PDF dspace.enu.kz

Труды Математического института РАН 1993, том 204

УДК 517.51

В.И.Буренков,М.Ш.Туякбаев

О мультипликаторах интеграла Фурье в весовых Lp-пространствах с экспоненциальным весом.П

Изложение различных аспектов теории Lp-мультипликаторов интеграла Фурье можно найти, например, в книгах [1-3]. В ряде работ изучались мультипликаторы в весовых Lp-пространствах со степенным весом или весом, в определенном смысле близком к степенному [4-7]. Соответствующие теоремы о мультипликаторах фор­

мулируются в духе известной теоремы Марцинкевича и ее вариантов. Целью насто­

ящей статьи является рассмотрение мультипликаторов в весовых L^v-пространствах с экспоненциальным весом. В этом случае теоремы о мультипликаторах имеют иной вид и формулируются в терминах некоторых вариантов классов Жевре. Краткое изложение части приводимых ниже результатов содержится в заметке авторов [8].

Всюду в дальнейшем 1 < р < оо, а р — положительная измеримая на 1п

функция. Через L^PiP(Rⁿ) обозначается пространство измеримых на 1^П функций / , для которых ||/|Up^{l P}(iR») ^:= ||/p||/,^p(îRⁿ) < оо.Через Ftp обозначается преобразо­

вание Фурье функции <р: если <р E Li(IP'ⁿ), то для любых { E I'" (Ftp)(Ç) :=

:= (27г)""^п/² Je~~^xx'£<p(z)dx] если <р E S', то преобразование F(p понимается в смысле теории обобщенных функций.

О п р е д е л е н и е 1. Пусть 1 < p < оо, р — положительная измеримая на Ш.^п функция. Говорят, что р, Е М^Р}Р(Ш^п) (т.е. р, является L^PiP-мультипликато­

ром интеграла Фурье), если p, E Loo(H&ⁿ) ^и существует такое с\ > 0, imo для любых (p Е С$°{Ш^п)

\\F^(pFtp)\\^Lp>p^ⁿ⁾ < dWrU^ny (1)

Нормой мультипликатора

||/*||л/

стоянная в этом неравенстве, т.е.

„ „ \ \ Р -1№ Ч > Ш9Л * ~ )

M л/р,р(к^п) : = s u p •

Мы будем пользоваться также следующим обозначением:

МР)Р {Жп) := {p Е МР ) Р(ЖП) : supp р компактен }.

© В.И. Буренков, М.Ш. Туякбаев, 1993

6 Труды МИАН, т. 204 81

Если p

= 1,

j-f

Сначала, мы приведем несколько общих свойств для непрерывных на 1 ^п весовых функций р (некоторые из них справедливы и для более общих весовых функций).

При этом нам понадобятся следующие два утверждения о плотности функций из СГ(Ш^п)вЬ^Р)Р(Ш^п).

Л е м м а 1. Пусть р — положительная непрерывная на Ж^п функция. Если 1 < р < оо, то множество С^(Ж^п) плотно в L^PiP(Rⁿ). Если р = оо, то С о ° ( Ж^п) неплотно в Loo^}P(Rⁿ), но для любой функции f £ £ о о , р ( Ж^п) существуют такие функции ipk £ Со°(Ж^п) ( i G N ) , что для почти всех х Е Ж^п ^ь(ж) ~* /0^е) ^и I k i r l U o c ^ R - ) - * H/IUco.pfR-) при к - > О О .

Первая часть этой леммы содержится в результатах работы [9], а вторая часть для p = 1 приведена в [10] (для общего случая рассуждения аналогичны).

Л е м м а 2 . Пусть р — положительная непрерывная па Ж^п функиия. Если 1 < р < оо, то множество функций вида pip, где <рь Е С о ° ( Ж^п) , плотно в Ь^р(Ж^п).

Если р = оо, то для любой функции / Е £ о о ( Ж^п) существуют такие функции <pk Е Е Со°(Ж^п), к £ N, что для почти всех х £ Ж^п p(x)<pk(x) —* f(x) и llmlUee(K") ll/IUoo(R-) ^пР^и ^ ос-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала 1 < р < оо. Для / £ Ь^р(Ж^п) и е > 0 выберем такую финитную функцию g £ 1 ,^р( Ж^п) , что | | / - д\\ь^р(Ш^п) < £ / 2 . Так как функция р непрерывна и положительна, то д/р £ Ь^р(Ш^п) и функции Ai/k(g/p) Е Е Со°(Ж^п), к £ II, где As — оператор усреднения с шагом 6 > 0. Далее

М

)-

⁰

при & -» оо (здесь 5 = ||p|Uoo(supp g))- Значит, существует такое к, что

М И " )

что и требовалось доказать.

Пусть теперь р = со и / E L o o ( ] Rn) . Рассмотрим какую-нибудь функцию 77 ^Е Е С£°(Ж") такую, что 0 < rj < 1, 77 = 1 при |а?| < 1, 77 = 0 при \х\ > 2 , и положим 77jb(z) = rj(x/k). Покажем, что существуют такие 6(к) (6(к) —• 0 при ib —> 0 0 ) , что

Действительно, согласно свойствам усреднений

(2)

Следовательно, при 0 < 6 < 1

Р Л , ( Щ < I I / I U - ( . . ) 1 M * ( ^ ) | | <

< 11/1|Ь«(А")(ll4*IU»(JB

»

j + ( ^ ) - ,„ .) <

<\\ги„(ж»)(1 +

Y

4 ' V II V P / P Hboo(*3*+iK

где Mjb = l|p||Leo(B²fc+i)i откуда и следует (2), поскольку в силу равномерной непре­

рывности функции rjk/p на Ж^п при 6 —• -fO

p / р

• Г

'

Положим = -4$(*)(^-), тогда Е С о ° ( Е^п) и для почти всех х Е 6 1 ^п р(х)<рк(х) —• / ( ж ) , так как для фиксированного шара Б при достаточно больших к (fk = на В и согласно лемме 1 (с р = 1) Aß(k)(^) —* £ почти всюду на В . Воспользовавшись теперь аналогом теоремы Фату для L o o ( Kn) (см., например, [11]) и неравенством (2), получим, что

l l / l k e o ( R » ) < l i m l l m | | L o e ( R " ) ^ . î ™ I l m l U a o O R » ) < l l / I U o o ( Bn) >

& —oo /с—»oo

откуда и следует, что lim ||р^||ьво(в») = l l / l l w » " ) -

Л е м м а 3. Пусть 1 < р < оо,р — положительная измеримая наШп функция.

Тогда

\\^-\\м^РА^^п) ⁼ Ш\м^РА^^п) = 1Н1м,,^р_(н»), (3) где р-(х) := р(~х), х Е Ж^п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся тем, что

( * V ) _ = F<P-> T^ = FJp_, ( T V ) - (4)

и аналогичными формулами для обратного'Преобразования Фурье.

Тогда

и

F-^l(jiF<p) = F-^Fip) = F - ¹ ^ - ) = Далее

/ * - A f , . p ( R » ) = SUP TT—Ii ⁼

83

sup

sup

| | ( f^t-¹( ^ - ) ) - p | U^>( R » )

< P € C ~ ( R » ) , vp^ÉO 1 1 ^ -P - I | LP( R » )

| | ( F - 4 M ^ ) ) P - I I M B - ) _

Аналогично доказывается второе из равенств (3).

Л е м м а 4. Пусть 1 < р < оо,р — положительная непрерывная н а функ­

ция, тогда

м^р>р(т^п) = м^р,^л/р_(ж^п), (5)

IHUWR") = IMUv,i/p„(R")- (⁶)

Д о к a з a т е л ь с т в о. Согласно свойствам преобразования Фурье для лю­

бых <р, ф £ C^°(lFln) (в частности, согласно равенству (4))

J(F'

(pF(p^dx = JfAFfpF'

^dx =

R » RÄ

j

J<pF(p{F1))J)dz = ^JF~

(iA-F1>)<pdz.

| Л / „ ,Р_ ( П » ) -

RN

Согласно лемме 1 и формуле двойственности для любой измеримой на Шп функ­

ции / при 1 < р < оо

I | / | | LP( R ~ ) = s u p ffg

dx

Поэтому, применяя неравенство Гельдера, получим, что

\\F-\»Fip)\\^LvA^) W,,p(R»)

sup

S UP II II

sup

/ F-^x(pF^dx

V 6 C - ( R - ) , tpjLQ ^ € C ~ ( R « ) , ^ 0 I I H U ,^{l P}( R » ) | | ^ | U , /^{f l / p}( R » )

tfgCffK*), t ^ ^ O VEC^R»),sup I I,P I | LP, P ( R - ) | | V ' | | LP/( 1 / P( R ~ )

/ ^_1( А * - Рф)<рах

I M I M R « )

| | ( F -L( ^ - ) ) P - I U , ( B . )

< sup ^ш — =

^ € С « ( К * ) , ^5É0 1 1 ^ | | Ь?.1 1 / р( В » )

= H ^ - l l A V^{f J}/ p ( R * ) = IWUf,i^{i l / p}_(R»)- Аналогично доказывается, что

I H I^AV . i / P - (^{Ä n}) - INU/,,p(R*)»

откуда и следует (6).

С л е д с т в и е . Если 1 < p < оо и р — четная положительная непрерывная па Ш^п функция, то

Мр,р(Жп) = Мр,л/р(Жп).

Пусть /л G Loo(Rⁿ). Определим оператор Т^р, задаваемый для функций <р G G С § ° ( Ж^П) равенством

7 > := F-\nF<p). (7) Если p £ Mpj P(Mn), 1 < p < оо, а р — положительная непрерывная на Жп функция,

то согласно лемме 1 этот оператор по непрерывности можно доопределить для лю­

бых (p £ LPtP(Mn). Соответствующий оператор мы будем обозначать по-прежнему через Tß. При этом

Il и \\гр и I I ^ I U^{F ( P}( R^Ä)

* € b p , p C * » ) I H P l k p . p f R » )

Ниже мы выразим | Н | Л /Р,Р( 1 К " ) как норму другого оператора, действующего уже из 1р(Жп) в Lp( En) .

Л е м м а 5. Пусть р, £ £ о о ( Ж^п) г* обратное преобразование Фурье F~^l[A, по­

нимаемое в смысле теории обобщенных функций из пространства 5^;, является регулярной обобщенной функцией (F~^lp £ Lj0 0 ( R " ) ) . Пусть далее 1 < р < оо и р — положительная непрерывная па Ж^п функция. Тогда

IMU/p.pfR») = ! l ^ i , p | | L^p( B - H L^p( R - ) , где для любых <р £ Ь^р(Ж^п)

(Т^^р(р)(х) =

Jtp

(x,

RN

85

в предположении, что \\TßiP\\Lp^n)-*Lp{nn) < °°- В частности,

IHIwi.,(H-) = ( 2 т Г^{/ 2}

(F-^lß)(z)p(z + у)

Р(У) boo,^s(Kⁿ) (8)

ll„ll Гр ^ ч » / а | Г (Г-'^ШУ)

1М1м..,(н«) = (2т) I — _ (9)

З а м е ч а н и е 1. Равенства (8) и (9) являются обобщением на весовой случай известных соотношений

1М1л/,(н-) = I H U M B » ) = ( 2 X ) " /²| | F - V | U^{I (}K . (см., например, [1,2]).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть \\Т^^1Р\\1^р^п^^Ьр^п^ < оо. Тогда при 1 <

< р < оо

I /* Д / , . р ( « - ) = SUP м—и =

= s u p

I M U^F( R -

sup

¥>€С~(Н»),¥»ЗЕ0

JtfiA^x>y№(y) ^dy sup

t ^ L ^ R » ) , ^

L , ( R » )

I I ^ I I ^ R » ) - * ! ^ » " ) » I M I M R " )

так как согласно лемме 2 множество функций вида pç?, где <р Е Со°(Мп), плотно в Zp(Mⁿ), | | 0 | | LP( R » ) И выражение

Rn

непрерывно зависят о т

L „ ( R » )

^ (последнее следует из ограниченности оператора T^ßiP).

При р = 1, воспользовавшись явным выражением для нормы интегрального опе­

ратора, получим, что

I H U /L F P( R » ) = I ITM , J X 4 ( R » ) - L , ( R » ) = II ||*м,р(^ж' y)IU^{l i a s}(B-)|U^{0 0},^v(IR-) = (2тг)^п/²

= ( 2 т г )п / 2

( F - V ) ( « - y ) p ( » )

Р(У)

(F-^lp)(z)p(z + y)

Р(У)

£ i^f* ( R^Ä)

b i , , ( R^Ä)

£oo,y(Rn)

Ь о о ,У( НЛ)

Пусть теперь р = оо. Воспользовавшись леммой 4 и равенством (8), получим равенство (9):

IMUooiP(R») = IMlMlfl/p_(]R-) =

= (M

(F-V)Wp(-y)

p ( - * - ^У) (F-ip)(z)p(y)

bi

.(H»)

Ьоо,^У(Н^Я)

p(y - *)

Кроме того, принимая во внимание явное выражение для нормы интегрального опе­

ратора, действующего из jLoo(Rⁿ) в 1,оо(К.^п), получим, что

11^г/*,Р11^В*Ь£~(»^л) = II IIWlUi.^R^IUoo.-CR*) =

= (2*) ^n/2

(F-V)(*-v)p(*)

= ( 2 т г )Л/2

Р ( У )

(F-V)Wp(y)

I a , v ( B ~ ) ^eo^f.(R»)

boo,y(Rn) p(y - *)

Таким образом, мы можем утверждать, что и при р = оо 1Ы1лГор,р(вп) = 11^,р1иоо(в^лЬь^{т е}(в-).

С л е д с т в и е . i? предположениях леммы 5

(2*)»/

||F-VlU

,._(H.)

ЦДЦМ^Н-), 1 И|М„„(В») <

p*(x) := sup

v e R * Р(у)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Правые неравенства следуют непосредственно из формул (8) и (9). Левые неравенства следуют из (8), (9) и того, что

р+ (х) : = inf ⁼ ( ^{S U P} ^ Ц ) ^{_ 1} = уем» р(у) Ч е й - Р О + у )

/ р ( и - z ) \ -¹ 1 _ 1

Л е м м а 6. Пусть 1 < р < оо, ар — четная положительная непрерывная на Rn функция. Тогда

M^PtP(Rⁿ) с М²( 1 Г ) = L „ ( R " ) , ( i l ) IWb-(B-) < 1Н1м,„(в-). (12)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя к оператору Т^м, определяемому равен­

ством (7) для <р E Co°(Rⁿ) и доопределенному до непрерывности для любых <р Е

Е

£

(R

),

4, получим, что

INUoeCR») =

INk

(R») =

= (llA*l|Af^{F i #}(R»)||/*||j#^F,^{( 1 /}^(R*))^{l / 3} =

1И |М„,

(К»).

З а м е ч а н и е 2. При р = 1 это утверждение установлено в работе Л.Хер- мандера [12]. Лемма 6 показывает, что предположение в определении 1 о том, что P £ £oo(Rⁿ), является естественным.

В дальнейшем нас будет интересовать в первую очередь случай, когда для лю­

бых х E

R

где ^6j > 0, —оо < Aj < оо.

Отметим, что при 0 < €j < 1 (j = 1 , . . . , n)

Р+(^Х) _ ^Е\А¹\\х¹\Ч+...+\А*\\х*\^в" ^в

Для доказательства достаточно рассмотреть одномерный случай: р(х) = e^AW.

Если А > 0, то, учитывая, что при 0 < e < 1 \х + у\^£ < \х\^е |z/|^e, а с другой стороны, полагая у = 0, получим, что

H H * < ^{S U} p * _ L < ^e A W * .

Если А < О, то, выполняя замену переменных г = ж 4- у, получим, что

е ^{A , r |} < sup — = sup —п ^{г -} = sup — — < ^{е А т} ,

~^{y €}S е^лМ' ,еье^л\-'\^в жен e~^AW ~ откуда и следует (14).

Если же какое-либо 6j > 1, то для любых a; E Rⁿ p*(s) = оо.

Мы обозначим через N Q пространство мультииндексов а = ( a i , . . . , а^п) — век­

торов с целочисленными неотрицательными координатами и будем пользоваться

1 Согласно этой теореме при 1 < poi Р ъ Р2 < ooi 0 < a < 1

imi

H.) ^ ii

iit,

..

(H-)imiî;%

.

.

где ~ = ^ - -f шо = ^w\^w\ ~^a {^woi , u>2 — положительные измеримые на К." функции, см., например, [ 2 ] ) .

стандартными мультиобозначениями: |а| = a i + . -f an; a +ß = (ai + / 9 i , . . . , an -f +ßn)> если r — число, то a + г = (ai + r i , . . . , aⁿ + rⁿ) ; a! = a i ! . . . aⁿ! , a^{7 0 t} =

= « 7^{i e i}. . . a J »^a- (7i G R ) и т.д.

Приводимые ниже леммы 7 и 8 можно считать известными. Для полноты изло­

жения мы приведем их доказательство.

Для 1 < р < оо, / G N обозначим через V^(R") пространство всех обобщен­

ных функций / E S ' ( Rn) , для которых преобразование Фурье является регулярной обобщенной функцией и

\а\Ы

Хорошо известно, что при р = 2 пространство V^(Rⁿ) совпадает с пространствами Соболева H ^ ( Rⁿ) измеримых на Rⁿ функций, для которых

* l l / l k i ( R . ) : = H / | | L^F( R . )

+ E

(производные обобщенные; см., например, [13]).

Л е м м а 7. -Если 1 < p < оо и I > п/р' (или p = 1 и I > 0), то любая функция / E Vp'(Rⁿ) эквивалентна непрерывной функции, причем

| | / | | ь « с я - )

£

З а м е ч а н и е 3. При р = 2 эта теорема вложения пространств VJ,'(Rⁿ) в про­

странство непрерывных функций совпадает с соответствующей теоремой вложения для пространств Соболева.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно неравенству Гельдера l!*7lk(»-) = + N T ' a + 1 * Г ) ^ Л и¹( н -⁾ <

< 11(1 + MT'llva^IKi + М')*711л,<»-) <

< А Ff

<

< A ( | | F / | |^L,^(B.^{) +} £ I I ^ / I I M H » ) ) = AMW;W

V I « I = J 7

где Л зависит только от п,р и /. Отсюда следует неравенство (15), так как х_(ц.) = WF-'FfU^ < ( 2 ^ ) - " /2| | F / | |i l ( K„) <

< ( 2 т ) -^п/^а^ | | / | |^у.^{( н}. ) . (16)

То, что функция / эквивалентна непрерывной функции, доказывается с помо­

щью предельного перехода. Положим для к £ N Д = F~^lAij^Ff, где As — оператор усреднения с бесконечно, дифференцируемым финитным ядром. Так как Ff£ Z i ( Rⁿ) , то согласно свойствам усреднений и преобразований Фурье функции Д непрерывны на R". Далее согласно (16)

||Л - / m | | L . ( n - ) < ( 2 7 r ) - " /²| | A^{1 / t}F / - A^{1 / r a}f / | |^{L l ( H}- ) - О

при к, m —» оо, т.е. последовательность Д сходится равномерно к непрерывной функции 0, которая эквивалентна / , так как согласно свойствам усреднений и пре­

образований Фурье для почти всех х £ Rn Д ( х ) —• / ( я ) .

Л е м м а 8. Пусть 1 < p < оо, f £ S/( Rn) , преобразование Фурье Ff являет- ся регулярной обобщенной функцией и для любого а £ N Q

\\xaFf\\Lp(nn) < оо.

Тогда функция f эквивалентна функции g £ C°°(Rⁿ) такой, что для любого а £

€ К НГ^Нь.с*-) < оо.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 7 для любого а £ N Q ll^/IU.OR») <

ca||£^/||

;(B-)

где / > п/р\ откуда и следует искомое утверждение.

Л е м м а 9. Пусть 1 < p < оо t* функция р определяется равенством (13), причем все Aj ф 0 и имеют один и тот же знак. Тогда всякий мультипликатор р, из пространства M^{P j P}( R ) эквивалентен функции Д € C ° ° ( R ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала все Aj > 0. Так как Va 6 N Q суще­

ствует такое В^а, что для любых х £ R " \х^а\ < В^ар(х), то из (13) следует, что для любых у 6 Cg°(R ) и для любых а £ Nr»

I I X ^ F - H M ^ J H I I M K - ) < ° ° -

Поскольку pF(p £ Li(Rⁿ), то согласно лемме 8 функция р эквивалентна такой функ­

ции /2, что ßF<p £ C°°(Rⁿ). Значит, в силу произвольности функции (p £ Co°(Rⁿ) получим, что ß £ C°°(Rⁿ).

Если все Aj < 0, то достаточно учесть, что согласно лемме 4 MP j P( Rn) =

= M^P, ,^{1 / P}_ ( R^N) .

С л е д с т в и е . В предположениях леммы 9 всякий мультипликатор р £

£ М^Р1р(Ж^п) эквивалентен функции /2 6 C⁰°°(R").

Для формулирования результатов о мультипликаторах нам понадобятся следу­

ющие варианты классов Жевре.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть у

= (71,...,

l i^D> l l^{i o o (}R " ) ^

4

«

.

О п р е д е л е н и е

3.

= (71,.. .,7п)

I I ^ I I J ^ R " ) < с{^а[+1а^. (18)

Так как при 1 < р < со Af^p(Rⁿ) ^С M 2 ( Rⁿ) ⁼ L o o ( Rⁿ) (см., например, [1,2]), то J^{7 ; 2}( Rⁿ) = J⁷( Rⁿ)

и при 1 < р < оо

J^{7 ; p}( Rⁿ) с J⁷( Rⁿ) Введем следующее обозначение:

J⁷;p (Rⁿ) := {p E J^{7 î p}( Rⁿ) : supp p компактен }.

Л е м м а 10. При 1 < p < 00, 7 > 0

}^{7 ; p} (Rⁿ) = }⁷ (Rⁿ).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно установить, что J⁷ (Rⁿ) C J^{7 ; p} (Rⁿ).

Пусть p E J⁷ (Rⁿ) и supp p £ B^r = {x E Ш^п : \x\ < r}. При 1 < p < со согласно теореме Марцинкевича о мультипликаторах для некоторого К\, зависящего только от р и n (ниже f := т а х { 1 , г}, сз = т а х { 1 , сз})

И^Им (Ж") $

P

P l*^

V(*)l <

; o</9<i «ев»

< A"ifⁿ sup sup \D^a+ßy.(x)\ <

0<ß<l z€B^r

< ЛГ¹г"с^⁺"^{| + 1}(а +

ßy("+V < ^if

^-»4

+ lysl**

) <

J'=I

где А'г зависит только от p,n,j,r и сз, что и требовалось.

91

При p = 1 и p = оо воспользуемся следующими оценками для преобра­

зования Фурье производной Бац. Поскольку для любых ß e N£ (FDap)(Ç) =

= (iO-'^+fyXO (ПРИ ^ # 0), то

\(FD"v№\ < ( 2 * ) - 'а| Г ' | J \Da+^\dx<

\*\<r

< ( 2 ^)-»/Чг" | Г ^ | | | £

V l U » ( B - ) <

< (2*)-

/

в„г

4

(«+д)

1г

|, (i9)

где «„ — объем единичного тг-мерного шара. Отсюда следует, что существует такое Kz(ß), зависящее от ß,n,j,r и сз, что

\(FDap,)(0\ < ( * з ( / 3 ) )| в | + 1«7 в1 Г/' | . (20) Пусть v — мультииндекс, координаты которого принимают значения 0 или 1, а

S„ = {х £ Жп : \XJ\ < 1, если Vj = 0, \XJ\ > 1, если i/j = 1}. Для каждого из множеств S'у мы будем пользоваться оценкой (19) со своим /? = 2и. Тогда

\\D^a»\\^Ml(*-) = =

(2x )»/

||f D^|U

H-) =

= (2ж)"/2 £

11^

м1к(М

№(2v))l«l+

^||r

"||L

(s,)

где J^4 зависит только от п,7,г и сз (мы учли, что ||£"""^21/||х,1(5.,) < сю), что и требо­

валось доказать.

З а м е ч а н и е 4. Если 7 < 1, то функции из класса J⁷( Rⁿ) являются анали- тическими, поэтому классы J7 (R ) при 7 < 1 тривиальны — они состоят из одной тождественно равной нулю функции. Если 7 > 1, то классы J7 (R ) нетривиаль­

ны. Обозначим через Qa открытый куб с центром в начале координат и ребром длины 2а. Примером ненулевой функции из класса /⁷ ( R ) может служить функ­

ция ц(х) = exp ^ - £ i = i( l* i - I P ^ + \*s + 1 Г ^ ) ^ на Q^x и fi(x) = 0 вне Q^x (см. [14]). Положим и(х) = Кц(х)> где К выбрано так, чтобы fudx=z 1, и для

в»

S > 0 и⁶(х) = £ w ( f ) . Если / 6 £ i( Rⁿ) , ^то MS 6 J⁷( Rⁿ) для любого 6 > 0, где

— оператор усреднения с ядром ш (AsS = о>а * S)- Если, кроме этого, функция / финитна, то функция AsS € J⁷ (R"). Если х — характеристическая функция куба

Q3/2

Нам понадобится также более тонкая классификация типа классов Жевре. Пусть Я = ( £ ! , . . . , £ „ ) , где В , - > 0 .

О п р е д е л е н и е

4.

7

в(К

), 7 = (71,... ,7

),

7/ >

> 0, если p G C ° ° ( Rⁿ) и существует такое С 5 > 0, что для любых a G

О п р е д е л е н и е 5. Пусть 1 < р < оо. Будем говорить, что p G

€ J^{7 )}B ; p ( Rⁿ) , если /л G C ° ° ( Rⁿ) и существует такое ев > 0, ч т о для- любых a G N Q

Отметим, что

(J ^J

^,B(R")

U =

B>Ö B>0

В следующей лемме мы приведем пример такой функции /i G J7 >ß ( Rn) , что /iGJ^ ^ ( Rⁿ) ни для каких 7 < 7 и при 7 = 7 ни для каких В < В.

Л е м м а 11. Для 7 > О, В > 0 положим

где А = Существуют такие cj, eg > 0, зависящие только от у и В, что для любых a G NjJ

c⁷B^a<S^a < | | D V | |ioo(H) < с⁸> «^{7 а}, (23) Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как

оо

( £ > » (£ ) = ( 2 Я - ) "1/2

J(-ix^e-^lel*-^-^*'*

— ОО

Т О

оо

IPVIU^B) <

j

=:

о

С другой стороны, при четных a ||J9^e/*|Uoo№) -

K^fOC

)!

нечетных а (Dû/i)(0) = 0). Таким образом, при четных а I P V I U „ (^R) = ( 2 / * )^{1 / 2}J . Далее

оо

J-{x = А^у*) = ⁷А -¹/²- т^{г а} J jfy-Wt-» dy = lA-W-TTii* + 1/2).

о

Так как согласно формуле Стирлинга

e-

/

V^Q)

V

где B i , В² > 0 — некоторые постоянные. Отсюда следует искомое двустороннее неравенство (23) при четных a, a также правое из неравенств (23) при нечетных а.

Оценка снизу для нечетных а следует из неравенства Колмогорова [14], согласно которому при нечетных а > 3

Iia-Vllw» * f IHll%)IPVIIwB

)>

или

IPVIIw») > ( f )

H ^ - V l l g ( H ) I H u â ) -

Следовательно, согласно неравенству (23) для D^a~^xp

IP'VIk.W

1Гс

"^

З а м е ч а н и е 5. Для дальнейшего существенно, что для указанных функций р при любых 1 < р < оо

Как и выше, положим

Jy>B;p

(R

) :=

}^{7 i B ; p} ( Rⁿ) = j^7)B ( Rⁿ) . Доказательство аналогично доказательству леммы 10.

Принадлежность функции р к пространству мультипликаторов M^P)P(Rⁿ). удобно описывать в терминах введенных вариантов классов Жевре. В приводимой н и ж е теореме устанавливается, при каких предположениях относительно параметров э т и классы вкладываются в пространство

M

(R

).

Т е о р е м а 1. Пусть 1 < р < оо, функция р имеет вид (13), причем 0 < £j <

< 1, Aj ф 0, j = 1 , . . . , п , все Aj имеют один и тот же знак; 7у > 0, Bj >

> 0 , j = 1 , . . . , п . 1. Для- т о г о чтобы

J^{7 ; p}( Rⁿ) с M^{P i / )}( Rⁿ) , (24)

необходимо и достаточно, чтобы

0 < 7 / < l/€j, j = l, . . . , n .

2. Для того чтобы

J-y,B-ARn) С Mp<p(Rn), (25)

необходимо и достаточно, чтобы для любого j — 1 , . . . , п или О < 7j < Я , > О,

или

7 j = l/ej, 0<Bj KQAjleje)-¹'^.

З а м е ч а н и е 6. Достаточность сформулированного утверждения справед­

лива в предположении, что 0 < £/ < 1, j = 1,..., n

Доказательство теоремы 1 основывается на ряде приводимых ниже лемм.

Л е м м а 13. Пусть 1 < р < оо и для измеримой на Rⁿ функции р существуют такие eg, сю > 0 и для любых a E N " такие а^а > 0, что для любых х Е Ш^п

с⁹(

2

с9 sup |ааа?а| < р(ж) < сю sup | аажа| , (27) причем последовательность чисел Ь^а := а^аа\ удовлетворяет условию: для любых

аеК

а^а := sup ^b-ï±2- < оо. (28)

Тогда для любых у. £ С°°(Е ) и любых 6 > 1

1/р

с" ( £ ( < * + 1 ) ^ ^{1 }}( ^ J 1 , (29)

2 —I nip' -г-лСЮ ï —Л где С Ц := с9 cÏOs6,y , := 2 ^ * = 1 * •

З а м е ч а н и е 7. При р = 1 (29) принимает вид

I N I M1IP(B ~ ) < сц £ ^ I Pa/ i | | ML(] R » ) , (30)

где сц := с9"1сю(27г)п/2, а при р = оо неравенство (25) понимается следующим образом:

Моо.рСН») < сц sup (a + l)⁶^\\D^ap\\^Moû(iA"), (³¹)

где с ц := с9 {cu)S%.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала 1 < р < оо. Положим гп^а

:= \\Daр\\мр^пу Согласно неравенству (26), свойствам преобразования Фурье определению нормы || • | | Л / „ ( Й^п) получим, что для любых tp £ Co°(Wⁿ)

J := \\F- W l l i , „ ( . . > = V V M £ ^{F (} » . ) <

P

= ^ o E < E

cs^^-v^))

agMJ 0 < J S < Q

<

i , ( F « )

< ^ E < ( E C t m ^ | | x ^ | k ( « » ) )^P-

Ä 6 H J 40 < / ? < a

В силу неравенства Гельдера

( ] £ Са^а-/?11^Икр(Ия)) ^

< ( Е

(*-0+ir'Y

так как

< E !)-'< I>+ir'=(£*-') =

Таким образом,

; < 4 ^{( Р} ~ Ч , / ( Е < Е ( ^ п в - ^ + 1 )^{, 0 ,}-^|Ч - / , 1 *^/' 1 ' ) | * ' Г л =

4

леи- o</?<e '

= ^^{( Р}"¹Ч > / ( Е

( Е ^ ^ ^ ^ - ^ + ^ ^ - ' Ч - Л ^ О м ^ ^

= ^^{( p}"^{1 )}c^{p ü} / ( E ( Е ^ ( T + I / Ö ' - M ^ I ^ I O M ' Ä .

Согласно (28)

следовательно,

'

4E(Î

)

"

(

?)7(S ^И'Уг*-

7 6 H J 4 « К ? 7

Таким образом, в силу (26)

i i ^ - V i ^ i i w B " ) < - î ^ w f

Е ( 7 + i )

-

( ^ ?

)

)

i M i w * " ) .

Ч е й » /

откуда и следует неравенство (29).

При р = оо, следуя той же схеме рассуждений, что и при р < оо, получим, что

II*" V^Vllw**)

a € R J

a G Hô Q<ß<a

< s " c i o s u p aa s u p (a-ß+l)sC%mQ-ß\\xß<p\\LtBn\<

< s £ c i o s u p ( s u p a7 + /j ( 7 + l)ÄC,T 4 - / ?M7 ) l l ^ ^ l l / . o o ( ^ ) <

< s £ c1 ( J s u p ( 7 + 1 ) * ^ т П Ь S UP aß\\xß(p\\boo(lRn) <

< * J c1 0C g 1 s u p ( 7 + l^ ^ ^ l l H l w H - ) -

З а м е ч а н и е 8. В случае p = 1 неравенство (30) можно получить также из неравенства (10). Действительно,

/ к * + » ) < с

Е м * + » )

1 < * ю Е E ^ i f ^ V i v i ^

<

>«Е S ^ И - 1 У ' 1 = СО E ii^Ki2/

i =

7 Труды МИАН, г. 204