Қ 14
УДК 330.4(075.8) ББК 65.050 я 73 Қ 14
Пікір жазғандар:Цхай С.М. – т.ғ.д., профессор;
Отарбаев О.Ж. – т.ғ.д.,ҰИА академигі, профессор;
Ибраев А.Ғ. – ф.-м.ғ.д., профессор;
Құралбаев З.Қ. – ф.-м.ғ.д., профессор.
Баспаға Т.Рысқұлов атындағы ҚазЭУ-дің Ғылыми кеңесі,
жоғары және ЖОО-дан кейінгі білім беру «Әлеуметтік ғылымдар және бизнес»
мамандығының топтары бойынша ОӘС Кеңесі ұсынған
Қазешев А.Қ., Нұрпейісов С.А
«Экономистерге арналған математика»: Оқулық./ Редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Рахметова Р.Ө. Алматы: Экономика – 2011, 528 б.
ISBN 978–225–295–8
Типтік бағдарламаға сәйкестіріліп жазылған бұл оқулық экономикалық мамандығында оқитын студенттерге арналған. Жоғары математиканың: сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия, ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика және математикалық талдау бөлімдерін қамтыған. Кітапта теориялық мағлұматтар өте тиянақты, қысқаша түсіндіріліп, тәжірибелік есеп шығаруға және экономикалық мағынадағы есептерді шығаруға көп көңіл бөлінген. Сондай-ақ өз бетінше жұмыс істеуге арналған әртүрлі деңгейлі есептер және білім деңгейін тексеруге арналған тестер жинақтары берілген.
УДК 330.4(075.8) ББК 65.050 я 73 ISBN 978–225–295–8 © Т.Рысқұлов атындағы ҚазЭУ, 2011.
© А.Қ. Қазешев, С.А. Нұрпейісов, 2011.
© «Экономика» баспасы» ЖШС, 2011.
Бұл еңбекті немесе келесі оның бөліктерін автордың келісімінсіз таратуға және авторлық
АЛҒЫ СӨЗ
Математиканың жаратылыстанудағы рөлi мен маңызы дау тудыр- майтын шындық. Бүгiнгi таңда математиканың ролi басқа да салаларда, соның iшiнде экономикалық зерттеулерде де жедел артуда.
Математикалық аппарат зерттеу әдiсi ретiнде пайдаланылатын экономикалық ғылымның арнайы мәселелерiнен (мысалы, нақты экономикалық процестердiң математикалық модельдерi) басқа соңғы жылдары экономика бойынша жарық көрген көптеген оқулықтар математикалық формулалар мен кестелерге толы болып келедi.
Сондықтан жоғары математика курсының формулалары мен әдiстерiн меңгеру болашақ экономистер үшiн шұғыл қажеттiлiкке айналды.
Жоғары бiлiм беру жүйесiн реформалаудың негiзгi факторларының бiрi студенттердiң шығармашылық мүмкiндiктерiн олардың өзiндiк жұмысын ұлғайту жолымен дамыту болып саналады. Студенттердiң өзiндiк жұмысының үлес салмағы басым болатын оқыту жүйесi (мыса- лы, кредиттік оқыту жүйесі) өз кезегiнде оқу процессiн ұйымдастырудың жаңа формаларын қажет етедi. Осыған байланысты оқу процессiн жоғарыда атап өтiлген ерекшелiктердi ескере отырып дайындалған оқу құралдарымен, оқу-әдiстемелiк материалдармен қамтамасыз ету мәселесi ерекше мәнге ие болды.
Жоғары математика курсы көптеген жоғары оқу орындарында оқылады. Сол себептi курстың мазмұны мен көлемi оқу орнының профилiне, яғни бағытына қатысты өзгерiп тұрады. Оқытушының мiндетi жоғары математика курсын әр мамандықтың өзгешелiгiн ескере отырып оқытудан, яғни курстың мазмұны мен көлемiн таңдау шеберлiгiнен, оқыту мақсатын анықтай бiлуiнен, дәлдiк пен көрнектiлiктің үйлесiмдiлiгiнен, сол сияқты қолданбалылық бағыттағы мiндеттердi шешуiнен тұрады.
Типтік бағдарламаға сәйкестіріліп жазылған бұл оқулық экономикалық мамандығында оқитын студенттерге арналған. Жоғары математиканың: сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия, математикалық талдау, ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бөлімдерін қамтыған. Кітапта теориялық мағлұматтар өте тиянақты, қысқаша түсіндіріліп, тәжірибелік есеп шығару және эко- номикалық мағынадағы есептерді шығаруға көп көңіл бөлінген. Сондай- ақ өз бетінше жұмыс істеуге арналған әртүрлі деңгейлі есептер және білім деңгейін тексеруге арналған тестер жинақтары берілген. Студен- ттерге арнайы терминдер мен тұрақты сөз тіркестерін меңгеруге көмекщі құрал ретінде негізгі түсініктердің глоссарийі келтірілген.
Оқулық авторлардың Т. Рысқұлов атындағы ҚазЭУ-дегі
«Қолданбалы математика» кафедрасында көп жылғы тәжірибесі негізінде жазылды. Қазешев А.Қ ( I-бөлім: 1,5,6 және 7 тараулар, II- бөлім: 1-7 тараулар, тестер)., Нұрпейісов С.А (I- бөлім: 2,3 және 4 тараулар, тесттер), Рахметова Р.У.( I-бөлім: 1тарау, §12).
Кітап соңында пайдаланылған әдебиеттер берілген.
І БӨЛІМ
Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия.
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер I ТАРАУ
Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері
§ 1. Матрицалар мен анықтауыштар 1. Матрицалар
Өлшемдері m×n (mn) болатын матрица деп m*n сандардан құралған m жолдары және n бағандары бар тікбұрышты кестені айтады.
Матрицаны А, В, С,…, әріптері арқылы белгілейді. Матрицаның элементтерін аij, bij, cij, …, әріптерімен белгілейді. Мұндағы, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, i – жолдың нөмірін, ал j – баған нөмірін білдіреді.
Жоғарыда айтылған матрицаны былай жазады:
mn m
m
к n
a а a
а а
а
а а
а А
...
. . . . . .
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
(1.1.1) Жол саны баған санымен бірдей болып келетін (m=n), матрица квадраттық матрица деп аталады:
nn n
n
n n
a а a
а а
а
а а
а А
...
. . . . . .
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
(1.1.2) Ал a11, a22,ann, элементтері А матрицасының бас диагоналын құрайды да, аij i j болғанда диагональдан тысқары элементтер деп аталады.
Квадраттық матрицаның диагональдан тысқары барлық элементтері нөлге тең болса, онда ол диагональдық матрица деп аталады. Ол мына түрде жазылады;
ann
а а а А
...
0 0
. . . . . . .
0 ....
0 ...
0
22 21 11
(1.1.3) Квадрат матрица (1.1.2) үшін қосымша диагональ an1,a n12 ,...,a1n эле- менттерден тұрады, яғни қосымша диагональ сол жақтағы төменгі бұрыштан оң жақтағы жоғарғы бұрышқа дейінгі элементтерден тұрады.
Диагональдық матрицаның диагоналының барлық элементтері бірге тең болса, онда ол бірлік матрица деп аталады да Е символымен белгіленеді;
1 ...
0 0
. . . . .
0 ...
1 0
0 ...
0 1
E (1.1.4) Өлшемі m×n болатын матрицаның бас диагональдан төмен тұрған барлық элементтері нөлге тең болса, ол трапеция түріндегі матрица деп аталады:
mn mm
n m
n m
a a
а a а a
а a а a
а А
...
...
0 0 0
. . . .
. . . . .
...
....
0
...
...
2 2
23 22
1 1
13 12 11
(1.1.5)
Егер (1.1.1) матрицасында m=1 болса, онда (1.1.1) матрицаның түрі мынандай болады: А=(а11,а22,...,а1n) және де ол матрица – жол деп аталады, n=1 болғанда матрица (1.1.1) мына түрде жазылады:
1 2 1 1 1
. . .
аm
а а
А
және де ол матрица – баған деп аталады.
Квадраттық матрицаның бас диагональдан төмен (не жоғары) тұрған барлық элементтері нөлге тең болса, онда ол үшбұрыштық матрица деп аталады:
nn n n
n
a a a
a а a
a а a
а
А
...
0 0 0
. . . . . .
...
0 0
...
0
...
3 33
2 23
22
1 13
12 11
(1.1.6)
Егер m=n ,болса, онда (1.1.5) матрицасы (1.1.6) түріндегі үшбұрыштық матрицаға келеді.
Егер аijajiболса, онда квадраттық матрица А симметриялық деп ата- лады, мұндағы аij,aji элементтері бас диагональға қарағанда симмет- риялы орналасқан. А=(аij) және В=(bij) (i= 1,m; j= 1,n) екі матрицаның өлшемдері m×n бірдей және олардың барлық сәйкес элементтері тең
ij
ij b
a болса, онда оларды тең матрицалар деп атайды.
1-мысал. Мына
9 8 7
6 5 4
3 2 1
А ,
8 5 4
5 3 1
4 1 1
В ,
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Е .
матрицалардың қайсысы диагональдық, симметриялық немесе бірлік матрица болып табылады.
Шешуі: D және Е матрицалары диагональдық матрицалар, сондай-ақ Е-матрицасы бірлік матрица. В- симметриялық, себебі бас диагональға қарағанда элементтері тең және симметриялы орналасқан.
Матрицаның барлық элементтері нөлге тең болса, нөл матрица неме- се нөлдік матрица деп аталады да, О символымен белгіленеді.
0 . . . 0 0
. . . . . . . ..
. .
0 . . . 0 0
0 . . . 0 0
А , A=0 (1.1.7)
2. Матрицаларға жүргізілетін амалдар және олардың қасиеттері
Өлшемдері бірдей болып келген А=(аij) және В=(bij) (i=1,m; j= 1,n) екі матрицаның қосындысы деп өлшемдері осындай m×n және де әрбір элементі қосылғыш матрицалардың сәйкес элементтерінің қосындысына, яғни сij aij bij тең болатын С= (cij) матрицаны айтады. Екі матрицаның қосындысын былай жазады:
С=А+В
А=(аij) (i= 1,m; j= 1,n) матрицамен нақты санының көбейтіндісі деп әрбір элементі А матрицасының сәйкес элементі мен санының көбейтіндісіне , яғни cij=аij (i= 1,m;j= 1,n) тең болатын С=(cij ) матрицаны айтады.
2-мысал. Мына
4 3
2
А 1
7 4
0
B 3
матрицалары берілген A+B, 3A, –5B и 3A–5B матрицаларын табыңдар.
Ш е ш у і :
1.
7 3
2 2 7
4 4
3
0 2 3
В 1
А
2.
12 9
6 3 4
* 3 3
* 3
2
* 3 1
*
3А 3
7 0 0
0 5 0
0 0 1 D
3.
20 35
0
5В 15
4.
11 47
6 18
35 12 20
9
0 6 15
5 3
3А В
Матрицаларды қосу, азайту және матрицаны санға көбейту амалдары сызықтық амалдар деп аталады.
Матрицаларға қолданатын сызықтық амалдардың келесі қасиеттері бар:
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)= (А+В)+С 3. А+(-А)=0
4. А+0=А (1.1.8) 5. (λ∙α)·A = λ (α·A)
6. (А+В)= А+В 7. 8. А*1=А
Кез келген екі элементтері үшін қосу және әрбір элементі үшін санға көбейту амалдары анықталып олардың сәйкес қасиеттері орындалатын әртүрлі n элементтер жиыны сызықтық кеңістік деп аталады.
Өлшемдері mхn болатын А= (aij) (i= 1,m; j= 1,n) матрицамен өлшемі (nхp) болатынB(bij) матрицасының көбейтіндісі деп өлшемдері (mхp) болатын С= (cij) (i = 1,m; j= 1,р) матрицаны айтады. Мұның әрбір cij
элементі А матрицаның і-інші жолымен В матрицаның j-інші бағанының сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең, яғни
cij= ai1 b1j+ ai2 b2j+…+ ain bnj (i= 1,m; j= 1,р) (1.1.9) А матрицаның В матрицаға көбейтіндісін былай жазады С=А*В.
(1.1.9) формуладан көріп отырғанымыздай, А матрицаны В матрицаға, тек А матрицаның бағандар саны В матрицаның жолдар санына тең болғанда ғана көбейтуге болады.
Дербес жағдайда квадрат екі матрицаның көбейтіндісі, тек осы матрицалардың реті бірдей болғанда ғана, бар болады.
Жалпы алғанда А*В көбейтіндісі бар болғанмен, В*А көбейтіндісі бар бола бермейді, олай болса, А*В=В*А теңдігі әруақытта орындала бермейді.
3-мысал.
6 9
7
5 4
9
3 1
2 5 ,
2 1
8 4
3 В
А
матрицаларының көбейтіндісін табыңдар?
Ш е ш у і . А матрицасының бағандар саны 3-ке, ал В матрицасының жолдарының саны да 3-ке тең. Бұл жағдайда С=А*В матрицасы 2 жол- дан 3 бағаннан тұрады, яғни
,
23 22 21
13 12
11
С С С
С С С С
Мұндағы cij элементін табу үшін (1.1.9) формуласын пайдалану ке- рек, мысалы С11 элементін табу үшін, А матрицасының 1-ші жолындағы элементтерді В матрицасының 1-ші бағанындағы сәйкес элементтеріне көбейтіп оларды өзара қосу керек, яғни
С11=3*2+4*9+8*7=98, Осы сияқты
С12=3*(-1)+4*4+8*9=85
С13=77, С21=55, С22=52, С23=43 Демек,
43 52 55
77 85 C 98
В матрицасының бағандар саны А матрицасының жолдар санына тең болмағандықтан В*А орындалмайды.
Осы сияқты тең өлшемді екі квадраттық матрицалар үшін де әрқашан АВ=ВА теңдігі орындала бермейді.
4-мысал.
0 1
1 , 0
2 0
0
1 В
А матрицалары берілген
АВ және ВА матрицаларын табу керек?
0 1
2 , 0
0 2
1
0 ВА
АВ
Демек, АВВА
А матрицасының жолдарын баған түрінде жазсақ, онда А матрица- сына қарағанда аударылған (тасымалданған) матрица АТ шығады:
mn n n n
m m Т
a a a a
a a a a
а а а а А
. . .
...
...
...
...
. . .
. . .
3 2 1
2 3 2 2 2 1 2
1 3 1 2 1 1 1
Кейде АТ матрицасын А1 әріпімен де белгілейді. Диагональдық және симметриялық матрицалар үшін А=АТ орындалады, сондай-ақ:
1. (А+В)Т= АТ+ВТ 2. (АВ)Т= ВТ*АТ
қасиеттері орындалады.
5-мысал.
Берілген
9 8 7
6 5 4
3 2 1
А матрицасының аударылған матрицасын АТ -ны табыңдар.
Шешуі: Анықтама бойынша әрбір бағанды сәйкес жолдармен ауы- стырамыз, яғни
9 6 3
8 5 2
7 4 1 АТ
6-мысал. Өндіріс орны екі түрлі зат шығару үшін үш түрлі шикізат пайдаланады. Матрицаның әрбір бағанындағы орналасқан элементтері өнімнің өндіріске қажетті шикізат көлемін анықтайды.
32 31
22 21
12 11
а а
а а
а а А
Мұндағы aij i –шикізаттың j –ші өнім шығаруға қажетті көлемі. Енді әрбір шикізат бағасын матрица түрінде жазалық В=(b1, b2, b3).
Сонда ВА матрицасының әрбір элементі өндірілген бұйымның өзіндік бағасын анықтайды
3 32 2 22 1 12
3 31 2 21 1 11
а b а b а b
а b а b а b ВА
3. Анықтауыштар
Екінші, үшінші,..., n- ші ретті квадраттық матрицаның анық- тауыштары сәйкес мына төмендегі сандар:
2 2 2 1
1 2 1 1
a a
a
a ,
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
,...,
n n n
n
n n
a a a
a a a
a a
a
...
...
...
....
...
...
2 1
2 2 2 2 1
1 1 2 1 1
Екінші ретті анықтауыш мына а11а22-а21а12, санға тең, яғни 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 2 1
1 2
1 1 a a a a
a a
a
a (1.1.10)
үшінші ретті анықтауыш мына
1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3
3 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 1
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
(1.1.11)
санға тең, яғни
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
Анықтауыштың элементтерін aij түрінде белгілейді, яғни i-жол мен j- ші бағанның қиылысында осы aij элементі орналасқан. (1.1.11) анықтауышының бас диагональындағы элементтері а11, а22, а33. (1.1.11) анықтауышының мәнін Саррюс әдісімен көрнекілік түрде жеңіл есептеуге болады:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
= –
немесе
Соңғы кесте берілген анықтауыштың оң жағына оның бірінші және екінші бағандарын өзгертпей тіркеп жазу арқылы алынған. Сонда анықтауыш бас диагональға параллель сызықтардағы үш элементтердің көбейтіндісін қосу таңбасымен, ал қосымша диагональға параллель түзулерде орналасқан үш элементтер көбейтіндісін алу таңбасымен жазу керектігін көрсетеді.
7-мысал. Анықтауыштарды есептеңдер:
4 3
2 1
, 7 8 9
6 5 4
3 2 1
Ш е ш у і :
2 2
* 3 4
* 4 1 3
2
1
0 2
* 9
* 4 8
* 6
* 1 7
* 5
* 3 8
* 4
* 3 7
* 6
* 2 9
* 5
* 1 9 8 7
6 5 4
3 2 1
n-ші ретті анықтауыштың aij элементінің миноры Мij деп осы элемент орналасқан i-ші жол мен j-ші бағанды сызып тастағанда қалған (n-1) –ші ретті анықтауышты айтады.
8-мысал. Мына
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
үшінші ретті анықтауыштың элементтерінің минорларын табыңдар.
Ш е ш у і :
3 3 3 2
2 3 2 2
1 1 a a
a
М a ,
3 3 3 1
2 3 2 1
1 2 a a
a
М a ,
3 2 3 1
2 2 2 1
1 3 a a
a
М a ,
….
aij элементінің алгебралық толықтауышы Аij мына
22 21
12 11
33 a a
a М a
33 32
13 12
21 a a
a
M a
j егер i M
j егер i M M
A
ij ij ij
j i
ij ,
) , 1
(
формуламен табылады. Жоғарыдағы мысалдан A11M11, A12M12,
13
13 M
A , A12M21, A22M22, A23M23, A31M31, A32M32, A33M33екенін көреміз.
Анықтауыштардың қасиеттерін қарастыралық:
10. Аударылған матрицаның анықтауышы өзгермейді. Бұл тұжырымды екінші ретті анықтауыш үшін дәлелдейік, яғни
2 2 2 1
1 2 1 1
а а
а
А а ,
22 12
21 11
а а
а АТ а
Матрицаларының анықтауыштары өзара тең екенін көру қиын емес:
АТ
А
20. Анықтауыштың екі жолын бір-бірімен алмастырғанда оның таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді
30. Егер анықтауыштың кез-келген жолының элементтерін 0 саны- на көбейтсек, онда анықтауыш осы санға көбейтіледі.
Шынында да,
22 21
12 11 12
21 22 11 22
21
12
11 ( )
а а
а а а
а а а а
а
а
а
40. Егер анықтауыштың екі жолы пропорционал болса, онда ол анықтауыш нөлге тең.
Шынында да, жолдары пропорционал болатын екінші ретті анықтауыш қарастырсақ, онда
0
*
* 12 12 11
11 12 11
12
11
а а а а
а а
а а
50. Анықтауыштың кез келген жолының элементтерін бір санға көбейтіп, басқа бір жолының сәйкес элементтеріне қоссақ, онда анықтауыш өзгермейді.
Егер анықтауыштың бір жолы нөлдерден тұратын болса, онда анықтауыш нөлге тең болады, сондай-ақ анықтауыштың екі жолы бірдей болса, ол нөлге тең болады.
Анықтауыштың қандай да бір жолының элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.
60. Егер n-ші ретті анықтауыштың і-ші жолының барлық элементтері aij= bij,+ cij,
екі қосылғыштың қосындысы түрінде берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең болады, бұлардың і-шіден өзге барлық жолдары берілген анықтауыштікіндей де, ал қосылғыштардың біріндегі і-ші жол bij элементтерден тұрады; екіншісінде – cij элементтерден тұрады.
жұп тақ
Екінші ретті анықтауыш үшін, бұл қасиет былай жазылады:
//
22 //
21 12 11 / / 21
12 11 //
//
22 22 / //
21 21 /
12 11
2 2
/ а а
а а а а
а а а а а
а
а
а
70. Лапласс теоремасы. Анықтауыштың кез-келген жолының элементтерінің өзіне сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтінділерінің қосындысы анықтауыштың мәніне тең:
in in i
i i
i A a A a A
a
1 1 2 2 ... (1.1.12)
(1.1.12) формуласын, кейде анықтауыштың элементтерін жол бойынша жіктеу немесе анықтауыштың ретін кеміту деп атайды.
80. Егер анықтауыштың кез-келген жолының элементтерін басқа бір жолдың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қоссақ, онда анықтауыш нөлге тең болады. Мысал үшін, n=2 болғанда:
а11А21+а12А22= –а11а12+а12а11=0
Ескерту 1. Жоғарыда анықтауыштардың барлық қасиеттері тек жол бойынша айтылды, бұл қасиеттер анықтауыштың бағандары бойыншада дұрыс болады.
Ескерту 2. Анықтауышты детерминант деп те атайды.
det A = ׀A׀ = ∆ 9-мысал. Анықтауыштарды есептеңдер.
0 7 3
2 4 1
3 0 1
А ,
0 1 1 0
2 0 3 1
5 1 1
0
4 3 2 1
В
А анықтауышын Саррюс ережесімен есептеуге болады. Біз оны 70 қасиетті пайдаланып есептейік, ол үшін анықтауышты бірінші жолдың элементтері бойынша жіктейік:
А=1A110A123A13M113M13
0 7
2 4
+
+33 7 4 1
= 14+3(7-12)= – 1
Саррюс ережесімен В анықтауышын есептеу мүмкін емес.
Сондықтан 70 қасиетті пайдаланамыз. Бірінші баған элементтері бойын- ша жіктелік:
0 1 1
5 1 1
4 3 2 0 1 1
2 0 3
5 1 1
* 0
* 1
* 0
*
1 11 21 31 41 11 31
А А А А М М
В
Бұл анықтауыштарды 3-ші жол бойынша жіктелік:
40 ) 6 19 ( 13 5 2
1 4 2 5 1
4 3
2 3
5 1 2 0
5
* 1 0
* 1
* 1
* 0
* 1
*
1 31 32 32 31 32 32
А А А А А А
В
Матрицалардың элементарлық түрлендірулері
Келесі түрлендірулерді матрицаны элементар түрлендіру деп атайды.
1. Екі жолды (бағанды ) алмастыру.
2. Кез-келген жолдың (бағанның) элементтерін 0 санына көбейту.
3. Бір жолдың (бағанның) элементтерін 0 санына көбейтіп, басқа жолға (бағанға) қосу.
4. Бірыңғай нөлдерден тұратын жолды (бағанды) сызып тастау 4. Кері матрица
Егер АВ=ВА=Е орындалса, онда В матрицасын А матрицасына кері матрица деп атайды. Кері матрицаны А-1 әріпімен белгілеу қабылданған.
Теорема. Егер квадраттық матрицаның анықтауышы нөлге тең бол- маса, онда кері матрицасы бар болады және ол біреу ғана болады.
Кері матрицаны мына
*
1 *A
A
A 1 (1.1.13)
формула арқылы табады.
Мұндағы
nn n
3 n 2 n 1
2 n 32
22 12
1 n 31
21 11
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A
А* матрицасын А матрицасына тіркелген деп атайды, Аij – алгебралық толықтауыш.
10-мысал. Берілген
4 2
1
1 3 2
3 2 1 A
матрицасына кері матрицаны табыңдар?
Ш е ш у і :
1
A , Аij-ды табамыз:
3 1 2
2 , 1
2 0 1
2 , 1
2 1 1
3 2
, 1 7 2
3 , 1
4 1 1
3 , 1
4 9 1
1 2
, 1 11 3
3 , 2
4 2 2
3 , 2
4 14 2
1 3
33 23
13
32 22
12
31 21
11
