• Ешқандай Нәтиже Табылған Жоқ

libr.aues.kz

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Share "libr.aues.kz"

Copied!
69
0
0

Толық мәтін

(1)

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра математики и математического моделирования

КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Конспект лекций для студентов специальности

5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2018

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

(2)

СОСТАВИТЕЛИ: Базарбаева С.Е., Масанова А.Ж. Компьютерное решение задач операционного исчисления и теории вероятностей. Конспект лекций для специальности 5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации. – Алматы: АУЭиС, 2018. -68 с.

Лекции включают три раздела, необходимые для изучения данного спецкурса: «Теория вероятностей», «Математическая статистика»,

«Операционное исчисление», предусмотренные учебными планами для студентов указанной специальности. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры и решённые задачи, помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал. Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный материал соответствует разделам.

Библиогр. – 8 названий, 17 рисунков.

Рецензент: доцент каф. МММ, к.ф.м.н. Искакова А.К.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.

(3)

Сводный план 2018., поз. 227

Базарбаева Сауле Ермурзаевна Масанова Аида Жайлауовна

КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Конспект лекций для студентов специальности

5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Редактор Л.Т. Сластихина

Специалист по стандартизации Н.К. Молдабекова

Подписано в печать _______ Формат 60х84 1/16

Тираж 134 экз. Бумага типографская №1

Объем 4,1 уч.- изд. лист Заказ_____ Цена 2100 тг

Копировально-множительное бюро некоммерческое акционерное общество

«Алматинский университет энергетики и связи»

050013, Алматы, Байтурсынова, 126 Модуль 1. Теория вероятностей

(4)

Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события

Содержание лекции: предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Различные определения вероятности

Цель лекции: познакомить с предметом и основными понятиями теории вероятностей.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений, причём она рассматривает не сами явления, а их математические модели. Понятие события является основным в теории вероятностей.

Испытание и событие − это основные понятия теории вероятностей. Испытание − опыт, наблюдение, эксперимент, реализация определенного комплекса условий. Событие результат, исход испытания.

События бывают.

1. Достоверное (U) − обязательно произойдет.

2. Невозможное (V) − заведомо не произойдет.

3. Случайное (A,B,C…) − может либо произойти, либо не произойти.

Виды случайных событий.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

В противном случае события называются несовместными.

Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Обозначение: А В , В А .

Несколько событий образуют полную группу, если появление одного и только одного из них в результате испытания является достоверным событием.

Классическое определение вероятности.

Несколько событий, связанных с данным испытанием, называются элементарными исходами испытания, если:

- эти события образуют полную группу, т.е. при каждом осуществлении опыта наступает одно и только одно из них;

- эти события являются равновозможными.

Те элементарные исходы, при которых событие A наступает, называются благоприятствующими событию A.

Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу n всевозможных элементарных исходов испытания.

(5)

n A m

P( ) . (1.1) Свойства вероятности.

1. Вероятность случайного события есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей: 0 P(A) 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

или P(A)=p, Р(А)=q, то p+q=1.

Статистическое определение вероятности.

Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило ровно M раз. Отношение

N

M называется относительной частотой события A и обозначается

N A M

W ( ) . За вероятность события A принимается число, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты: P(A) W(A).

Алгебра событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Обозначение: С=АВ,

Аn

А А

В 1 2... . Если события A и B несовместны, то AB=V.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A уже произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается P(B/A).

Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не изменяется от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Если событие A не зависит от события B, то его условная вероятность равна безусловной вероятности: P(A)= P(A/B).

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если вероятность появления одного из них не изменяется при появлении каких-либо других оставшихся.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=А+В,

Аn

А А

В 1 2 ... .

Если рассматриваемые события несовместны, то их суммой является событие, состоящее в появлении только одного из этих событий.

Если события A1, A2, ,An образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием: A1 A2 ... An U .

Если события A и B − противоположные, то A+B=U, AB=V.

Следствие. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

(6)

Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий А и В : P(A B) 1 P(A B).

Следствие. Если P(A1) p1, P(A2) p2, то P(A1) 1 p1 q1,

2 2

2) 1

(A p q

P и P(A1 A2) 1 q1q2.

В частности, если P(A1) P(A2) p , то P(A1 A2) 1 q2. Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей

Содержание лекции: теоремы умножения и сложения. Формулы полной вероятности и Байеса. Элементы комбинаторики.

Цель лекции: познакомиться с основными теоремами теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A B) P(A) P(B).

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло: P(AB) P(A)P(B/ A).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB ) P(A)P(B).

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть исходами некоторого случайного эксперимента являются, кроме событий H1,...,Hn, составляющих полную систему, наблюдаемое событие A , которое может наступить только совмествно с одним из Hi. Последние будем называть гипотезами по отношению к событию A. Безусловные вероятности гипотез

 Hi 0

P по классической схеме могут быть определены до опыта (априорно).

Так как гипотезы попарно несовместны, то такими же будут и сложные события H1A, ... ,HnA. Вероятность их суммы - P H A P A

n

i

i

1

, называемой полной вероятностью события A, можно найти с помощью аксиомы сложения и формулы умножения вероятностей:

      

n

i

i i

n

i

iA P A P H P A H

H P A

P

1 1

/ . (1.2) Значения вероятностей гипотез при условии, что событие A уже произошло, обозначаются P(Bi / A), i 1,2,..., n и называются апостериорными или послеопытными, и они находятся по формуле Байеса:

(7)

, ,..., 2 , 1 , ) / ( ) (

) / ( ) ( )

/ (

1

n i

H A P H P

H A P H P A

H

P n

k

k k

i i

i

(1.3) которая позволяет проверять вероятность осуществления каждой из гипотез после получения информации о наступлении наблюдаемого события

A.

Элементы комбинаторики.

Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу множества присвоен номер из натурального ряда чисел. Бесконечное упорядоченное множество носит название счетного множества.

Различные соединения (упорядоченные множества) из n элементов, отличающиеся лишь порядком (местами) элементов называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов

! n Pn

.

Рассмотрим необязательно упорядоченные множества и , содержащие соответственно n и mm n элементов. Всевозможные соединения , различающиеся только составом, называются сочетаниями из

n элементов по m . Число сочетаний из n элементов по m

!

!

!

!

1 ...

1

m n m

n m

m n n

Сnm n

.

Соединения из n элементов по m m n, различающиеся либо составом, либо порядком своих элементов, называют размещениями из п элементов по m .

Из каждого сочетания из n элементов по m перестановками можно образовать m! размещений. Следовательно, число размещений из n элементов по m :

   

 !.

! 1

1

m n

n m

n n

n P C

Anm nm m

Лекция 3. Схема испытаний Бернулли

Содержание лекции: схема Бернулли. Формулы Пуассона и Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

Свойства функций Гаусса и Лапласа.

Цель лекции: познакомиться с основными формулами теории вероятностей.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Рассмотрим схему испытаний Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний. Каждое испытание имеет два возможных исхода: либо появится событие A («успех»), либо противоположное ему событие А («неудача»). Вероятность появления события P(A) p в

(8)

каждом отдельном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется. Тогда вероятность «неудачи» равна P(A) 1 P(A) 1 p q. Исход каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

Вероятность Pn(m) того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли:

m n m m n

n m C p q

P ( ) ,

где Сnm − число сочетаний из n элементов по m;

. ) (

; ) 0 (

; 1 );

1

1(

n n

n

n q P n p

P p q

р P

Число появлений события A, которому соответствует наибольшая вероятность Pn(m) в данной серии испытаний, называется наивероятнейшим и обозначается m0. Наивероятнейшее число m0 появлений события A в n испытаниях определяется из двойного неравенства

p np m q

np 0 .

Если np p − целое число, то m0 принимает два значения: m0

=np p и m0 =np p 1. Если np p − дробное число, то m0 равно целой части этого числа, т.е. m0 = р(n 1).

Практическое использование формулы Бернулли при достаточно больших n ( уже при n>10) или, когда n большое, а р малое, приводит к увеличению объёмов вычислений и не всегда удобно. В этих случаях для вычисления вероятности Pn(k) применяют приближённые формулы.

Теорема Пуассона.

Если число испытаний n неограниченно возрастает, а вероятность р появления события в каждом испытании мала, но произведение np a остаётся постоянным, то вероятностьPn(k) приближённо равна: a

k

n e

k a k

P

! )

( .

Последнюю формулу называют формулой Пуассона, обычно её используют, когда n 50 , а np a 10 . При вычислении по этой формуле можно пользоваться таблицами или встроенными функциями в среде Mathcad.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и не равна 0 и 1, а число испытаний n неограниченно возрастает, то вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях приближённо равна:

) 1 (

)

( x

npq k

Pn , (1.4) где функция Гаусса exp( /2)

2 ) 1

(x x2

;

(9)

npq np x k

; q 1 p. (1.5) Составлены таблицы (x) значений [8], при использовании которых следует учитывать следующие свойства этой функции:

а) (x) чётная, т.е. (x) (x) ;

б) можно считать, что (x)=0 при x 4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и не равна 0 и 1, а число испытаний n неограниченно возрастает, то вероятность появления события не менее k1 и не более k2 раз (обозначается

) (k1 m k2

P или P(k1,k2)) приближённо равна Pn(k1,k2) (x2) (x1), где

x t

dt e x

0 2

2

2 ) 1

( ;

npq np

x k

1

1 ;

npq np

x k

2

2 . (1.6)

) (x

называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения функции Лапласа можно определить из специальных таблиц [8] или в среде Mathcad. Полезно знать свойства этой функции:

1) (x) определена для всех х.

2) (0) 0 ;

2 ) 1 (

.

3) (x) (x), т.е. функция нечётная.

4) x 5

2 ) 1

(

x .

Таким образом, график функции Лапласа имеет вид:

Рисунок 1

При решении задач, относящихся к схеме Бернулли, следует учитывать условия и выбирать нужную формулу, а также весьма удобно использовать встроенные функции Mathcad ( [8,10]).

(10)

Лекция 4-5. Случайные величины. Функция распределения

Содержание лекции: дискретная и непрерывная случайные величины.

Функция и плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

Цель лекции: познакомиться с видами случайных величин и способами их задания.

Случайной величиной называется переменная величина, которая, в зависимости от исхода испытания, случайно принимает одно из множества возможных значений.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения строчными: x,y,z,…

или x1,x2,...

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде последовательности, называется дискретной случайной величиной. Примеры:

- число покупателей в очереди у кассы;

- число ДТП за сутки;

- число бракованных изделий в партии.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие (в виде таблицы, функции, графика) между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Для полного описания случайной величины надо знать не только множество их возможных значений, но и вероятности этих значений.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая – соответствующие вероятности pi P(X xi) ,

X х1 х2 …. xn

P p1

p2 ….. pn

причем p1 p2 ... pn 1.

Графическое задание закона распределения Х: в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают значения xi, а по оси ординат – вероятности этих значений pi. Точки с координатами (xi,pi) последовательно соединяют отрезками прямой. Полученную ломаную называют многоугольником распределения.

(11)

Аналитическое задание закона распределения требует определения формулы, связывающей возможные значения с их вероятностями. Такую формулу удаётся найти только для некоторых случайных величин.

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X

называется сумма произведений значений этой случайной величины на соответствующие вероятности:

n np x p

x p x X

M ( ) 1 1 2 2 ... . (1.7) Свойства математического ожидания M(X).

1. M (C) C , где C – const.

2. M (CX ) CM (X).

3. M (X Y) M (X) M (Y); M (X Y) M (X) M (Y). 4. M (X C) M (X)C , где C − const.

5. M X M (X ) 0.

Разность Х М (Х) называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

))2

( (

)

(X M X M X

D . (1.8) Если случайная величина Х − дискретная, то i

n

i

i M X p

x X

D

1

))2

( (

)

( .

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии: (X ) D(X ), или

) ( )

(X 2 X

D .

Свойства дисперсии D(X).

1. D(C) 0, где C − const.

2. Если X − случайная величина, D(X ) 0. 3. D(СX ) С 2D(X ), (СХ ) С(Х).

4. D(X Y) D(X ) D(Y), если X и Y независимы.

5. D(X C) D(X).

6. D(X ) M (X 2) M 2(X ) - формула для вычисления дисперсии, т.е.

дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения.

Случайная величина, принимающая все возможные значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной. Примеры:

- расход электроэнергии за сутки;

- время безотказной работы прибора;

(12)

- цена акции за определенный период.

Очевидно, что закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать рядом или многоугольником распределения. Существует универсальный способ задания закона распределения, пригодный как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин

Функцией распределения для непрерывной - F(x) случайной величины

X называется непрерывная функция F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е.

) x X ( P ) x (

F . (1.9) Для дискретной случайной величины эта функция разрывная

) (

)

(

x x

i i

x X P x

F ,

где x1,x2,..., xn - её точки разрыва принимающей значения x1,x2,..., xn, и

x

xi означает, что суммирование распространяется на все те значения xi, которые меньше х.

Основные свойства функции распределения F(x).

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

1 ) x ( F

0 . Это следует из определения функции распределения как вероятности.

2. Функция распределения F(x) является неубывающей функцией, т.е. для любых значений х2 х1 выполняется неравенство

) ( ) (x2 F x1

F .

3. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. P(Х x0)0.

4. Если все значения случайной величины лежат на интервале (а;

b), тоF(x) 0 при x a , так как событие X x невозможно при x a ;

1 ) (x

F при х b, так как событие X x достоверно при х b.

5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в заданный интервал (a,b):

) (

) (

) (

)

(a X b P a X b P a X B P a X b

P =

=P(a X b) F(b) F(a). (1.10) На рисунке 2 представлен график непрерывной случайной и перечисленные свойства.

(13)

Плотностью распределения вероятности f (x) непрерывной случайной величины X называется производная от функции распределения F(x) этой случайной величины: f(x ) F(x )

Основные свойства плотности вероятности f(x).

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.

0 ) (x

f (как производная неубывающей функции). Геометрически это означает, что график этой функции лежит не ниже оси абсцисс.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в заданный интервал (, ) определяется как определенный интеграл от ее плотности вероятности в пределах от до :

) ( ) ( )

( )

(

F F

dx x f X

P . (1.11) Геометрический смысл формулы заключается в следующем:

вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (,), равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [,].

3. 

1 ) (x dx

f . Геометрически это означает, что полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

График плотности распределения f (x) на рисунке 3 и называется кривой распределения.

Рисунок 3

На рисунке 4 показана геометрическая интерпретация свойств f (x) , где площади заштрихованных областей соответственно равны:

а) вероятности попадания Х в интервал (a,b);

б)

x

dx x f x

F( ) ( ) ; в) ( ) 1

dx x

f .

(14)

а) б) в) Рисунок 4

Если все значения непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку a,b, то ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

dx ) x ( xf ) X ( M

b

a

,

b

a

X M dx x f x X

D( ) 2 ( ) 2( ). (1.12) Закон распределения случайной величины полностью её характеризует с вероятностной точки зрения. Однако существует множество прикладных задач, в которых достаточно знать лишь отдельные свойства закона распределения, например, среднее значение, возле которого группируются возможные значения случайной величины, или их разброс относительно среднего.

Лекция 6. Понятие о моментах распределения

Содержание лекции: начальные и центральные моменты. Мода, медиана, квантили, эксцесс, коэффициент ассимметрии.

Цель лекции: познакомиться со свойствами числовых характеристик случайных величин.

Числовыми характеристиками случайной величины называются неслучайные численные параметры, представляющие основные особенности её закона распределения.

Числовые характеристики можно условно подразделить на характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, квантиль), характеристики рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение), характеристики формы (асимметрия, эксцесс).

Некоторые основные числовые характеристики являются частным случаем понятия момента распределения. В теории вероятностей рассматриваются моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом k–го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины X k , т.е. k M (X k).

(15)

Следовательно, для дискретных случайных величин начальный момент выражается формулой

n

i i k i

k x p

1

; для непрерывных – формулой

dx x f xk

k( )

. Особое значение имеет начальный момент первого порядка – это математическое ожидание: 1 M (X ). Начальные моменты высших порядков используются в основном для вычисления центральных моментов, также они позволяют лучше учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений, которые велики и имеют малую вероятность.

Центральным моментом k–го порядка случайной величины X

называется математическое ожидание случайной величины X M (X)k , т.е.

k

k M X M (X)

.

Для дискретных случайных величин центральный момент выражается

формулой:

n

i

i k i

k x M X p

1

)) (

( ; для непрерывных – формулой

dx x f X M

x k

k( ( )) ( )

. Как было показано выше, 1 MX

Ақпарат көздері

СӘЙКЕС КЕЛЕТІН ҚҰЖАТТАР

При выполнении этого задания очень легко доказать ученикам, что прилагательные и причастия в предложении могут выступать и как подлежащие, для чего необходимо

5) последовательность и системность при реализации. Аутентичные материалы - материалы, про- дуцируемые носителями языка, созданные как для носителей,

Именно для формирования экологических знаний мы и используем рекламу как важный и движущий фактор влияния на сознание молодежи, так как знания

так как большинство школ являются малокомплектными; 2) несмотря на то, что существует общественно-гуманитарные (химия -1 час)

Для современных правоведов становится все более привлекательным юридическое правопо- нимание, характеризуемое разграничением пра- ва и закона и

Появление препарата Сиспрес является оптимальным для использования в амбулаторной хирургической практике как для лечения, так и для профилактики воспалительных

Предложенный способ и устройство закладки позволяет обеспечить повышение эф- фективности, безотходную технологию, а также безопасность ведения горных работ, так

Существует несколько подходов, основанных на созданных вручную правилах грамматики и статистических моделях, таких как машинное обучение и