,y0,z0).

S M0(x0,y0,z0)

4.1

x

2

 y

2

  z

2

6 z  4 x   8 0

M0(2,1,-1)

4.2

x

2

 4 y

2

 z

2

  2 xy

M0(-2,1,2)

4.3

x

2

 y

2

  z

2

6 y  4 x  8

M0(3,2,1)

4.4

x

2

 y

2

  z

2

xy  3 z  7

M0(5,2,0)

4.5

2 x

2

 y

2

  z

2

4 z   y 13

M0(2,01)

4.6

x

2

 y

2

  z

2

6 y  4 z   4 0

M0(-2,4,-1)

4.7

x

2

  z

2

5 yz  3 y  46

M0(-5,6,8)

4.8

x

2

 y

2

  xz yz   8 0

M0(-3,2,4)

4.9

x

2

 y

2

 2 yz    z

2

y 2 z  2

M0(8,-5,4)

4.10

x

2

 y

2

  z

2

2 xz  2 x  z

M0(2,11,-11)

4.11

z  x

2

 y

2

 2 xy  2 x  y

M0(4,0,-1)

4.12

z    x

2

y

2

 6 xz  4 y

M0(8,-1,-10)

4.13

z  x

2

 y

2

 2 xy   x 2 y

M0(3,0,8)

4.14

x

2

 2 y

2

 z

2

 xz  4 y  13

M0(5,2,3)

4.15

4 x

2

 8 y

2

 14 z

2

 4 z  12 x  8 y  9

M0(0,1,4)

4.16

y

2

 z

2

 6 x   y 5 z   8 0

M0(5,2,1)

4.17

2 x

2

 3 y

2

 2 z

2

 6 yz  4 xz  8 x  0

M0(0,-4,-1)
(7)

9

4.18

x

2

 y

2

 z

2

 6 yz  4 z  14

M0(-2,-1,-1)

4.19

x

2

 y

2

  z

2

xz  4 y  8 x  15

M0(2,5,-5)

4.20

x

2

 y

2

  z

2

16 y  4 xz  8 x  15

M0(4,2,-1)

4.21

 3 x

2

 y

2

 xz  4 yx  10

M0(5,1,-5)

4.22

x

2

 2 y

2

  z

2

4 xz   8 0

M0(7,1,-7)

4.23

x

2

 3 y

2

  z

2

4 y  18 x  0

M0(8,0,-8)

4.24

x  y

2

  z

2

6 z  14 x   6 0

M0(2,0,-2)

4.25

 5 x

2

 y

2

  z

2

6 xz  8 x  8 z  0

M0(1,1,-1)

4.26

x

2

 y

2

  z

2

6 xy  14 xz   11 0

M0(5,-5,-5)

4.27

z   2 x

2

 y

2

 4 x  8 y

M0(6,6,-5)

4.28

y  x

2

 5 y

2

 z

2

 6 xz  12

M0(7,1,-7)

4.29

z  x

2

 2 y

2

 4 xy  8 y

M0(9,5,-9)

4.30

z  2 x

2

 y

2

 4 xy  14 y

M0(3,3,-1)

Задание 5. Исследовать на экстремум функции.

5.1 𝑧 = 𝑥𝑦(12 − 𝑥 − 𝑦) 5.2 𝑧 = (𝑥 − 2)2+ 2𝑦2− 10 5.3 𝑧 = (𝑥 − 5)2+ 𝑦2+ 1 5.4 𝑧 = 1 + 15𝑥 − 2𝑥2− 𝑥𝑦 − 2𝑦2 5.5 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 2𝑥2− 4𝑦2 5.6 𝑧 = 𝑥√𝑦 − 𝑥2− 𝑦 + 6𝑥 + 3 5.7 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 5𝑥2− 3𝑦2+ 2 5.8 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2− 6𝑥 − 9𝑦 5.9 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑥2− 𝑦2 + 9 5.10 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2− 2𝑦2+ 10 5.11 𝑧 = 𝑥3+ 8𝑦3− 6𝑥𝑦 + 1 5.12 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 𝑦2 − 𝑥 + 6𝑦 5.13 𝑧 = 2𝑥3+ 2𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 5 5.14 𝑧 = 3𝑥3+ 3𝑦3− 9𝑥𝑦 + 10 5.15 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 5.16 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2− 2𝑥 − 𝑦 5.17 𝑧 = (𝑥 − 1)2+ 2𝑦2 5.18 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 2𝑦2− 𝑥 + 14𝑦 5.19 𝑧 = 𝑥2+ 3(𝑦 + 2)2 5.20 𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦) − 𝑥2− 𝑦2 5.21 𝑧 = 𝑥𝑦 − 3𝑥2− 2𝑦2 5.22 𝑧 = 𝑥3+ 8𝑦3− 6𝑥𝑦 + 5 5.23 𝑧 = 𝑥3+ 𝑦3− 3𝑥𝑦 5.24 𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2 5.25 𝑧 = 𝑥𝑦(6 − 𝑥 − 𝑦) 5.26 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 𝑥 − 𝑦 + 1 5.27 𝑧 = 6(𝑥 − 𝑦) − 3𝑥2− 3𝑦2 5.28 𝑧 = 𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 9𝑥 − 6𝑦 + 2 5.29 𝑧 = 4(𝑥 − 𝑦) − 𝑥2− 𝑦2 5.30 𝑧 = 𝑥3+ 𝑦2 − 6𝑥𝑦 − 39𝑥 + 18

(8)

10

Задание 6. Проверить является ли данная u(x,y,z) функция решением дифференциального уравнения в частных производных.

№ Уравнение u(x,y,z)

6.1 2 2 2

2 2

2

2

2

0

u u u

x xy y

x x y y

  

  

   

u y

 x

6.2 3 3

3( )

u u

x y x y

x y

    

 

3 3

ln x

u x y

 y  

6.3 2 2

2 2

0

u u

x y

 

 

 

2 2

ln( ( 1) ) u  x y 

6.4 2

(1 ln )

u u

y y x

x y x

 

  

  

u  x

y

6.5

u u 2

x y u

x y

   

 

u xy

x y

 

6.6 2 2

2 2

2 2

0

u u

x y

x y

 

 

 

u  e

xy

6.7 2 2

2

2 2

u u

a x y

 

  

sin (

2

) u  x ay 

6.8 2 2

2 2

2 2

0

u u

y x

x y

   

 

u y y

 x

6.9 2 2 2

2 2 2

0

u u u

x y z

     

  

2 2 2

u 1

x y z

  

6.10 2 2

2

2 2

u u

a x y

  

 

cos(x ay)

u  e

6.11

u u u 0

x y z

  

  

  

( )( )( )

u  x  y y  z z  x

6.12

u u

x y u

x y

   

  ln y

u x

 x

6.13

u u 0

y x

x y

 

 

 

2 2

ln( )

u  x  y

(9)

11

6.14 2 2

u u 0

x xy y

x y

    

 

2

arcsin

3

u xy y

  x

6.15 2 2 2

2 2

2

2

2

2 0

u u u

x xy y xyu

x x y y

      

   

u  e

xy

6.16 2

u 0 x y

 

  1

x y u arctg

xy

 

6.17 2 2

2 2

0

u u

x y

   

 

2 2

ln( 2 1)

u  x  y  x 

6.18

u u 0

x y u

x y

    

 

2 3

2 x 3 y

u x y

 

6.19 2 2 2

u u u 1

x y z

 

  

        

      

     

2 2 2

u  x  y  z

6.20

u u 2

x y u

x y

   

 

2 2

( ) x

u x y tg

  y

6.21 2 2

2 2

9 u u 0

x y

 

 

 

( 3 )

sin( 3 )

x y

u  e

 

x  y

6.22 2 2 2

2 2

2

2

2

0

u u u

x xy y

x x y y

     

   

y

u  xe

x

6.23 2 2

2 2

0

u u

x y

   

 

u arctg y

x 6.24

u u 0

x y

x y

 

 

 

u arctg y

 x

6.25 2 2

2

0

u u u u

x x y y x

     

    

ln(

y

) u  x e 

6.26

u u 0

x y

x y

 

 

  arcsin x

u  x y

6.27

2

1 u 1 u u

x x y y y

   

 

(10)

12

6.28

u u x y

x y x y

    

  

2 2

x y

u x y

 

6.29

u u 2 y

x y u

   

 

2

2

u  xy  y

6.30 2 2

2 2

0

u u

x y

 

 

 

2 2

ln( )

u  x  y

Задание 7. Найдите полную производную от сложной функции u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t) в точке t=t0 .

u=u(x, y), x=x(t), y=y(t)

7.1 2 3

, sin , ,

0

0

x y

u  e

x  t y  t t 

7.2 2 3

ln(

x y

), , ,

0

1

u  e  e

x  t y  t t  

7.3 / 2

, ln( 1), ,

0

2

x t

u  y x  t  y  e t 

7.4 2 2 /3

, sin , ,

0

/ 2

y x t

u  e

 

x  t y  e t  

7.5 2 2

, cos , sin ,

0

u  x e

y

x  t y  t t  

7.6 2 3

ln(

x y

), , ,

0

1

u  e  e x  t y  t t 

7.7

u  x

y

, x  e

t

, y  ln , t t

0

 2

7.8 2 2 3

, , ,

0

0

y x

u  e

x  arctgt y  t t 

7.9 2 2 3

, ( 2), ( 1) ,

0

5

u  x e

y

x  t  y   t t 

7.10 2 3

ln(

x y

), , ,

0

1

u  e

 e x  t y  t t  

7.11 2 1

, cos , arcsin ,

0

/ 2

y x

u  e

 

x  t y  t t   

7.12 3

arcsin( / ),

t

, ,

0

u  x y x  e

y  t t   

7.13 3

0

arccos( 2 x ), sin , cos ,

u x t y t t

y 

   

7.14 2

2

, 1 5 , ,

0

0

1

u x x t y arctgt t

 y    

7.15 2 2

/ ,

t

, 2

t

,

0

0

u  x y x  e y   e t 

7.16 2 3

ln(

x y

), , ,

0

1

u  e  e

x  t y  t t  

(11)

13

7.17 2 2 3

3, ln , ,

0

u  x  y  x  t y  t t  e

7.18 2

arcsin( x ), sin , cos ,

0

u x t y t t

y 

   

7.19 3

3 0

2 x , 1 2 , cos , 1

u x t y arc t t

 y    

7.20

, sin , cos ,

0

4 x y

u x t y t t

y x

     

7.21 2 2

3, ln , ,

0

u  y  x  x  t y  t t  e

7.22 3

0

arccos( 2 x ), sin , cos ,

u x t y t t

y 

   

7.23

3

arc ( ), x sin 2 , cos 3 ,

0

u tg x t y t t

y 

   

7.24 2 2 2

3 , ln , ,

0

1

u  x  y  xy x  t y  t t 

7.25 2 3

/ ,

t

, 1

t

,

0

2 u  y x x  e y   e t 

7.26

0

arccos( 2 x ), sin 2 , cos ,

u x t y t t

y 

   

7.27 2 2 4

ln(

x y

), , ,

0

1

u  e  e x  t y  t t 

7.28

7.29 3 2 3

3 , ln , ,

0

2

u  x  y  xy x  t y  t t 

7.30 3

arc ( ), 1 sin ,

x

,

0

/ 3 u  tg xy x   t y  e t  

Задание 8. Постройте область D и вычислите ее площадь через двойной интеграл.

8.1 8.2

8.3 8.4

8.5 8.6

8.7 8.8

(12)

14

8.9 8.10

8.11 8.12

8.13

8.14

8.15 8.16

8.17 8.18

8.19 8.20

8.21 8.22

8.23 8.24

8.25 8.26

8.27 8.28

8.29 8.30

Задание 9. По заданной области D вычислите двойной интеграл.

9.1 9.2 9.3

9.4 9.5 9.6

9.7 9.8 9.9

9.10 9.11 9.12

9.13 9.14 9.15

(13)

15

(14)

16

9.16 9.17 9.18

9.19 9.20 9.21

9.22 9.23 9.24

9.25 9.26 9.27

9.28 9.29 9.30

Задание 10. По заданной области V вычислите тройной интеграл.

10.1 10.2

10.3 10.4

10.5 10.6

(15)

17

10.7 10.8

10.9 10.10

10.11 10.12

10.13 10.14

10.15 10.16

10.17 10.18

10.19 10.20

10.21 10.22

(16)

18

10.23 10.24

10.25 10.26

10.27 10.28

10.29 10.30

Задание 11. Измените порядок интегрирования.

11.1

0 0

1

( , )

y

dy f x y dx

 

11.2

1 0

0 2

( , )

y

dy f x y dx

 

11.3

1 0

0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.4

2 2

2

0 0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.5

1

0 0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.6

0 2 2

2 0

( , )

x

dx f x y dy

 

11.7

2

3 0

2 1

( , )

x

dx f x y dy

 

11.8

1

1 ln

( , )

e

x

dx f x y dy

 

11.9

2

2 1

0 1

( , )

x

dx f x y dy

 

11.10

1 3

0 0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.11

2 2

1 0

( , )

y

dx f x y dy

 

11.12

1 1

2 2

( , )

x

dx f x y dy

 

 

11.13

1 0

0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.14

3 /3

0

( , )

arctgy

dy f x y dx

 

11.15

3

0 0

1

( , )

x

dx f x y dy

 

11.16 11.17 11.18

(17)

19

2

2 0

3 4

( , )

x

dx f x y dy

 

1 0

2 2

( , )

y

dy f x y dx

 

  1

0 0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.19

2

1 1

0

( , )

x

dx f x y dy

 

11.20

2 2

2

0 0

( , )

y

dy f x y dx

 

11.21

2

1 0

2 2

( , )

y

dy f x y dx

11.22

1 3

0 0

( , )

x

dx f x y dy

 

11.23

4 4

0 0

( , )

x

dx f x y dy

 

11.24

2

1 0

1 1

( , )

x

dx f x y dy

 

11.25

1 0

0 1

( , )

x

dx f x y dy

 

 

11.26

0 0

1 1

( , )

x

dx f x y dy

 

 

11.27

2

3 0

2 4

( , )

x

dx f x y dy

11.28

2 2

0 2

( , )

y

dy f x y dx

11.29

0 0

1 2

( , )

y

dy f x y dx

 

11.30

/ 4 sin

0 0

( , )

x

dx f x y dy

 

Задание 12.Вычислите двойной интеграл с переходом в полярные координаты.

12.1

2 2

2 2

,

: 2.

D

x y dxdy

D x y

 



12.2

2 2

2 2

2 ,

: 9.

D

x y dxdy

D x y

 



12.3

2 2

2 2

16 ,

: 9.

D

x y dxdy

D x y

 

 



12.4

2 2

2 2

,

: 4, 0.

D

x y dxdy

D x y x

  



12.5

2 2

2 2

,

: 1.

x y D

e dxdy

D x y

 



12.6

2 2

2 2

,

: 3, 0.

D

x y dxdy

D x y y

  



12.7

2 2

2 2

sin( ) ,

: / 2

D

x y dxdy

D x y

 



12.8

2 2

2 2

1 ,

: 1 4.

D

x y dxdy

D x y

  



12.9

2 2

3 3

2 2

,

: 5.

x y

D

e dxdy

D x y

 



12.10

2 2

2 2

cos( ) ,

: / 2.

D

x y dxdy

D x y



12.11

2 2

2 2

( ) ,

: 5.

D

x y dxdy

D x y

 



12.12

2 2

2 2

1 ,

1

: 0 1/ 4.

D

dxdy x y

D x y



12.13 12.14 12.15

(18)

20

2 2

2 2

(4 4 ) ,

: 2,

0, 0

D

x y dxdy

D x y

x y

 

 



2 2

2 2

5 ,

: 0 2

D

x y dxdy

D x y

 

  



2 2

2 2

16 ,

: 20, 0.

D

x y dxdy

D x y x

 

  



12.16

2 2

2 2

,

: 1 4.

D

x dxdy x y

D x y

  



12.17

2 2

2 2

sin( ) ,

: / 2.

D

x y dxdy

D x y

 



12.18

2 2

2 2

,

: 1 3

D

y dxdy x y

D x y

  



12.19

2 2

2 2

cos( ) ,

: 5

D

y x y dxdy D x y

 



12.20

2 2

2 2

,

: 4, 0.

D

x y dxdy

D x y x

  



12.21

2 2

2 2

,

: 0, 1

D

y dxdy x y

D x x y

  



12.22

2 2

2 2

,

: 1 3

D

y dxdy x y

D x y

  



12.23

2 2

2 2

1 ,

1

: 3

D

dxdy x y

D x y

 

 



12.24

2 2

2 2

3 ,

: 1, 0

D

x y dxdy

D xyx



12.25

2 2

2 2

4 ,

: 5

D

x y dxdy D x y

 

 



12.26

2 2

2 2

,

: 9

D

y x y dxdy D x y

 



12.27

2 2

2 2

, 1

: 0, 0,

1

D

y dxdy x y

D x y

x y

 

 

 



12.28

2 2

2 2

,

: 25, 0

D

x x y dxdy

D x y x

  



12.29

2 2

2 2

2 3 ,

: 3, 0, 0

D

x y dxdy

D x y x y

   



12.30

2 2

2 2

,

: 7, 0

D

x y dxdy

D x y x

  



Методические указания к выполнению заданий РГР№1.

Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:

а) y

z x z

 , ;

б) x y

z y

z x

z

2

2 2 2 2

,

, ;

(19)

21 в) убедиться, что

2 2

z z

y x x y

  

    ; г) dz, d2z.

Решение: функцию нескольких аргументов zf(x,y,,t) можно дифференцировать по каждому аргументу, считая все остальные аргументы постоянными. Полученные при этом частные производные , ,

y z x z

находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной. Частные производные высших порядков

, , ,

,

, 2

3 2

2 2 2 2

t x

z y

x z y

z x

z

 находят по тем же правилам: частные

производные второго порядка - это производные от частных производных первого порядка, третьего – от второго и т.д. Полные дифференциалы функции zf(x, y) первого и второго порядков определяются по формулам

ydy dx z

x dz z

 

  , 2 2 2.

2 2

2 2 2

2 dy

y dxdy z х y

dx z x z z

d

 

 

 

а) для функции z  ln(x2y2 1)частные производные имеют вид:

1 2

2

2  

 

y x

x x

z ,

1 2

2

2  

 

y x

y y

z ;

б) 



 

 

y x

x x x

z

1 2

2 2 2

2

= 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

) 1 (

) 1 (

2 )

1 (

2 2 ) 1 (

2

 

y x

y x y

x

x x y

x

,

 

2 2

y

z



 

y y

x у

1 2

2

2 2 2 2

2 2

) 1 (

) 1 (

2

 

y x

y

x ,

 

 

 

y y

x x y

x z

1 2

2 2 2

2 2

2 1)

( 4

 

x y

xy ;

в)

х у

2z



 

y x

x у

1 2

2

2 = ,

) 1 (

4

2 2

2  

x y

xy

т.о., действительно,

2 2

z z

y x x y

 

    ;

г) 

 

  dy

y x

y dx x

y x

y

dz x 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

) 1 (

) 1 (

2 )

1 (

) 1 (

2

x y dx x y dy

y

x ( 1) ( 1)

) 1 (

2 2 2 2 2

2 2

2      

  ,

2 2 2 2

2 2 2

) 1 (

) 1 (

2 dx

y x

y z x

d  

  dxdy

y x

xy

2 2

2 1)

( 8

  2 2 2 2

2 2

) 1 (

) 1 (

2 dy

y x

y x

  .

(20)

22

Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции

[x,y,z

x2 2xy 3z3

u    в точке M0

0,2,1

.

Решение: направление наибольшего изменения функции

 

M x2 2xy 3z3

u    в точке М0 дает вектор gradu

 

M0 :

 

M u

 

M i u

 

M j u

 

M k u

grad 0  x 0  y 0  z 0 . Найдем частные производные:

  

0 2 2

0 2022 4

M

x M x y

u ;

 

0 2 0 20 0

y M x M

u ;

 

09 2 0919

M

z M z

u .

Таким образом, gradu

 

M0 4i9k. Задание 3. Найдите частные производные

y z x z

 , от неявно заданной функции z=f(x,y): F(x,y,z)=xyz+ln(x+2y+3z)=0.

Решение: вычисляем частные производные для функции F(x,y,z):

3 . 2

; 3 3 2

; 2 3 2

1

z y xy x

z F y xz x

z F y z x

Fx y z

 

 

 

 

 

 

Далее для неявно заданной функции частные производные подставляем в формулы:

. 3 2

3 3 2

2

; 3 2

3 3 2

1

z y xy x

z y xz x

F z F

z y xy x

z y yz x

F z F

z x y

z x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S: F(x,y,z) x2 y2 z2 0 в заданной точке M1

2,3,6

.

Уравнение касательной и нормали плоскости в

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

При выполнении условия (31) решение задачи R-G находится из уравнения (33)... Обобщенные

Решение задачи анализа электронной цепи, когда ток источника описывается заданной гармонической функцией i(t) = sin ωt , сведено к решению

Для определения оптимальной мощности внутренних источников тепла решена задача Коши, за начальное решение которой принято температурное поле,

Шаг 1. Находятся собственные значения и собственные функции задачи Штурма - Лиувилля. Составляется общее решение исходной задачи на

Решение задачи Дирихле для двумерного волнового уравнения методом итераций

Граничные условия объемного потенциала для бигармонического уравнения были получены работе [2], а также было показано, что решение

Астана В данной работе найдены точные в степенной шкале двусторонние оценки погрешности приближения решений задачи Коши для волнового уравнения с начальными условиями из классов

О периодической задаче для уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом.. Критерии вольтерровости дифференциального оператора первого порядка с отклоняющимся