S M >
П. П. АНДРЕЕВ, Э. 3. ШУВАЛОВА Д г"
ГЕОМЕТРИЯ
Под редакцией Э. 3. ШУВАЛОВОЙ
И З Д А Н И Е ТРЕТ ЬЕ , И С П Р А В Л Е Н Н О Е
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника
для средних специальных учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
513 А 65
УДК 513 + 514(0,75.3)
2-V I да-66
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие к третьему и з д а н и ю ... ?
Предисловие к первому изданию ... 7
ПЛАНИМЕТРИЯ Г л а в а п е р в а я . Геом етрические п р ео б р азо ван и я . . . . 9
§ 1. Преобразование п л о с к о с т и ... 9
§ 2. Параллельный п е р е н о с ... 9
§ 3. Свойства параллельного переноса ... 11
§ 4. Осевая си м м е т р и я ... 14
§ 5. Свойства осевой с и м м е т р и и ... 16
§
6
. Центральная с и м м е т р и я ... 19§ 7. Свойства центральной с и м м е т р и и ... 21
§
8
. Определение геометрического преобразования пло скости 23§ 9. В р а щ е н и е ... 24
§ 10. Вращение — геометрическое преобразование . . . . 26
§ 11. Свойства в р а щ е н и я ... 27
§ 12. З а д а ч и ... 28
§ 13. Гомотетия I р о д а ... 29
§ 14. Гомотетия 1 рода — геометрическое преобразование . 30 § 15. Свойства гомотетии I р о д а ... 31
§ 16. П ан тограф ... 34
§ 17. Задачи ... 35
§ 18. Гомотетия II р о д а ... 37
§ 19. Свойства гомотетии II р о д а ... 38
Задачи к первой г л а в е ... 40
Г л а в а в т о р а я . Решение прям оугольны х треугол ьн и ков 42 § 20. Соотношения между основными элементами в прямо угольном треугольнике 42 § 21. Решение прямоугольных треугольников ... 43
§ 22. Другие типы задач на решение прямоугольных тре угольников 47 Задачи ко второй г л а в е ... ... 50
Г л а в а т р е т ь я . К осоугольны е т р е у г о л ь н и к и ... 51
§ 23. Теорема синусов и формула т а н ге н с о в ... 51
§ 24. Формула к о с и н у с о в ... 53
§ 25. Выражение тангенса половинного угла через стороны треугольника и радиус вписанного круга ... 55
§ 26. Площади треугольника, параллелограмма, произволь
ного четы рехугольника... 57
§ 27. Определение радиусов описанного и вписанного к р у го в ... . 60
§ 28. Формула Г е р о н а ... 62
§ 29. Сводка формул для косоугольного треугольника . . 63
§ 30. Основные случаи решения косоугольных треуголь
ников ... 64
§ 31. Решение треугольника но трем сторонам ... 64
§ 32. Решение треугольника по двум сторонам и углу, за
ключенному между н и м и ... 67
§ 33. Решение треугольника по стороне и двум прилежа
щим углам ... 70
§ 34. Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из н и х ... 71
§ 35. Некоторые другие типы задач на решение косо
угольных треугольников ... 73
§ 36. Применение тригонометрии к измерениям на мест
ности ... 76
§ 37. Применение тригонометрии к решению задач плани
метрии и ф изики... 78 Задачи к третьей главе ... 85
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Г л а в а ч е т в е р т а я . Прямые и п л о с к о с т и ... . . 87
§ 38. Предварительные з а м е ч а н и я ... 87
§ 39. Основные свойства плоскости. А к с и о м ы ...
88
§ 40. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 89
§ 41. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . 90
§ 42. Перпендикуляр к п л о с к о с т и ... 90
§ 43. Наклонная и проекция наклонной на плоскость . . . 92
§ 44. Теорема о трех перпендикулярах... .... 94
§ 45. Угол- между прямой и п л о с к о с т ь ю ... 97
§ 46. Теорема о плоскости, перпендикулярной к одной из параллельных п р ям ы х ... 98
§ 47. Два признака параллельности прямой и плоскости . 99
§ 48. Теорема о плоскости, проходящей через прямую, параллельную другой плоскости ...
100
§ 49. Теорема о двух прямых, параллельных третьей . . .
101
§ 50. Два признака параллельности п лоскостей... 102
§ 51. Теорема о двух плоскостях, пересеченных третьей . 103
§ 52. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных п л о с к о с т е й ... 103
§ 53. Отрезки параллельных, заключенные между парал
лельными п лоск остям и ...104
§ 54. Углы с параллельными с т о р о н а м и ...104
§ 55. Расстояние между скрещивающимися прямыми . . . 105 Задачи к четвертой главе ... 107 4
Г л а в а п я т а я . Д в у гр ан н ы е углы , п ер п е н д и к у л яр н ы е
плоскости, и м ногогранны е у г л ы ...
110
§ 56. О пределения...110
§ 57. Равенство двугранных у г л о в ... 111
§ 58. Прямой двугранный угол ...112
§ 59. Измерение двугранного у г л а ...113
§ 60. Признак перпендикулярности п л о с к о с т е й ...И З § 61. Прямая, лежащая в одной из взаимно перпендику лярных п лоск о стей ... 114
§ 62. Т е о р е м а ... 114
§ 63. Определение п р оекц и и... 116
§ 64. Площадь проекции плоского многоугольника . . . . 117
§ 65. Трехгранный у г о л ... 120
§
66
. Многогранный у г о л ... 122Задачи к пятой г л а в е ... 124
Г л а в а ш е с т а я . М ногогранники и круглы е тела . . . . 127
§ 67. Понятие о м н о г о г р а н н и к е ...127
§
68
. Призма . . . - ... 127§ 69. П ар а л л е л еп и п ед ... 129
§ 70. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда 130 § 71. П и р а м и д а ...131
§ 72. Свойства сечений пирамиды плоскостью, параллель ной основанию ... 134
§ 73. Понятие о правильных многогранниках...137
§ 74. Цилиндрическая поверхность... 139
§ 75. Прямой круговой ц и л и н д р ... 13:)
§ 76. Коническая п о в е р х н о с т ь ... 141
§ 77. Прямой круговой к о н у с ... 141
§ 78. Усеченный к о н у с ... 143
Задачи к шестой г л а в е ... 144
Г л а в а с е д ь м а я . П оверхности м н о гогран н и к ов и к р у г лы х т е л ... 146
§ 79. Поверхность при зм ы ... 145
§ 80. Поверхность полной и усеченной п и р а м и д ... 148
§ 81. Боковая и полная поверхности цилиндра ... 150
§ 82. Развертка ц и л и н д р а ... 151
§ 83. Боковая и полная поверхности конуса ... 151
§ 84. Развертка к о н у с а ... 152
§ 85. Боковая и полная поверхности усеченного конуса . . 153
§
86
. Развертка усеченного конуса . ... 155Задачи к седьмой г л а в е ... 157
Г л а в а в о с ь м а я . О бъемы м н огогранников и кр у гл ы х т е л ...160
§ 87. Основные допущения об о б ъ е м а х ...160
§
88
. Объем прямоугольного п арал лелеп и п ед а...160§ 89. Принцип К а в а л ь е р и ... 163
§ 91. Равновеликость пирамид, имеющих равновеликие
основания и равные высоты ... 167
§ 92. Объем пирам иды ...168
§ 93. Объем усеченной п и р а м и д ы ... 169
§ 94. Объем цилиндра... . • ...172
§ 95. Объем к о н у с а ...173
§ 96. Объем усеченного к о н у с а ... 174
Задачи к восьмой г л а в е ... 175
Г л а в а д е в я т а я . Ш а р ... 181
§ 97. О п р е д е л е н и е ... 181
§ 98. Сечение сферы п л о ск о ст ь ю ... 181
§ 99. Касательная п л о с к о с т ь ... .... 182
§ 100. Понятие о сферическом треугольнике ... ... 183
§ 101. Лемма о поверхности тела в р а щ е н и я ... 185
§ 102. Поверхность шара, шарового сегмента и шарового с л о я ...186
§ 103. Объем шара, шарового сегмента и шарового сектора 189 Задачи к девятой главе ... 194
Г л а в а д е с я т а я . Применение тригоном етрии к реше нию за д а ч с т е р е о м е т р и и ... 197
§ 104. Многогранники и круглые т е л а ...197
§ 105. Поверхность и объем при зм ы ...202
§ 106. Поверхность и объем пирам иды ...206
§ 107. Поверхности и объемы круглых т е л ... 213
Задачи к десятой главе ... 220
О т в е т ы ... 224
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третье издание внесены некоторые дополнения и изме
нения. В главах II и III добавлены способы решения тре
угольников с помощью логарифмических таблиц.
В конце некоторых параграфов глав IV—VIII приведены примеры, иллюстрирующие приложения доказанных теорем к решению задач по стереометрии.
Несколько изменено решение задачи 1 (§ 104) и 3 (§ 107) в главе X.
Значительное число чертежей было пересмотрено для приведения их по возможности в соответствие с требова
ниями ГОСТ.
Некоторые из этих изменений и дополнений были ини
циированы замечаниями преподавателей математики и черче
ния ряда техникумов, полученными мною. Всем им выражаю глубокую признательность.
Благодарю также Р. С. Гутера за ряд полезных замеча
ний и А. В. Мальцева за помощь в работе по пересмотру чертежей.
Э. Ш у в а л о в а ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий учебник составлен в соответствии с програм
мой по математике для средних технических учебных заве
дений, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г., и отражает внесенные в нее изменения.
За основу взят учебник по геометрии П. П. Андреева, в котором первые пять глав, посвященные планиметрии, заме
нены разделом «Геометрические преобразования плоскости».
Этот раздел содержит описание следующих геометрических преобразований плоскости: параллельный перенос, осевая и центральная симметрия, вращение, гомотетия I рода, гомо
тетия II рода.
Поскольку по новой программе курс тригонометрии отдельно не читается, то в данный учебник включены новые главы, в которых излагаются решения прямоугольных и косо
угольных треугольников (главы вторая и третья) и прило
жение тригонометрии к решениям задач стереометрии (глава десятая). Остальные вопросы тригонометрии не внесены в учебник, чтобы избежать дублирования соответствующего материала, излагаемого в курсе алгебры.
Раздел стереометрии, входивший в учебник П. П. Андреева, подвергнут незначительной переработке,— к сожалению, без участия автора, недавно скончавшегося.
Изменен порядок изложения материала, посвященного вычислениям поверхностей и объемов многогранников и круглых тел, включены некоторые новые параграфы (пра
вильные многогранники, понятие о сферическом треугольнике и т. д.).
Так же как и в учебнике «Геометрия» Андреева, слово
«отрезок» заменяет понятие «длина отрезка», «периметр» —
«длина периметра», «сторона» — «длина стороны» и т. д.
Основные идеи теории геометрических преобразований заимствованы у И. М. Яглома и В. Г. Болтянского, любезно предоставивших свою рукопись.
В заключение пользуюсь приятной возможностью поблаго
дарить А. Ф. Чистякову и редактора книги Н. А. Угарову за ряд весьма ценных указаний, сделанных ими при чтении рукописи.
Э. Ш у в а л о в а
П Л А Н И М Е Т Р И Я
Г Л А В А П Е Р В А Я
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Преобразование плоскости. Пусть дано некоторое правило, по которому для каждой точки А плоскости можно указать некоторую точку А'. Тогда говорят, что задано преобразование плоскости, переводящее точку А этой плоскости в соответствующую ей точку А '.
Рассмотрим на плоскости некоторую фигуру Ғ, например отрезок, кривую линию, треугольник, окружность и т. д.
При заданном преобразовании каждая точка А фигуры Ғ перейдет в новую точку А '. Геометрическое место всех пре
образованных точек, получившихся из точек фигуры Ғ в ре
зультате данного преобразования, образует некоторую фи- гуру Ғ '. В этом случае говорят, что фигура Ғ ' получена преобразованием фигуры Ғ.
Может случиться, что при рассматриваемом преобразо
вании некоторые точки и целые фигуры переходят сами в себя, т. е. остаются неизменными. Точки и фигуры, не меняющиеся при данном преобразовании, т. е. преобразую
щиеся сами в себя, называются неподвижными относительно данного преобразования.
В следующих параграфах мы рассмотрим несколько при
меров преобразований плоскости и отметим их простейшие свойства.
§ 2. Параллельный перенос. Рассмотрим отрезок M N , причем точку М будем считать началом, а точку N — кон
цом. Этим мы сделали отрезок M N направленным.
О п р е д е л е н и е 1. Направленный отрезок M N назы
вается вектором и обозначается M N (первая буква указы
вает начало вектора, вторая — его конец) или а ( а — жирная).
Длиной вектора M N называется длина отрезка M N . Длина обозначается либо |М Л /|, либо | а| .
а)
Рис. 1.
Рис. 2.
О п р е д е л е н и е 2. Два вектора называются равным и, если они лежат на параллельных (или совпадающих) прямых, длины их равны и направления совпа
дают.
На рис. 1 , а изображены равные векторы, на рис. 1 , б — не равные между собой векторы.
Возьмем на плоскости вектор M N и переместим каждую точку плоскости в направлении этого вектора на его длину (рис. 2).
О п р е д е л е н и е 3. Преобразование плоскости, при ко
тором каждая точка перемещается в одном и том же напра
влении на одно и то же расстояние, называется параллельн ы м переносом.
Чтобы задать преобразование па
раллельного переноса, достаточно за
дать вектор M N . Поэтому говорят, что вектор M N задает преобразова
ние параллельного переноса.
Аналогично можно задать Преоб
разование не всей плоскости, а лишь ее части.
Пусть на плоскости задан вектор M N и некоторая фигура F (рис. 3).
Подвергнем каждую точку фигуры F преобразованию парал
лельного переноса, определяемого вектором M N . Это означает, что для каждой точки А, В, С, D, . . . фигуры F мы находим соответственно точку А', В С ' , D ' ... причем точки А ’, В ', С', D', . . . получаются из точек А, В, С, D , . . . па
10
раллельным переносом на вектор M N . Совокупность всех полученных таким способом точек образует фигуру F'.
О п р е д е л е н и е 4. Геометрическое место точек, полу
чаемых из точек фигуры F параллельным переносом их на вектор M N , образует фигуру F', которая называется пре
образованием фигуры F (или образом фигуры F) в р е з у л ь тате пара л л ельн о го переноса на вектор M N .
Покажем, что фигура Ғ ' может быть получена в результате переноса на вектор M N всей фигуры F, как твердого тела.
Т е о р е м а . Ф игура F ' , я в л я ю щ а я с я преобразованием фигуры F в результ ат е параллельн ого переноса, опре
деляемого вектором M N , может быть получена пут ем переноса всей фигуры F , ка к твердого т ела, на век
тор M N .
Да н о : M N — вектор, определяющий преобразование параллельного переноса, Ғ ' — образ фигуры F .
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что Ғ ' может быть получена из F путем параллельного переноса на вектор M N ;
Д о к а з а т е л ь с т в о . Перенесем фигуру F, как твердое тело, на вектор M N . При этом каждая точка фигуры F переместится на вектор M N , т. е. перенесенная фигура будет геометрическим местом точек, полученных из точек фигуры Р параллельным переносом на вектор M N . А это по опреде
лению 4 и есть Ғ ' , что и требовалось доказать.
§ 3. Свойства параллельного переноса. Из теоремы § 2 вытекает, что при параллельном переносе любые фигуры переходят в равные им. Например:
1. Отрезок А В переходит в равный ему отрезок А 'В '.
2. Угол A B C переходит в равный ему угол А ' В ' С . 3. Окружность С переходит в равную ей окружность С . 4. Любой многоугольник переходит в равный ему много
угольник и т. д.
Из свойства 2 вытекает, что при параллельном переносе параллельные прямые переходят в параллельные, перпенди
кулярные прямые — в перпендикулярные.
Отметим некоторые свойства, характеризующие взаимное расположение фигур и их образов при параллельном переносе.
Т е о р е м а 1. При п а р а л л е л ь н о м переносе отрезок А В преобразуется в равный е м у отрезок А 'В ' (см. свойство 1), п а раллельн ы й А В и л и леж ащий с ним на одной прям ой.
11
Д а н о : M N — вектор, определяющий преобразование параллельного переноса, А В — данный отрезок, А ' В ' — его преобразование.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что: либо 1) А В — А ' В ' и А В \ \ А 'В ', либо 2) А В — А ' В ' и А В и А ' В ' лежат на одной прямой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . С л у ч а й 1. А В не п а р а л л е л е н M N (рис. 4). Соединим точки А и А', В и В ' и рас
смотрим получившийся при этом четырехугольник А В В ' А ' .
М .V
В___________3 '
L J
А А '
Рис. 4.
Так как А А ' = В В ' = | M N | и каждый из них паралле
лен M N , то четырехугольник А В В ' А ' есть параллелограмм.
Поэтому А В \\А 'В '.
С л у ч а й 2. А В п а р а л л е л е н M N (рис. 5). Обо
значим через I прямую, на которой лежит отрезок АВ . При параллельном переносе на вектор M N отрезок А В сме
стится вдоль прямой l \ \M N на вектор M N .
С л е д с т в и е . При п а р аллельн ом переносе п р я м а я I преобразуется в прям ую п а раллельн ую I или совпа
дающую с ней.
Т е о р е м а 2. При п а р аллельн ом переносе окруж ность С переходит в равную ей окружность С' (см.
свойство 3), причем центр преобразованной окружности получается из центра данной окружности в результат е того же преобразования.
Д а н о : M N — вектор, определяющий параллельный пере
нос, С — окружность, С' — ее образ, О — центр окруж
ности С, О' — образ точки О (рис. 6).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что О' — центр окруж
ности С'.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем на окружности С' про
извольную точку А '. На окружности С ей соответствует Рис. 5.
12
точка А, преобразованием которой является точка А '. Со
единим точки О' и А ', О и А. Совершенно ясно, что отре»
зок О 'А ' есть преобразование отрезка ОА при данном параллельном переносе. Согласно ^
теореме 1 О 'А ' == О А = г, где г — радиус окружности С. Мы полу
чили, что точка О' удалена на одно и то же расстояние г от любой точки С'. Следовательно, О' — центр окружности С'. Теорема доказана.
Из следствия теоремы 1 выте
кает, что прямые I, параллельные
вектору M N , при параллельном переносе, определяемом этим вектором, остаются неподвижными, хотя все точки каждой прямой перемещаются.
Проиллюстрируем применение параллельного переноса к решению задач.
З а д а ч а 1. Построить трапецию по данным п а р а л лельны м сторонам а и b и ди а го н а ля м с и d.
Р е ш е н и е . Предположим, что задача решена и ABC D — искомая трапеция (рис. 7). Совершим параллельный перенос
трапеции на вектор АВ. При
& с этом диагональ АС перейдет в отрезок В С ' , сторона AD — в отрезок B D ', сторона DC — в отрезок D ' C ' . Рассмотрим тре
угольник DBC'. В нем с т о рона DC' — D D ' - f - D'C' — a - \ - b , D B = с, ВС' — AC = d. По
строив Д DBC' по трем сторо
нам, получим вершины В и D. Затем перенесем на векто р В А точки С' и В. Получим остальные вершины трапеции С и Л.
Доказательство правильности построения и исследование решения предоставляем учащемуся.
З а д а ч а 2. Д а н а окружность Е и две прямые q и р.
Построить отрезок А В заданной длины а так, чтобы он был п а р а л л е л е н прямой q и чтобы один его конец л е ж а л на окружности F, а другой — на прям ой р.
Р е ш е н и е . Предположим, что задача решена и А В — искомый отрезок (рис. 8). Совершим параллельный переноа окружности F на вектор А В . При этом окружность F пре
образуется в равную ей окружность F ', точка А — в точку
Рис.
8
.А ' — В. Таким образом, точка В, с одной стороны, должна лежать на окружности Ғ ', с другой стороны — на прямой р.
Следовательно, точка В есть пересечение прямой р с окруж
ностью Ғ ' , получаемой параллель-
п ным переносом окружности Ғ на
вектор А В .
Из этого анализа и вытекает ре
шение задачи.
Построим на прямой q вектор а, длина которого равна а. Затем пе
ренесем окружность F на вектор а и найдем точку В — пересечение преобразованной окружности с пря
мой р. Через точку В проведем прямую, параллельную д, до пере
сечения с окружностью F в точке А. Отрезок А В — иско
мый; А 1В 1 — второе решение.
Доказательство правильности построения предоставляется учащемуся.
Задача имеет одно решение, если окружность Ғ ' касается прямой р, два решения, если Ғ ’ пересекает р, и ни одного решения, если Ғ ' не пересекает р.
§ 4. Осевая симметрия. Возьмем на плоскости ось I.
Для каждой точки А плоскости построим точку А ' так, чтобы отрезок А А ' был перпендику
лярен к оси I и делился ею пополам (рис. 9). Такая точка А ' называется симметричной точке А относи
тельно оси I. Ясно, что если точ- _ ка А ' симметрична А, то А симмет
рична А ' относительно той же оси.
Поэтому говорят, что точки А и А ' симметричны относительно Оси I.
О п р е д е л е н и е 1. П р е о б р а зован и е плоскости, при котором
каждая точка А преобразуется в симметричную ей отно
сительно оси I точку А ', называется преобразованием осе
вой симметрии или просто осевой симметрией.
Если точка А лежит на оси I, то условимся считать, что она симметрична самой себе, т. е. А ' совпадает с А.
Таким образом, точки, лежащие на оси симметрии, непо
движны относительно преобразования осевой симметрии. Легко
А
О
і>А' Рис. 9.
----I
14
показать, что при этом преобразовании прямые, перпенди
кулярные к оси /, также остаются неподвижными.
Можно говорить о преобразовании осевой симметрии на только всей плоскости, но и ее части.
Пусть на плоскости даны фигура Ғ (например, мн-к ABCDE) и ось / (рис. 10). Подвергнем каждую точку фигуры Ғ преобразованию осе
вой симметрии относительно оси I, т. е. для каждой точки фигуры Ғ построим точку, симметричную ей относительно оси I. Совокупность всех пре
образованных точек образует некоторую фигуру Ғ ' (мн-к A 'B 'C 'D 'E ').
О п р е д е л е н и е 2. Геоме
трическое место точек, симме
тричных точкам фигуры F от- Рис 10. носительно оси I, образует
фигуру F ', которая называется симметричной фигуре F относительно оси I.
В частности, если при преобразовании симметрии отно
сительно оси I фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси I, а ось I
называется ее осью симметрии (рис. 11). При изучении преобра
зования параллельного переноса мы рассмотрели способ получения пре
образованной фигуры Ғ ’ перемеще
нием фигуры F, как единого твер
дого тела.
А налогичны й сп особ м ож но у к а зать и для п рео б р азо ван и я осевой сим м етрии.
Прежде всего рассмотрим две точки А и А ', симметричные отно
сительно оси I, расположенные на листе бумаги, и дока
жем следующую теорему.
Т е о р е м а 1. Е сли точки А и А ' симметричны отно
сительно оси I, то при перегибании лист а по оси I они совпадают. Обратно, если точки А и А ' совпадают при перегибании листа вдоль оси I, то А и А ' с им м ет ричны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . I. Пусть А и А ' симметричны относительно оси I. Перегнем лист бумаги по оси I (рис. 12).
Так как АО _]_/ и А 'О J_l, то при перегибании листа бумаги АО пойдет по ОА'. Но АО = ОА', поэтому точки А и А ' совпадут.
II. Пусть точки А и А', не ле
жащие на оси I, совпали при пере
гибании листа бумаги по ови I.
Развернем лист бумаги так, чтобы он стал плоским, и соединим точки А Рис. 12. и А' (рис. 13). Так как при пере
гибании углы 1 и 2, указанные на рис. 13, совпали, то они равны. Но / _ 1 - f - Ц 2 = 180°, следовательно, £_1 = £ _ 2 = 90°. Из совмещения точек А и А ' вытекает, что АО = ОА'. Итак, отрезок А А ' перпен
дикулярен к оси I и делится ею пополам, т. е. точки А и А ' симметричны относи
тельно оси I.
Т е о р е м а 2. Фигура F ', сим ме
тричная фигуре F относительно Оси /, совмещается с F при перегибании листа б ум аги по оси I.
Д а н о : / — ось, фигура F симметрич
на Ғ ’.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что F совмещается с Ғ ’ при перегибании листа бумаги по оси /.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Перегнем лист бумаги, на котором расположены фигуры F и F', по оси I. При этом каждая точка фигуры F совпадает с точкой, симметричной ей отно
сительно оси I. Это значит, что фигура F совпадает с не
которой фигурой, образованной всеми точками, симметрич
ными точкам фигуры F. По определению 2 это и есть фигура Ғ ’. Теорема доказана.
§ б. Свойства осевой симметрии. Из теоремы 2 § 4 вытекает, что фигуры F и F ', симметричные относительно оси I, равны между собой.
Иными словами, осевая симметрия преобразует фигуру F
в
равную ей. В частности, при осевой симметрии:1. Отрезок А В преобразуется в равный ему отре
зок А 'В '.
2. Угол ABC преобразуется в равный ему угол А 'В 'С '.
г V „
о 'А
Рис. 13.
16
3. Окружность С преобразуется в равную ей окруж
ность С'.
4. Любой многоугольник преобразуется в равный ему многоугольник.
Осевая симметрия преобразует параллельные прямые в параллельные, перпендикулярные — в перпендикулярные.
Т е о р е м а 1. П рямы е а и а', симметричные отно
сительно оси I, либо пересекаются в точке, лежащей на оси I, образуя при этом равные углы с I, либо параллельны и равноудалены от оси I.
Д а н о : I — ось симметрии, а и а '—симметричные прямые.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что: либо 1) а и а' пере
секаются на оси /, причем либо 2) а || а ' и М А = М А ’.
Д о к а з а т е л ь с т в о . С л у ч а й 1. Прямая а пересекает ось I в некоторой точке А (рис. 14, а); так как при осевой
м
Рис. 14.
симметрии точка А преобразуется в себя (§ 4), то она должна принадлежать и симметричной прямой а'. Итак, симметрич
ные прямые а и а' пересекаются в точке А, лежащей на оси I. При этом углы 1 и 2, образованные этими прямыми с осью I, также симметричны относительно / и, следова
тельно, равны между собой (свойство 2).
С л у ч а й 2. Прямая а параллельна I (рис. 14, б). В этом случае прямая а' не может пересечь ось I, так как тогда прямая а также пересекала бы ось I (случай 1).
Итак, а'\\1. Возьмем на оси I произвольную точку М и проведем из нее перпендикуляр к / до пересечения с пря
мыми в и а' в точках А и А '. Ясно, что точки А и А'
2 П. П. А ндреев, Э. 3. Ш у в ал о в а —- 17
£ 6 2 . 6 * ^
симметричны относительно оси /, а поэтому А М = М А ' , т. е. а и а ' равноудалены от оси I. Теорема доказана.
Т е о р е м а 2. Центры окружностей, си м м ет рич ны х относительно оси I, симметричны относительно той же оси.
Д а н о : I — ось симметрии, С' симметрична С, О и О' — центры окружностей С и С' (рис. 15).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что точки О и О' симметричны относительно оси I.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ңа окружности С' возьмем произ
вольную точку А '. На окружности С ей будет соответство
вать симметричная точка А. Соединим точки Л' и О', Л и О и рассмотрим от
резки АО и А 'О '. Очевидно, что АО сим
метричен А'О '.
В силу свойства 1 (§ 5) А 'О ' — АО = г,
— I где г —радиус окружности С. Итак, точка О' удалена от любой точки А ’ на постоянное расстояние г. Следовательно, О' — центр .окружности С'. Теорема дока
зана.
Приведем пример, иллюстрирующий при
менение осевой симметрии к решению задач и доказательству теорем.
З а д а ч а . Д а н а п р ям а я I и две точки А и В, рас- положенные по разные стороны от нее. Н айти на п р я мой такую точку С, чтобы р а з
ность расстояний АС и ВС была наибольшей.
Р е ше н и е . Рассмотрим точку Л', симметричную точке А относительно прямой / (рис. 16). Тогда для лю
бой точки D, лежащей на прямой /, B D — A ’D = B D — AD. По свой
ству сторон треугольника имеем:
B D — A D А 'В , причем разность Рис. 16.
B D — A 'D достигает своего наи
большего значения, равного А 'В , когда треугольник выро
ждается в отрезок, т. е. когда точка D лежит на одной пря
мой с точками А ' и В. Следовательно, искомая точка С есть пересечение прямой I с прямой, проходящей через точки А ' и В. Действительно, ВС — А'С = А 'В или ВС — АС — А 'В , причем А ’В — наибольшее значение разности BD — AD, 18
Т е о р е м а 3. Д и а м е т р окружности, п е р п е н д и к ул я р ный к хорде окружности, делит эт у хо р д у пополам.
Д а н о : С — окружность с центром в точке О, I — диа
метр, А В — хорда и I J_ А В (рис. 17).
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А К =
= КВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Преобразуем окружность С с помощью осевой симмет
рии относительно диаметра I. Тогда окружность С перейдет в равную ей ок
ружность С', центр О', симметричный центру О данной окружности, совпа
дает с О. Две равные окружности с об
щим центром совпадают, а это значит, что окружность С симметрична относительно своего диаметра /. Точки А и В, лежащие на окружности С и на одном перпендикуляре к ее оси симметрии, симметричны, т. е. А К — К В . Теорема до
казана.
Рис. 17.
Рис. 18.
§ 6. Центральная симметрия. Возьмем на плоскости точку О, называемую центром. Для каждой точки А пло
скости построим точку А ' такую, что отрезок А А ' проходит через центр О и делится им пополам (рис. 18). Такая
точка А ' называется симметричной точке А относительно центра сим
метрий О.
Очевидно, что если точка А ' симметрична точке А, то и, наобо
рот, точка А симметрична точке А ' относительно центра О.
О п р е д е л е н и е 1. Преобразование, переводящее каждую точку А плоскости в точку А', симметричную ей относи
тельно центра О, называется преобразованием ц е н т р а л ь ной си м м ет р и и или просто цент ральной сим метрией.
Если точка А совпадает с центром симметрии О, то счи
тают, что она симметрична самой себе относительно центра симметрии О.
Следовательно, центр симметрии является неподвижной точкой при преобразовании центральной симметрии. Других неподвижных точек это преобразование не имеет.
Пусть даны центр симметрии О и некоторая фигура F (мн-к ABCDEQ на рис. 19). Подвергнем каждую точку фигуры F преобразованию центральной симметрии относи-
2* 19
тельно центра О, т. е. для каждой точки фигуры Ғ построим точку, симметричную ей относительно центра О.
Совокупность всех преобразованных которую
Рис. 19.
точек образует не- фигуру Ғ ' (мн-к A 'B 'C 'D 'E 'Q ').
О п р е д е л е н и е 2. Гео
метрическое место точек, сим
метричных точкам фигуры F относительно центра О, обра
зует фигуру F ', которая назы
вается симметричной ф и г у ре F относительно ц е н тра О.
Переход от фигуры F к фигуре F', симметричной F относительно центра О, называется преобразованием цен
тральной симметрии.
Если при преобразовании центральной симметрии относи
тельно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной от
носительно центра О. При этом центр О называется центром сим
метрии фигуры F. Примерами фи
гур, обладающих центром сим
метрии, является параллелограмм (центр симметрии— точка пересе
чения его диагоналей; см. рис. 20), окружность (центр симметрии — центр окружности) и т. д.
Т е о р е м а 1. Точка А', симметричная точке А отно
сительно центра О, может быть получена поворотом точки а на 180° вокруг центра О.
Д а н о : О — центр симме
трии, точка А ' симметрична точке А.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , что А ' получается поворотом точки А на 180° вокруг цен
тра О.
Повернем точку А на 180° отно- 21). Тогда точка А займет поло
жение А '. Так как £ А О А ' = 180°, то Л и Л' будут лежать на одной прямой с точкой О по разные стороны от нее.
Рис. 21.
Д о к а з а т е л ь с т в о , сительно центра О (рис.
20
