3
Некоммерческое
акционерное общество
Кафедра математики и математического моделирования
МАТЕМАТИКА 2
Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика,
5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Алматы 2018
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
4
СОСТАВИТЕЛИ: Масанова А.Ж. Математика 2. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ №1,2,3 для студентов специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. – Алматы: АУЭС, 2018. - 67 с.
Методические указания содержат задания к 3-м расчетно-графическим работам (РГР№1,2,3) по разделам «Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды» дисциплины «Математика 2». По каждой РГР даны основные методические указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности и решение заданий первого уровня типового варианта.
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный материал соответствует разделам.
Библиогр. – 11 названий, 2 рисунка.
Рецензент: к.ф.-м.н. Саламатина А.М.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2018 г.
5
Введение
Программа по курсу «Математика 2» структурирована в соответствии с действующими учебными планами АУЭС. Все студенты изучают 3 модуля по данному курсу, что соответствует общему количеству кредитов, выделенных в учебных планах. В результате изучения дисциплины студент должен знать основные формулы и методы дифференцирования и интегрирования функции нескольких переменных, а также уметь находить оптимальные методы и использовать теорию приближения функции в решении прикладных задач.
Методические указания содержат задания к 3 расчетно-графическим работам (РГР) по разделам «Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды»
дисциплины «Математика 2». Необходимые теоретические знания приведены в конспекте лекций [5]. По каждой части даны основные методические указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности и решение заданий первого уровня типового варианта. Все вычисления можно проводить и в программном продукте «МАТНСАD» любого уровня.
Вариант задания расчетно-графической работы для студентов, обучающихся по очной форме, определяется по списку группы. Вариант задания расчетно-графической работы (контрольной работы) для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера зачетной книжки на 30.
Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной ученической тетради. Все объяснения должны быть лаконичными и ясными для понимания.
Расчетно-графическая работа № 1
Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных
Теоретические вопросы.
1. Функции нескольких переменных. Частные производные.
Смешанные производные
2. Функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
3. Полный дифференциал для функции нескольких переменных и его связь с частными производными.
4. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия.
5. Двойные интегралы, их основные свойства. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.
6. Тройные интегралы, их основные свойства. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
6
7. Якобиан. Замена переменных в кратных интегралах.
Расчетные задания.
Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:
а) y
z x z
, ;
б) x y
z y
z x
z
2
2 2 2 2
,
, ;
в) убедиться, что
2 2
z z
y x x y
; г) dz, d2z.
1.1 𝑧 = 𝑒2𝑥2+𝑦2 1.2 𝑧 = 𝑦 𝑥2
1.3 𝑧 = 𝑥3𝑦6 1.4 𝑧 = cos(𝑥2𝑦2− 5) 1.5 𝑧 = sin(𝑥3𝑦) 1.6 𝑧 = (𝑥2− 2𝑦)5 1.7 𝑧 = (4𝑥 − 𝑦3)2 1.8 𝑧 = (5𝑥3+ 2𝑦)4 1.9 𝑧 = (2𝑥3− 𝑦)7 1.10 𝑧 = (4𝑥2− 5𝑦3)5 1.11 𝑧 = 𝑒𝑥2+𝑦3 1.12 𝑧 = (4𝑥 + 𝑦)9 1.13 𝑧 = cos(𝑥 − 5𝑦) 1.14 𝑧 = sin(𝑥𝑦) 1.15 𝑧 = cos(3𝑥2− 𝑦3) 1.16 𝑧 = (3𝑥 + 2𝑦)9 1.17 𝑧 = (5𝑥2− 3𝑦4)2 1.18 𝑧 = (𝑥3− 4𝑦)7 1.19 𝑧 = 𝑒3𝑥𝑦−4 1.20 𝑧 = cos(𝑥𝑦2) 1.21 𝑧 = 𝑒𝑥2−𝑦2 1.22 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦3 1.23 𝑧 = 𝑥
𝑦
1.24 𝑧 = cos(𝑥𝑦2) 1.25 𝑧 = sin(𝑥2− 𝑦) 1.26 𝑧 = 𝑥3𝑦2 1.27 𝑧 = (𝑥 − 𝑦2)5 1.28 𝑧 = (2𝑥 + 𝑦)7 1.29 𝑧 = (𝑥 − 3𝑦)8 1.30 𝑧 = (3𝑥2− 2𝑦2)3
Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции
M u x y z
u , ,
в точке M1
x1,y1,z1
.№
u M M
1 №u M M
12.1
x
2y y
2z z
2x
(1,-1,2) 2.16 ln
x3 y3 z1
(1,3,0)2.2
5 xy
3z
2 (2,1,-1) 2.17x 2 y e
z (-4,-5,0)2.3
ln x
2 y
2 z
2
(-1,2,1) 2.18x
4 3 xyz
(2,2,-4)2.4
z e
x2y2z2 (0,0,0) 2.193 x
2y
3z
(-2,-3,1)2.5
ln xy yz xz
(-2,3,-1) 2.20 exyz2 (-5,0,2)7
2.6
1 x
2 y
2 z
2 (1,1,1) 2.21x
yz (3,1,4)2.7
x
2y xz
2 2
(1,1,1) 2.22
x2 y2 z2
3 (1,2,-1)2.8 xey yex z2 (3,0,-2) 2.23
x y
z (1,5,0)2.9 3xy2 z2 xyz (1,2,2) 2.24 x2y y2z3z (0,-2,-1) 2.10
5 x
2yz xy
2z yz
2 (1,1,1) 2.251 10
2 2
2 y z
x
(-1,2,-2) 2.11
2 2
2 y z
x x
(1,2,2) 2.26 ln
1x2 y2z2
(1,1,1)2.12
y
2z 2 xyz z
2 (3,1,-1) 2.27x z z y y
x (-1,1,1)
2.13
x
2 y
2 z
2 2 xyz
(1,-1,2) 2.28 x3 xy2 6xyz (1,3,-5) 2.14 ln
1 x y2 z2
(1,1,1) 2.29z x z y y
x (2,2,2)
2.15 x2 2y2 4z2 5 (1,2,1) 2.30
e
xyz (1,0,3)Задание 3. Найдите частные производные
y z x z
, от неявно заданной функции z=f(x,y): F(x,y,z)=0.
№
F x , y , z
№F x , y , z
3.1
xyz 3 xy
2 5 yz
2 3.16xy
2 z xyz z x
3.2 x2yz2xyz2 3xy2z 3.17
x y
z2 x
y2 z2
3.3
2 x
2y
2z xyz
3 x
2yz
2 3.18x yz xyz xz
23.4
x
2 y z yz
2 2 xyz
3.19x
3y y
3z z
3x
3.5
xy yz z
2 xy
2z
3.20xy
2 yz
2 zx
23.6 2xy2 3xyz2xz2 3.21 xyzx2y2xy2 3.7
yz
xyz
x yz
yz2 3.22
x z
y2
y x
z23.8 3xyz2 4xy2z x2y2 3.23 xy2z x2yz xyz2 3.9
x
2y 2 xyz 3 xz
2 3.24 x yz x
2 2xyz
23.10
xyz z
3 2 xy
2 3.25
x y
z2
yz
x28
3.11
zx y x 2 xyz z
3 3.26 x yz z z x y
3.12 x
y2 z2
3xyzz3 3.27 x 2 y z
2 3 xyz
3.13
y z x
2 2 xy
2 xyz
3.28x
2yz y
2xz z
2xy
3.14
xy z y 2 x
3 3 xy
2 3.29 x y x
2 y
2z 2 xyz
3.15
x y zx
2 2 xy
2z xyz
2 3.30 x3y y3z z3xЗадание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S в заданной точке M0(x0,y0,z0).
№ S M0(x0,y0,z0)
4.1
x
2 y
2 z
26 z 4 x 8 0
M0(2,1,-1)4.2
x
2 4 y
2 z
2 2 xy
M0(-2,1,2)4.3
x
2 y
2 z
26 y 4 x 8
M0(3,2,1)4.4
x
2 y
2 z
2xy 3 z 7
M0(5,2,0)4.5
2 x
2 y
2 z
24 z y 13
M0(2,01)4.6
x
2 y
2 z
26 y 4 z 4 0
M0(-2,4,-1)4.7
x
2 z
25 yz 3 y 46
M0(-5,6,8)4.8
x
2 y
2 xz yz 8 0
M0(-3,2,4)4.9
x
2 y
2 2 yz z
2y 2 z 2
M0(8,-5,4)4.10
x
2 y
2 z
22 xz 2 x z
M0(2,11,-11)4.11
z x
2 y
2 2 xy 2 x y
M0(4,0,-1)4.12
z x
2y
2 6 xz 4 y
M0(8,-1,-10)4.13
z x
2 y
2 2 xy x 2 y
M0(3,0,8)4.14
x
2 2 y
2 z
2 xz 4 y 13
M0(5,2,3)4.15
4 x
2 8 y
2 14 z
2 4 z 12 x 8 y 9
M0(0,1,4)4.16
y
2 z
2 6 x y 5 z 8 0
M0(5,2,1)4.17
2 x
2 3 y
2 2 z
2 6 yz 4 xz 8 x 0
M0(0,-4,-1)9
4.18
x
2 y
2 z
2 6 yz 4 z 14
M0(-2,-1,-1)4.19
x
2 y
2 z
2xz 4 y 8 x 15
M0(2,5,-5)4.20
x
2 y
2 z
216 y 4 xz 8 x 15
M0(4,2,-1)4.21
3 x
2 y
2 xz 4 yx 10
M0(5,1,-5)4.22
x
2 2 y
2 z
24 xz 8 0
M0(7,1,-7)4.23
x
2 3 y
2 z
24 y 18 x 0
M0(8,0,-8)4.24
x y
2 z
26 z 14 x 6 0
M0(2,0,-2)4.25
5 x
2 y
2 z
26 xz 8 x 8 z 0
M0(1,1,-1)4.26
x
2 y
2 z
26 xy 14 xz 11 0
M0(5,-5,-5)4.27
z 2 x
2 y
2 4 x 8 y
M0(6,6,-5)4.28
y x
2 5 y
2 z
2 6 xz 12
M0(7,1,-7)4.29
z x
2 2 y
2 4 xy 8 y
M0(9,5,-9)4.30
z 2 x
2 y
2 4 xy 14 y
M0(3,3,-1)Задание 5. Исследовать на экстремум функции.
5.1 𝑧 = 𝑥𝑦(12 − 𝑥 − 𝑦) 5.2 𝑧 = (𝑥 − 2)2+ 2𝑦2− 10 5.3 𝑧 = (𝑥 − 5)2+ 𝑦2+ 1 5.4 𝑧 = 1 + 15𝑥 − 2𝑥2− 𝑥𝑦 − 2𝑦2 5.5 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 2𝑥2− 4𝑦2 5.6 𝑧 = 𝑥√𝑦 − 𝑥2− 𝑦 + 6𝑥 + 3 5.7 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 5𝑥2− 3𝑦2+ 2 5.8 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2− 6𝑥 − 9𝑦 5.9 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑥2− 𝑦2 + 9 5.10 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2− 2𝑦2+ 10 5.11 𝑧 = 𝑥3+ 8𝑦3− 6𝑥𝑦 + 1 5.12 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 𝑦2 − 𝑥 + 6𝑦 5.13 𝑧 = 2𝑥3+ 2𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 5 5.14 𝑧 = 3𝑥3+ 3𝑦3− 9𝑥𝑦 + 10 5.15 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 5.16 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2− 2𝑥 − 𝑦 5.17 𝑧 = (𝑥 − 1)2+ 2𝑦2 5.18 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 2𝑦2− 𝑥 + 14𝑦 5.19 𝑧 = 𝑥2+ 3(𝑦 + 2)2 5.20 𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦) − 𝑥2− 𝑦2 5.21 𝑧 = 𝑥𝑦 − 3𝑥2− 2𝑦2 5.22 𝑧 = 𝑥3+ 8𝑦3− 6𝑥𝑦 + 5 5.23 𝑧 = 𝑥3+ 𝑦3− 3𝑥𝑦 5.24 𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2 5.25 𝑧 = 𝑥𝑦(6 − 𝑥 − 𝑦) 5.26 𝑧 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 𝑥 − 𝑦 + 1 5.27 𝑧 = 6(𝑥 − 𝑦) − 3𝑥2− 3𝑦2 5.28 𝑧 = 𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 9𝑥 − 6𝑦 + 2 5.29 𝑧 = 4(𝑥 − 𝑦) − 𝑥2− 𝑦2 5.30 𝑧 = 𝑥3+ 𝑦2 − 6𝑥𝑦 − 39𝑥 + 18
10
Задание 6. Проверить является ли данная u(x,y,z) функция решением дифференциального уравнения в частных производных.
№ Уравнение u(x,y,z)
6.1 2 2 2
2 2
2
2
20
u u u
x xy y
x x y y
u y
x
6.2 3 3
3( )
u u
x y x y
x y
3 3
ln x
u x y
y
6.3 2 2
2 2
0
u u
x y
2 2
ln( ( 1) ) u x y
6.4 2
(1 ln )
u u
y y x
x y x
u x
y6.5
u u 2
x y u
x y
u xy
x y
6.6 2 2
2 2
2 2
0
u u
x y
x y
u e
xy6.7 2 2
2
2 2
u u
a x y
sin (
2) u x ay
6.8 2 2
2 2
2 2
0
u u
y x
x y
u y y
x
6.9 2 2 2
2 2 2
0
u u u
x y z
2 2 2u 1
x y z
6.10 2 2
2
2 2
u u
a x y
cos(x ay)
u e
6.11
u u u 0
x y z
( )( )( )
u x y y z z x
6.12
u u
x y u
x y
ln y
u x
x
6.13
u u 0
y x
x y
2 2
ln( )
u x y
11
6.14 2 2
u u 0
x xy y
x y
2
arcsin
3
u xy y
x
6.15 2 2 2
2 2
2
2
22 0
u u u
x xy y xyu
x x y y
u e
xy6.16 2
u 0 x y
1
x y u arctg
xy
6.17 2 2
2 2
0
u u
x y
2 2
ln( 2 1)
u x y x
6.18
u u 0
x y u
x y
2 32 x 3 y
u x y
6.19 2 2 2
u u u 1
x y z
2 2 2
u x y z
6.20
u u 2
x y u
x y
2 2
( ) x
u x y tg
y
6.21 2 2
2 2
9 u u 0
x y
( 3 )
sin( 3 )
x y
u e
x y
6.22 2 2 2
2 2
2
2
20
u u u
x xy y
x x y y
y
u xe
x6.23 2 2
2 2
0
u u
x y
u arctg y
x 6.24
u u 0
x y
x y
u arctg y
x
6.25 2 2
2
0
u u u u
x x y y x
ln(
y) u x e
6.26
u u 0
x y
x y
arcsin x
u x y
6.27
2
1 u 1 u u
x x y y y
12
6.28
u u x y
x y x y
2 2
x y
u x y
6.29
u u 2 y
x y u
2
2u xy y
6.30 2 2
2 2
0
u u
x y
2 2
ln( )
u x y
Задание 7. Найдите полную производную от сложной функции u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t) в точке t=t0 .
№ u=u(x, y), x=x(t), y=y(t)
7.1 2 3
, sin , ,
00
x y
u e
x t y t t
7.2 2 3
ln(
x y), , ,
01
u e e
x t y t t
7.3 / 2
, ln( 1), ,
02
x t
u y x t y e t
7.4 2 2 /3
, sin , ,
0/ 2
y x t
u e
x t y e t
7.5 2 2
, cos , sin ,
0u x e
yx t y t t
7.6 2 3
ln(
x y), , ,
01
u e e x t y t t
7.7
u x
y, x e
t, y ln , t t
0 2
7.8 2 2 3
, , ,
00
y x
u e
x arctgt y t t
7.9 2 2 3
, ( 2), ( 1) ,
05
u x e
yx t y t t
7.10 2 3
ln(
x y), , ,
01
u e
e x t y t t
7.11 2 1
, cos , arcsin ,
0/ 2
y x
u e
x t y t t
7.12 3
arcsin( / ),
t, ,
0u x y x e
y t t
7.13 3
0
arccos( 2 x ), sin , cos ,
u x t y t t
y
7.14 2
2
, 1 5 , ,
00
1
u x x t y arctgt t
y
7.15 2 2
/ ,
t, 2
t,
00
u x y x e y e t
7.16 2 3
ln(
x y), , ,
01
u e e
x t y t t
13
7.17 2 2 3
3, ln , ,
0u x y x t y t t e
7.18 2
arcsin( x ), sin , cos ,
0u x t y t t
y
7.19 3
3 0
2 x , 1 2 , cos , 1
u x t y arc t t
y
7.20
, sin , cos ,
04 x y
u x t y t t
y x
7.21 2 2
3, ln , ,
0u y x x t y t t e
7.22 3
0
arccos( 2 x ), sin , cos ,
u x t y t t
y
7.23
3
arc ( ), x sin 2 , cos 3 ,
0u tg x t y t t
y
7.24 2 2 2
3 , ln , ,
01
u x y xy x t y t t
7.25 2 3
/ ,
t, 1
t,
02 u y x x e y e t
7.26
0
arccos( 2 x ), sin 2 , cos ,
u x t y t t
y
7.27 2 2 4
ln(
x y), , ,
01
u e e x t y t t
7.28
7.29 3 2 3
3 , ln , ,
02
u x y xy x t y t t
7.30 3
arc ( ), 1 sin ,
x,
0/ 3 u tg xy x t y e t
Задание 8. Постройте область D и вычислите ее площадь через двойной интеграл.
8.1 8.2
8.3 8.4
8.5 8.6
8.7 8.8
14
8.9 8.10
8.11 8.12
8.13
8.14
8.15 8.16
8.17 8.18
8.19 8.20
8.21 8.22
8.23 8.24
8.25 8.26
8.27 8.28
8.29 8.30
Задание 9. По заданной области D вычислите двойной интеграл.
9.1 9.2 9.3
9.4 9.5 9.6
9.7 9.8 9.9
9.10 9.11 9.12
9.13 9.14 9.15
15
16
9.16 9.17 9.18
9.19 9.20 9.21
9.22 9.23 9.24
9.25 9.26 9.27
9.28 9.29 9.30
Задание 10. По заданной области V вычислите тройной интеграл.
10.1 10.2
10.3 10.4
10.5 10.6
17
10.7 10.8
10.9 10.10
10.11 10.12
10.13 10.14
10.15 10.16
10.17 10.18
10.19 10.20
10.21 10.22
18
10.23 10.24
10.25 10.26
10.27 10.28
10.29 10.30
Задание 11. Измените порядок интегрирования.
11.1
0 0
1
( , )
y
dy f x y dx
11.2
1 0
0 2
( , )
y
dy f x y dx
11.3
1 0
0
( , )
y
dy f x y dx
11.4
2 2
2
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.5
1
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.6
0 2 2
2 0
( , )
x
dx f x y dy
11.7
2
3 0
2 1
( , )
x
dx f x y dy
11.8
1
1 ln
( , )
e
x
dx f x y dy
11.9
2
2 1
0 1
( , )
x
dx f x y dy
11.10
1 3
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.11
2 2
1 0
( , )
y
dx f x y dy
11.12
1 1
2 2
( , )
x
dx f x y dy
11.13
1 0
0
( , )
y
dy f x y dx
11.14
3 /3
0
( , )
arctgy
dy f x y dx
11.15
3
0 0
1
( , )
x
dx f x y dy
11.16 11.17 11.18
19
2
2 0
3 4
( , )
x
dx f x y dy
1 02 2
( , )
y
dy f x y dx
10 0
( , )
y
dy f x y dx
11.19
2
1 1
0
( , )
x
dx f x y dy
11.20
2 2
2
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.21
2
1 0
2 2
( , )
y
dy f x y dx
11.22
1 3
0 0
( , )
x
dx f x y dy
11.23
4 4
0 0
( , )
x
dx f x y dy
11.24
2
1 0
1 1
( , )
x
dx f x y dy
11.25
1 0
0 1
( , )
x
dx f x y dy
11.26
0 0
1 1
( , )
x
dx f x y dy
11.27
2
3 0
2 4
( , )
x
dx f x y dy
11.28
2 2
0 2
( , )
y
dy f x y dx
11.29
0 0
1 2
( , )
y
dy f x y dx
11.30
/ 4 sin
0 0
( , )
x
dx f x y dy
Задание 12.Вычислите двойной интеграл с переходом в полярные координаты.
12.1
2 2
2 2
,
: 2.
D
x y dxdy
D x y
12.2
2 2
2 2
2 ,
: 9.
D
x y dxdy
D x y
12.3
2 2
2 2
16 ,
: 9.
D
x y dxdy
D x y
12.4
2 2
2 2
,
: 4, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.5
2 2
2 2
,
: 1.
x y D
e dxdy
D x y
12.6
2 2
2 2
,
: 3, 0.
D
x y dxdy
D x y y
12.7
2 2
2 2
sin( ) ,
: / 2
D
x y dxdy
D x y
12.8
2 2
2 2
1 ,
: 1 4.
D
x y dxdy
D x y
12.9
2 2
3 3
2 2
,
: 5.
x y
D
e dxdy
D x y
12.10
2 2
2 2
cos( ) ,
: / 2.
D
x y dxdy
D x y
12.11
2 2
2 2
( ) ,
: 5.
D
x y dxdy
D x y
12.12
2 2
2 2
1 ,
1
: 0 1/ 4.
D
dxdy x y
D x y
12.13 12.14 12.15
20
2 2
2 2
(4 4 ) ,
: 2,
0, 0
D
x y dxdy
D x y
x y
2 22 2
5 ,
: 0 2
D
x y dxdy
D x y
2 22 2
16 ,
: 20, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.16
2 2
2 2
,
: 1 4.
D
x dxdy x y
D x y
12.17
2 2
2 2
sin( ) ,
: / 2.
D
x y dxdy
D x y
12.18
2 2
2 2
,
: 1 3
D
y dxdy x y
D x y
12.19
2 2
2 2
cos( ) ,
: 5
D
y x y dxdy D x y
12.20
2 2
2 2
,
: 4, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.21
2 2
2 2
,
: 0, 1
D
y dxdy x y
D x x y
12.22
2 2
2 2
,
: 1 3
D
y dxdy x y
D x y
12.23
2 2
2 2
1 ,
1
: 3
D
dxdy x y
D x y
12.24
2 2
2 2
3 ,
: 1, 0
D
x y dxdy
D x y x
12.25
2 2
2 2
4 ,
: 5
D
x y dxdy D x y
12.26
2 2
2 2
,
: 9
D
y x y dxdy D x y
12.27
2 2
2 2
, 1
: 0, 0,
1
D
y dxdy x y
D x y
x y
12.28
2 2
2 2
,
: 25, 0
D
x x y dxdy
D x y x
12.29
2 2
2 2
2 3 ,
: 3, 0, 0
D
x y dxdy
D x y x y
12.30
2 2
2 2
,
: 7, 0
D
x y dxdy
D x y x
Методические указания к выполнению заданий РГР№1.
Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:
а) y
z x z
, ;
б) x y
z y
z x
z
2
2 2 2 2
,
, ;
21 в) убедиться, что
2 2
z z
y x x y
; г) dz, d2z.
Решение: функцию нескольких аргументов z f(x,y,,t) можно дифференцировать по каждому аргументу, считая все остальные аргументы постоянными. Полученные при этом частные производные , ,
y z x z
находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной. Частные производные высших порядков
, , ,
,
, 2
3 2
2 2 2 2
t x
z y
x z y
z x
z
находят по тем же правилам: частные
производные второго порядка - это производные от частных производных первого порядка, третьего – от второго и т.д. Полные дифференциалы функции z f(x, y) первого и второго порядков определяются по формулам
ydy dx z
x dz z
, 2 2 2.
2 2
2 2 2
2 dy
y dxdy z х y
dx z x z z
d
а) для функции z ln(x2 y2 1)частные производные имеют вид:
1 2
2
2
y x
x x
z ,
1 2
2
2
y x
y y
z ;
б)
y x
x x x
z
1 2
2 2 2
2
= 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
) 1 (
) 1 (
2 )
1 (
2 2 ) 1 (
2
y x
y x y
x
x x y
x
,
2 2
y
z
y y
x у
1 2
2
2 2 2 2
2 2
) 1 (
) 1 (
2
y x
y
x ,
y y
x x y
x z
1 2
2 2 2
2 2
2 1)
( 4
x y
xy ;
в)
х у
2z
y x
x у
1 2
2
2 = ,
) 1 (
4
2 2
2
x y
xy
т.о., действительно,
2 2
z z
y x x y
;
г)
dy
y x
y dx x
y x
y
dz x 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
) 1 (
) 1 (
2 )
1 (
) 1 (
2
x y dx x y dy
y
x ( 1) ( 1)
) 1 (
2 2 2 2 2
2 2
2
,
2 2 2 2
2 2 2
) 1 (
) 1 (
2 dx
y x
y z x
d
dxdy
y x
xy
2 2
2 1)
( 8
2 2 2 2
2 2
) 1 (
) 1 (
2 dy
y x
y x
.
22
Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции
[x,y,z
x2 2xy 3z3u в точке M0
0,2,1
.Решение: направление наибольшего изменения функции
M x2 2xy 3z3u в точке М0 дает вектор gradu
M0 :
M u
M i u
M j u
M k ugrad 0 x 0 y 0 z 0 . Найдем частные производные:
0 2 2
0 2022 4 M
x M x y
u ;
0 2 0 20 0y M x M
u ;
0 9 2 0 919 M
z M z
u .
Таким образом, gradu
M0 4i9k. Задание 3. Найдите частные производныеy z x z
, от неявно заданной функции z=f(x,y): F(x,y,z)=xyz+ln(x+2y+3z)=0.
Решение: вычисляем частные производные для функции F(x,y,z):
3 . 2
; 3 3 2
; 2 3 2
1
z y xy x
z F y xz x
z F y z x
Fx y z
Далее для неявно заданной функции частные производные подставляем в формулы:
. 3 2
3 3 2
2
; 3 2
3 3 2
1
z y xy x
z y xz x
F z F
z y xy x
z y yz x
F z F
z x y
z x x
Задание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S: F(x,y,z) x2 y2 z2 0 в заданной точке M1
2,3,6
.Уравнение касательной и нормали плоскости в