To The Theory of Non-Model Two-Dimensional Integral Equations of Volterra Type With a Strongly Singular and Weakly Singular Line on a Strip

(1)

ISSN 2616-7182 eISSN 2663-1326

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң

ХАБАРШЫСЫ BULLETIN

of L.N. Gumilyov Eurasian National University

ВЕСТНИК

Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева

МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР. МЕХАНИКА сериясы

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Серия МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ. МЕХАНИКА

№4(129)/2019

1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995 Издается с 1995 года

Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год

Нұр-Сұлтан, 2019

Nur-Sultan, 2019

Нур-Султан, 2019

(2)

БАС РЕДАКТОРЫ ф.-м.ғ.д., проф

Темiрғалиев Н. (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Жұбанышева А.Ж., PhD (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Наурызбаев Н.Ж., PhD (Қазақстан)

Редакция алқасы

Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Жапония) Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Қытай)

Бекенов М.И. ф.-м.ғ.к., доцент (Қазақстан) Гогинава У. ф.-м.ғ.д., проф. (Грузия) Голубов Б.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Зунг Динь ф.-м.ғ.д., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. ф.-м.ғ.д., проф.(Қазақстан) Иванов В.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Иосевич А. PhD, проф. (АҚШ) Кобельков Г.М. ф.-м.ғ.д., проф.(Ресей) Курина Г.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Марков В.В. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Мейрманов А.М. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Смелянский Р.Л. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Умирбаев У.У. ф.-м.ғ.д., проф. (АҚШ) Холщевникова Н.Н. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. докторы, проф. (Германия)

Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Сәтпаев к-сi, 2, 402 бөлме.

Тел: +7 (7172) 709-500 (iшкi 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz Жауапты редактор: А.Ж. Жұбанышева

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы.

МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР. МЕХАНИКА сериясы

Меншiктенушi: ҚР БжҒМ "Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi" ШЖҚ РМК Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.

Қазақстан Республикасыңың Ақпарат және коммуникациялар министрлiгiнде тiркелген.

27.03.2018ж. № 17000-ж тiркеу куәлiгi.

Ашық қолданудағы электрондық нұска: http://bulmathmc.enu.kz Тиражы: 20 дана

Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Қажымұқан к-сi ,12/1, тел: +7 (7172)709-500 (iшкi 31-410).

c

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi

(3)

EDITOR-IN-CHIEF Prof., Doctor of Phys.-Math. Sciences

Temirgaliyev N. (Kazakhstan)

Deputy Editor-in-Chief Zhubanysheva A.Zh., PhD (Kazakhstan) Deputy Editor-in-Chief Nauryzbayev N.Zh., PhD (Kazakhstan)

Editorial board Abakumov E.V. PhD, Prof. (France)

Alexeyeva L.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Alexander Iosevich PhD, Prof. (USA)

Alimhan Keylan PhD, Prof. (Japan) Bekzhan Turdybek PhD, Prof. (China)

Bekenov M.I. Candidate of Phys.-Math. Sciences, Assoc.Prof. (Kazakhstan)

Goginava U. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Georgia) Golubov B.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) D˜ ung Dinh Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Vietnam) Ibrayev A.G. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Kazakhstan) Ivanov V.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kobel’kov G.M. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kurina G.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Markov V.V. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Meirmanov A.М. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Smelyansky R.L. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Umirbaev U.U. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(USA) Kholshchevnikova N.N. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia) Schmeisser Hans-Juergen Dr. habil., Prof. (Germany)

Editorial address: 2, Satpayev str., of. 402, Nur-Sultan, Kazakhstan, 010008 Теl.: +7 (7172) 709-500 (ext. 31-428)

E-mail: vest_math@enu.kz

Responsible Editor-in-Chief: A.Zh. Zhubanysheva

Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Owner: Republican State Enterprise in the capacity of economic conduct "L.N. Gumilyov Eurasian National University" Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan

Periodicity: 4 times a year

Registered by the Ministry of Information and Communication of the Republic of Kazakhstan.

Registration certificate №17000-ж from 27.03.2018.

Circulation: 20 copies

Available at: http://bulmathmc.enu.kz

Address of printing house: 12/1 Kazhimukan str., Nur-Sultan, Kazakhstan 010008;

tel: +7 (7172) 709-500 (ext.31-410).

c L.N. Gumilyov Eurasian National University

(4)

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР профессор, д.ф.-м.н.

Темиргалиев Н. (Казахстан)

Зам. главного редактора Жубанышева А.Ж., PhD (Казахстан) Зам. главного редактора Наурызбаев Н.Ж., PhD (Казахстан)

Редакционная коллегия Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Япония)

Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Китай)

Бекенов М.И к.ф.-м.н., доцент (Казахстан) Гогинава У. д.ф.-м.н., проф. (Грузия) Голубов Б.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Зунг Динь д.ф.-м.н., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Иванов В.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Иосевич А. PhD, проф. (США) Кобельков Г.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Курина Г.А. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Марков В.В. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Мейрманов А.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Смелянский Р.Л. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Умирбаев У.У. д.ф.-м.н., проф. (США) Холщевникова Н.Н. д.ф.-м.н., проф. (Россия)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. доктор, проф. (Германия)

Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан, ул. Сатпаева, 2, каб. 402 Тел: +7 (7172) 709-500 (вн. 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz

Ответственный редактор: А.Ж. Жубанышева

Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Серия МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ. МЕХАНИКА

Собственник: РГП на ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева" МОН РК Периодичность: 4 раза в год.

Зарегистрирован Министерством информации и коммуникаций Республики Казакстан.

Регистрационное свидетельство №17000-ж от 27.03.2018г.

Тираж: 20 экземпляров. Электронная версия в открытом доступе: http://bulmathmc.enu.kz Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан,

ул. Кажымукана, 12/1, тел.: +7 (7172)709-500 (вн.31-410).

c

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

(5)

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ ХАБАРШЫСЫ. МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР. МЕХАНИКА

СЕРИЯСЫ, №4(129)/2019

МАЗМҰНЫ

МАТЕМАТИКА-КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР МАТЕМАТИКА-КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР Темiрғалиев Н., Абикенова Ш.К., Әжғалиев Ш.У., Тауғынбаева Г.Е., Жұбанышева А.Ж.

Компьютерлiк (есептеуiш) диаметр концепсиясындағы квази - Монте Карло әдiсiндегi Радон түрлендiруi

8

Югай Л.П. Локалдi-инерциялық басқарумен берiлген сызықты дифференциалдық қашу ойыны

54

Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. Жолақта күштi-ерекше және әлсiз-ерекше сызығымен берiлген Вольтер типтi моделдi емес екi өлшемдi теңдеулер теориясы туралы

67

Аббар Арафат Екiжақты ығысулар мен жартылай топтар трансляциясы операторларының Γ-суперциклдылығы

73

Карипжанова А.Ж. Сақтау орындарының iшiнара жоғалуына төзiмдi көп өлшемдi жұптық алгоритмдерiн қолдана отырып, ақпаратты сақтау жүйесiн тестiлеу

80

Қосымша

"Темiрғалиев Н., Абикенова Ш.К., Әжғалиев Ш.У., Тауғынбаева Г.Е., Жұбанышева А.Ж.

Компьютерлiк (есептеуiш) диаметр концепсиясындағы квази - Монте Карло әдiсiндегi Радон түрлендiруi" мақаласының орыс тiлiне аудармасы

89

5

(6)

BULLETIN OF L.N. GUMILYOV EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS SERIES, №4(129)/2019

CONTENTS

MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE Temirgaliyev N., Abikenova Sh.K., Azhgaliyev Sh.U., Taugynbayeva G.E., Zhubanysheva A.Zh.

Theory of Radon Transform in the Concept of Computational (Numerical) Diameter and Methods of the Quasi-Monte Carlo Theory

8

Yugay L.P. Linear Differential Evasion Game with Locally Inertial Controls 54 Rajabova L.N., Khushvakhtov M.B.To The Theory of Non-Model Two-Dimensional Integral Equa- tions of Volterra Type With a Strongly Singular and Weakly Singular Line on a Strip

67

Abbar Arafat Γ-supercyclicity for Bilateral Shift Operators and Translation Semigroups 73 Karipzhanova A.Zh. Testing of Information Storage System Using Multidimensional Parity Algo- rithms Resistant to Partial Loss of Storage Locations

80

Appendix

Translation of the article "Temirgaliyev N., Abikenova Sh.K., Azhgaliyev Sh.U., Taugynbayeva G.E., Zhubanysheva A.Zh. Theory of Radon Transform in the Concept of Computational (Numer- ical) Diameter and Methods of the Quasi-Monte Carlo Theory" into Russian

89

6

(7)

ВЕСТНИК ЕВРАЗИЙСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

ИМЕНИ Л.Н.ГУМИЛЕВА. СЕРИЯ МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ.

МЕХАНИКА, №4(129)/2019

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА-КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ МАТЕМАТИКА-КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ Темиргалиев Н., Абикенова Ш.К., Ажгалиев Ш.У., Таугынбаева Г.Е., Жубанышева А.Ж.

Теория преобразования Радона в концепции Компьютерного (вычислительного) поперечника и методов теории квази Монте-Карло

8

Югай Л.П. Линейная дифференциальная игра убегания с локально-инерционными управлениями

54

Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. К теории немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе

67

Аббар Арафат Γ -суперцикличность для операторов двусторонних сдвигов и полугрупп трансляции

73

Карипжанова А.Ж.Тестирование системы хранения информации с применением алгоритмов многомерной четности, устойчивых к частичным потерям мест хранения

80

Приложение

Перевод на русский язык статьи "Темиргалиев Н., Абикенова Ш.К., Ажгалиев Ш.У., Таугынбаева Г.Е., Жубанышева А.Ж. Теория преобразования Радона в концепции Компьютерного (вычислительного) поперечника и методов теории квази Монте-Карло"

89

7

(8)

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Компьютерлiк ғылымдар. Механика сериясы, 2019, том 129, №4, 67-72 беттер http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz

IRSTI: 27.33.15

L.N. Rajabova

¹

, M.B. Khushvakhtov

²

1

Research Institute, Tajik National University, Dushanbe, Tajikistan

2

Tajik National University, Dushanbe, Tajikistan (E-mail:

¹

lutfya62@mail.ru,

²

muhuddin_93@mail.ru)

To the Theory of Non-Model Two-Dimensional Integral Equations of Volterra Type with a Strongly Singular and Weakly Singular Line on a Strip

Abstract: In this article, we study a non-modal two-dimensional Volterra-type integral equation with a strong-singular and a weak-singular line on a strip.

A modal two-dimensional Volterra-type integral equation with boundary strong-special and weakly-special lines on the strip was studied earlier in the case when the parameters of the equation are related to each other and are not related.

It is considered a non-model type two-dimensional integral equation with a strongly singular and weakly singular line on a strip in this article in the case when the functions present in the kernel are interconnected. Depending on signs of the given functions in special points, in one of the cases the solution of the integral equation contains two arbitrary functions depending on one variable, one arbitrary function depending on one variable, and the case when the solution of the integral equation is unique.

Keywords: non-model integral equation, weakly singular line, strong-singular line, arbitrary function.

Through D we denote the region D = {(x, y) : 0 ≤ a < x < ∞, 0 ≤ b < y < b

₀

}. The bound- aries of the region respectively denote: Γ

1

= {y = b, 0 ≤ a < x < ∞}, Γ

2

= {x = a, 0 ≤ b < y <

b

₀

}. In this area we consider a two dimensional integral equation of the form:

u(x, y)+

Z

∞

x

A(t)u(t, y) (t − a)

^α

dt+

Z

y b

B(s)u(x, s) (s − b)

^β

ds+

Z

∞

x

dt (t − a)

^α

Z

y b

C(t, s)u(t, s)

(s − b)

^β

ds = f (x, y) (1) where A(x), B(y), C(x, y), f (x, y) -the given functions are respectively on Γ

1

, Γ

2

and D , u(x, y) -is the desired function, 0 < α < 1, β > 1 .

The integral equation (1) will be studied in the case of A(a) 6= 0, B(b) 6= 0, C(a, b) 6= 0 . The solution of the integral equation (1) will be found in the class of functions u(x, y) ∈ C(D) ,

x→∞

lim u(x, y) = 0 with asymptotic behavior

u(x, y) = o[x

^−δ¹

], δ

1

> 1 − α,

y→

lim

b

u(x, y) = 0 with asymptotic behavior

u(x, y) = o[(y − b)

^γ¹

], γ

₁

> β − 1.

Earlier in [1] a two-dimensional integral equation of Volterra type with a boundary weakly singular nucleus on the first quadrant was studied.

The studing of a model two-dimensional integral equation of Volterra type with a singular and weakly- singular line on the strip in the case when the parameters of the equation are related and not related to each other, also obtaining a variety of solutions of a model two-dimensional integral equation of Volterra type with a strong- singular and weakly- singular line on the strip in the case when the parameters of the equation are related and not related to each other, dedicated to works [2], [3], [4], [5].

Boundary value problems for two-dimensional Volterra-type model integral equations with a singular and weakly- singular line on the strip in the case when the parameters of the equation are related, are investigated in [6]. Boundary value problems for two-dimensional Volterra-type

67

(9)

To the Theory of Non-Model Two-Dimensional Integral Equations of Volterra Type with a Strongly Singular and ...

model integral equations with strongly- singular and weakly- singular line on the strip in the case when the parameters of the equation are related are also investigated. For solution the integral equation (1) suppose that C(x, y) = A(x)B(y) . In this case, according to [1], equation (1) is represented as:

T

_b^y

T

_a^x

u = f(x, y) (2)

where

T

_a^x

u = u(x, y) + Z

∞

x

A(t)u(t, y)

(t − a)

^α

dt, T

_b^y

v = v(x, y) + Z

y

b

B(s)v(x, s) (s − b)

^β

ds.

In integral equation (2) we introduce the notation

T

_a^x

u = v(x, y) (3)

then we come to the solution of the integral equation

T

_b^y

v = f (x, y). (4)

Using the scheme of finding the solution, [7], it is easy to come to the conclusion that if at B(b) < 0 the solution of the integral equation (4) exists, then it has the form:

v(x, y) = e

^[B(b)ω^b^β^(y)−W^B¹^(y)]

ϕ

1

(x) + f (x, y)−

− Z

y

b

e

^[−B(b){ω^β^b^(s)−ω^b^β^(y)}+W^B¹^(s)−W^B¹^(y)]

B(s)f(x, s)

(s − b)

^β

ds, (5)

where ϕ

₁

(x) -is an arbitrary function of points Γ

₁

, ω

_a^α

(y) = 1

(β − 1)(y − b)

^β−1

, W

_B¹

(y) = Z

y

b

B(s) − B(b) (s − b)

^β

ds.

According to [4], if at A(∞) < 0 the solution of integral equation (3) exists, then it has the form:

u(x, y) = e

^[−A(∞)ω^a^α^(x)−W^a^α^(x)]

ψ

₁

(y) + v(x, y)−

− Z

∞

x

e

^[A(∞){ωâ^α^(t)−ω^αâ^(x)}+Wâ^α^(t)−Wâ^α^(x)]

A(t)v(t, y)

(t − a)

^α

dt, (6)

where ψ

₁

(y) -is an arbitrary function of points Γ

₂

. ω

_a^α

(y) = 1

(α − 1)(x − a)

^α−1

, W

_a^α

(x) = Z

∞

x

A(t) − A(∞) (t − a)

^α

dt.

Substituting the value of the function v(x, y) from (5) in equality (6), we obtain::

u(x, y) = e

^[−A(∞)ω^α^a^(x)−W^a^α^(x)]

ψ

1

(y) + e

^[B(b)ω^β^b^(y)−W^B¹^(y)]

[ϕ

1

(x)−

− Z

∞

x

e

^[A(∞){ω^αâ^(t)−ωâ^α^(x)}+Wâ^α^(t)−Wâ^α^(x)]

A(t)ϕ

1

(t)dt (t − a)

^α

+ +f (x, y) −

Z

∞

x

e

^[A(∞){ω^αâ^(t)−ω^αâ^(x)}+Wâ^α^(t)−Wâ^α^(x)]

A(t)f (t, y)dt (t − a)

^α

−

− Z

y

b

e

^[−B(b){ω^β^b^(s)−ω^β^b^(y)}+W^B¹^(s)−W^B¹^(y)]

B(s)f(x, s) (s − b)

^β

ds+

+ Z

∞

x

e

^[A(∞){ωâ^α^(t)−ω^αâ^(x)}+Wâ^α^(t)−Wâ^α^(x)]

A(t)dt (t − a)

^α

×

× Z

y

b

e

^[−B(b){ω^β^b^(s)−ω^b^β^(y)}+W^B¹^(s)−W^B¹^(y)]

B (s)f (t, s) (s − b)

^β

ds ≡

≡ M

1

[ϕ

1

(x), ψ

1

(y), f (x, y)]. (7)

From the above reasoning follows:

Theorem 1. Let’s say that, in the integral equation (1), the following conditions are satisfied:

α < 1, β > 1, A(∞) < 0, B(b) < 0, C(x, y) = A(x)B (y), A(x) ∈ C(Γ

₁

) and in the neighborhood of the point x = ∞ satisfies the condition

A(x) − A(∞) = o[x

^−δ²

], δ

₂

> 1 − α, x → ∞ (8)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы. Математика. Компьютерлiк ғылымдар. Механика сериясы, 2019, Том 129, №4 Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. Математика. Компьютерные науки. Механика, 2019, Том 129, №4

68

(10)

L.N. Rajabova¹, M.B. Khushvakhtov²

B(y) ∈ C(Γ

2

) and in the neighborhood of the point y = b satisfies the condition

B(y) − B(b) = o[(y − b)

^γ²

], γ

2

> β − 1, y → b (9) Next, let the function f (x, y) ∈ C(D) , lim

x→∞

f (x, y) = 0 with asymptotic behavior:

f (x, y) = o[e

^−A(∞)ω^a^α^(x)

x

^−δ³

], δ

3

> 1 − α, x → ∞ (10)

y→b

lim f(x, y) = 0 with asymptotic behavior:

f (x, y) = o[e

^B(b)ω^β^b^(y)

(y − b)

^γ³

], γ

3

> β − 1, y → b. (11) Then the integral equation (1) is solvable in class C(D) , vanishing on Γ

₁

and Γ

₂

, the general solution contains two arbitrary functions of one variable and is represented as (7), where ϕ

1

(x) ∈ C(Γ

1

) , ψ

1

(y) ∈ C(Γ

2

) - are arbitrary functions of points Γ

1

и Γ

2

, and ϕ

1

(∞) = 0 with asymptotic behavior:

ϕ

₁

(x) = o[e

^−A(∞)ω^a^α^(x)

x

^−δ⁴

], δ

₄

> 1 − α, x → ∞, ψ

₁

(b) = 0 with asymptotic behavior:

ψ

₁

(y) = o[(y − b)

^γ⁴

], γ

₄

> β − 1, y → b. (12) Consequence 1. If the conditions of theorem 1 are satisfied, then the solution of integral equation (1) of the form (7) from class C(D) vanishes at the point (x, y) = (∞, b) and its asymptotic behavior is determined from the equalities

u(x, y) = o[e

^−A(∞)ω^α^a^(x)

x

^−δ⁵

], δ

₅

> 1 − α, at x → ∞, (13) u(x, y) = o[(y − b)

^γ⁵

], γ

₅

> β − 1, at y → b. (14) Statements similar to theorem 1 are obtained in the cases A(∞) > 0 , B (b) > 0 ; A(∞) > 0 , B(b) < 0 ; A(∞) < 0 , B(b) > 0 .

Theorem 2. Let’s say that in the integral equation (1) the following conditions are satisfied:

α < 1, β > 1, A(∞) > 0, B(b) < 0, C(x, y) = A(x)B(y), A(x) ∈ (Γ

1

), B(y) ∈ (Γ

2

) and in the neighborhood of the points x = ∞, y = b satisfy the conditions (8), (9), the function f (x, y) ∈ C(D) и

_x→∞

lim

y→b

f (x, y) = 0 with asymptotic behavior (11) and

f(x, y) = o[x

^−δ⁶

], δ

6

> 1 − α, x → ∞. (15) Then the integral equation (1) in class C(D) , vanishing on Γ

₁

and Γ

₂

, always solvable, the general solution contains one arbitrary function of one variable and is expressed by equality:

u(x, y) ≡ M

1

[ϕ

1

(x), 0, f (x, y)] (16)

where ϕ

₁

(x) ∈ C(Γ

₁

) - is an arbitrary function of points Γ

₁

, причем ϕ

₁

(∞) = 0 with asymp- totic behavior:

ϕ

₁

(x) = o[x

^−δ⁶

], δ

₇

> 1 − α, x → ∞.

Consequence 2. If the conditions of theorem 2 are satisfied, then the solution of integral equation (1) of the form (16) from class C(D) vanishes at the point (x, y) = (∞, b) and its asymptotic behavior is determined from the equalities

u(x, y) = o[x

^−δ⁸

], δ

8

> 1 − α, at x → ∞, (17) u(x, y) = o[e

^B(b)ω^β^b^(y)

(y − b)

^γ⁶

], γ

6

> β − 1, at y → b,

Теорема 3. Let’s say that in the integral equation (1) the following conditions are satisfied:

α < 1, β > 1, A(∞) < 0, B(b) > 0, C(x, y) = A(x)B(y), A(x) ∈ (Γ

₁

), B(y) ∈ (Γ

2

) and in the vicinity of the points x = ∞, y = b satisfy the conditions (8),(9), the function f(x, y) ∈ C(D) and

_x→∞

lim

y→b

f (x, y) = 0 with the asymptotic behavior (10) and

f (x, y) = o[(y − b)

^γ⁷

], γ

₇

> β − 1, y → b. (18)

Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer Science. Mechanics series, 2019, Vol. 129, №4 69

(11)

Then the integral equation (1) in class C(D) , оvanishing on Γ

1

and Γ

2

, always solvable, the general solution contains one arbitrary function and is expressed by equality:

u(x, y) ≡ M

1

[0, ψ

1

(y), f (x, y)], (19)

where ψ

₁

(y) ∈ C(Γ

₂

) -is an arbitrary function of points Γ

₂

. And ψ

₁

(b) = 0 with asymptotic behavior (12).

Consequence 3. If the conditions of theorem 3 are satisfied, then the solution of integral equation (1) of the form (19) from class C(D) vanishes at the point (x, y) = (∞, b) and its asymptotic behavior is determined from the equalities (13) and (14).

Theorem 4. Let’s say that in the integral equation (1) the following conditions are satisfied:

α < 1, β > 1, A(∞) > 0, B(b) > 0, C(x, y) = A(x)B(y), A(x) ∈ (Γ

₁

), B(y) ∈ (Γ

₂

) and in a neighborhood of the point x = ∞, y = b satisfy the conditions (8), (9), the function f(x, y) ∈ C(D) and

_x→∞

lim

y→b

f (x, y) = 0 with the asymptotic behavior (15) and (18).

Then the integral equation (1) in class C(D) , vanishing on Γ

1

and Γ

2

, has a unique solution which is expressed by equality:

u(x, y) ≡ M

₁

[0, 0, f (x, y)]. (20)

Consequence 4. If the conditions of theorem 4 are satisfied, then the solution of integral equation (1) of the form (20) from class C(D) vanishes at the point x = ∞, y = b and its asymptotic behavior is determined from the equalities (17) and (14).

References

1 Раджабова Л.Н., Раджабов Н. К теории одного класса двумерного слабо-сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте//Доклады Академии Наук Республики Таджикистан - 2014. -Т. 57. №6. - С. 443-451.

2 Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе// Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук - 2017. - №1/3. - С.3-5.

3 Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения не связаны между собой//

Доклады Академии Наук Республики Таджикистан. - 2018. - Т. 61. №4. - С. 331-337.

4 Хушвахтов М.Б. О некоторых случаях двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе// Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук - 2019. - №1. - С.44-49.

5 Раджабова Л.Н., Хушвахтов М.Б. К теории двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностями на полосе// Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции

"Актуальные проблемы науки и образования в современном вузе", Стерлитамак, Башкортостан. -2019- С.186-189

6 Хушвахтов М.Б. Граничные задачи для двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе. Материалы республиканской научной конференции, посвящённой 80-летию видного таджикского математика, профессора Бекназара Имомназарова (Таджикистан, г.Душанбе, 10-11 июня 2019г.). -Душанбе, 2019.- С.263-267.

7 Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007. -222 с

Л.Н.Раджабова¹, М.Б.Хушвахтов²

1 Тәжiк ұлттық университетiнiң ғылыми-зерттеу институты, Душанбе, Тажiкстан

2Тәжiк ұлттық университетi, Душанбе, Тажiкстан

Жолақта күштi-ерекше және әлсiз-ерекше сызығымен берiлген Вольтер типтi моделдi емес екi өлшемдi теңдеулер теориясы туралы

Аннотация: Мақалада жолақта күштi-ерекше және әлсiз-ерекше сызығымен берiлген Вольтер типтi моделдi емес екi өлшемдi теңдеулер қарастырылған.

Бұрын параметрлерi бiр-бiрiмен байланысқан және байланыспаған болған жағдайда жолақта күштi-ерекше және әлсiз-ерекше сызығымен берiлген Вольтер типтi моделдi емес екi өлшемдi теңдеулер қарастырылған.

Бұл жұмыста моделдi емес екi өлшемдi ядродағы функциялар бiр-бiрiмен байланысқан жағдайда жолақта күштi- ерекше және iлсiз-ерекше сызықты Вольтер типтi интегралдық теңдеулер зерттеледi. Осы функциялардың ерекше нүктелердегi таңбаларына сәйкес интегралдық теңдеудiң шешiмi бiр жағдайда бiр айнымалыға тәуелдi екi еркiн функциядан, екiншi жағдайда бiр айнымалыға тiуелдi бiр еркiн функциядан және үшiншi жағдайда интегралдық теңдеудiң шешiмi жалғыз болады.

70

(12)

L.N. Rajabova¹, M.B. Khushvakhtov²

Түйiн сөздер:модельдi емес интегралдық теңдеулер, әлсi сингулярлы сызықтар, қатаң сингулярлы сызықтар, кез келген функциялар.

Л.Н.Раджабова¹, М.Б.Хушвахтов²

1Научно-исследовательский институт, Таджикского национального университета, Душанбе, Таджикистан

2Таджикский национальный университет, Душанбе, Таджикистан

К теории немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе

Аннотация: В данной статье изучается немодельное двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе.

Ранее было изучено модельное двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с граничными сильно-особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения связаны между собой и не связаны между собой.

В данной работе исследуется немодельное двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда функции, присутствующие в ядрах связаны между собой. В зависимости от знаков данных функций в особых точках, в одном из случаев решение интегрального уравнения содержит две произвольные функции, зависящие от одной переменной, одну произвольную функцию, зависящую от одной переменной и выделяется случай, когда решение интегрального уравнения единственно.

Ключевые слова: немодельные интегральные уравнения,слабо сингулярные линии,строго сингулярные линии,произвольные функции

References

1 Rajabova L. N., Rajabov N. K teorii odnogo klassa dvumernogo slabo-singulyarnogo integral’nogo uravneniya tipa Vol’terra na pervom kvadrante [To the theory of one class of two-dimensional weakly singular integral equation of Volterra type on the first quadrant], Doklady Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan [Reports of the Science Academy of the Tajikistan Republic], 57(4), 443-451 (2014).

2 Rajabova L. N., Khushvakhtov M. B. K teorii osobykh dvumernykh integral’nykh uravneniya tipa Vol’terra s osoboy i slabo-osoboy liniyey na polose [To theory of special two-dimensional integral equations of Volterra type with a singular and weakly singular line on the strip], Vestnik Tadzhikskogo natsional’nogo universiteta.

Seriya yestestvennykh nauk [Bulletin of the Tajik national University. Natural sciences series], 2017, №1/3, pp.

3-5.

3 Rajabova L. N., Khushvakhtov M. B. K teorii osobykh dvumernykh integral’nykh uravneniy tipa Vol’terra s osoboy i slabo-osoboy liniyey na polose v sluchaye, kogda parametry uravneniya ne svyazany mezhdu soboy [To the theory of special two-dimensional integral equations of the Volterra type with a singular and weakly singular line on the band in the case when the parameters of the equation are not connected with each other], Doklady Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan [Reports of the Science Academy of the Tajikistan Republic], 61(4), 331-337 (2018).

4 Khushvakhtov M. B. O nekotorykh sluchayakh dvumernykh integral’nykh uravneniy tipa Vol’terra s osoboy i slabo-osoboy liniyey na polose [Some cases of two-dimensional integral equations of Volterra type with a singular and weakly- singular line on the strip], Vestnik Tadzhikskogo natsional’nogo universiteta. Seriya yestestvennykh nauk [Bulletin of the Tajik national University. Natural Sciences series], 2019.- №1, pp. 44-49.

5 Rajabova L. N., Khushvakhtov M. B. K teorii dvumernykh integral’nykh uravneniy tipa Vol’terra s osoben- nostyami na polose [To the theory of two-dimensional integral equations of Volterra type with features on the strip], Sbornik trudov IV Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii "Aktual’nyye problemy nauki i obrazovaniya v sovremennom vuze" [The collection of work IV of international scientific and practical conference "Сurrent problems of science and education in modern university"], Sterlitamak, Bashkortostan, 2019, pp. 186-189

6 Khushvakhtov M. B. Granichnyye zadachi dlya dvumernykh integral’nykh uravneniy tipa Vol’terra s sil’no- osoboy i slabo-osoboy liniyey na polose [Boundary value problems for two-dimensional integral equations of Volterra type with strongly-singular and weakly- singular line on the strip], Materialy respublikanskoy nauch- noy konferentsii, posvyashchonnoy 80-letiyu vidnogo tadzhikskogo matematika, professora Beknazara Imom- nazarova [Materials of the Republican scientific conference dedicated to the 80th anniversary of the prominent Tajik mathematician, Professor Beknazar Imomnazarov] (Tajikistan, Dushanbe, June 10-11, 2019), Dushanbe, 2019, pp. 263-267.

7 Rajabov N. Integral’nyye uravneniya tipa Vol’terra s fiksirovannymi granichnymi i vnutrennimi singulyarnymi i sverkhsingulyarnymi yadrami i ikh prilozheniya [Volterra-type Integral equations with fixed boundary and inner singular and super singular nuclei and their applications].- Dushanbe, 2007, 222 pp.

Information about authors:

Раджабова Л.Н. - физика-математика ғылымдарының докторы, бас ғылыми қызметкер, Тәжiк ұлттық университетiнiң ғылыми-зерттеу институты, Рудаки даңғылы, 17, Душанбе, Тәжiкстан.

(13)

Хушвахтов М.Б.- матемитикалық анализ және функциялар теориясы кафедрасының аспиранты, Тәжiк ұлттық университетi, Рудаки даңғылы, 17, Душанбе, Тәжiкстан.

Radzhabova L.N.- doctor of physical and mathematical sciences, professor, chief researcher, research Institute, Tajik National University, Rudaki Avenue 17, Tajik National University, Dushanbe, 34025, Republic of Tajikistan.

Khushvakhtov M.B.- graduate student of the department of mathematical analysis and the theory of functions, Tajik National University, Rudaki Avenue 17, Dushanbe, 734025, Republic of Tajikistan.

Поступила в редакцию 02.12.2019

72

(14)

«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Компьютерлiк ғылымдар. Механика сериясы» журналына жiберiлетiн жұмыстарға қойылатын талаптар

Журнал редакциясы авторларға осы нұсқаулықпен толық танысып, журналға мақала әзiрлеу мен дайын мақаланы журналға жiберу кезiнде басшылыққа алуды ұсынады. Бұл нұсқаулық талаптарының орындалмауы сiздiң мақалаңыздың жариялануын кiдiртедi.

1. Автордың қолжазбаны редакцияға жiберуi мақала авторының басып шығарушы, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiне мақаласын басуға келiсiмiн және кез келген шетел тiлiне аударылып қайта басылуына келiсiмiн бiлдiредi.

2. Баспаға (барлық жариялаушы авторлардың қол қойылған қағаз нұсқасы және электронды нұсқасында) журналдың түпнұсқалы стильдiк файлының мiндеттi қолданысымен LaTeX баспа жүйесiнде дайындалған Tex- пен Pdf-файлындағы жұмыстар ұсынылады. Стильдiк файлды bulmathmc.enu.kz журнал сайтынан жүктеп алуға болады.

3. Мақаланың көлемi 6 беттен кем және 18 беттен артық болмауы тиiс. Талап деңгейiнен асқан жұмыстар редакциялық алқа отырысында қаралып, баспаға ерекше жағдайда ғана рұқсат етiледi.

4. Жұмыстың мәтiнi ХҒТАР (Халықаралық ғылыми-техникалық ақпарат рубрикаторы) кодының көрсеткiшiмен басталып, кейiн автор(лар)дың аты және тегi, жұмыс орнының толық атауы, қаласы, мемлекетi, Е-mail-ы, мақаланың толық атауы, аннотациясы көрсетiледi. Аннотация 150-200 сөз көлемiнде болуы тиiс, сонымен қатар мәтiнде күрделi есептiк формулалар болмауы, мақаланың толық аты қайталанбауы, жұмыстың мәтiнi мен әдебиеттер тiзiмiнде көрсетiлетiн сiлтемелер болмауы керек.

Аннотация мақаланың ерекшелiктерiн көрсететiн және оның құрылымын (кiрiспе, есептiң қойылымы, мақсаты, тарихы, зерттеу әдiстерi, нәтижелер және олардың талқылаулары, қорытынды) сақтайтын мақаланың қысқаша мазмұны болуы тиiс.

Журналдың потенциалды авторлары мақала құрылымы бойынша келесi талаптарды ұстанулары қажет:

- Мақала мәтiнiн түсiнудi қамтамасыз ететiн қажеттi белгiлер мен анықтамалар;

- Мақалада қарастырылатын есептiң қойылымы;

- Қарастырылатын есеп бойынша тарихи мәлiметтер - мақала тақырыбына сәйкес бұрын алынған нәтижелер кiммен және қашан алынғандығы туралы толық сiлтемелерiмен берiлган ақпарат;

- Кез келген ғылыми жұмыстың ең жауапты бөлiгi ретiнде мақаланың қажеттiлiгi мен өзектiлiгiн негiздеу;

- Мақалада қойылған есеп шешiмiн нақты тұжырымдау және сипаттау;

- Бұрын белгiлi мәнмәтiнiнде мақала нәтижесiнiң(нәтижелерiнiң) жаңалы?ын егжей-тегжейлi негiздеу;

- Есептiң шешiмi толық негiздеулермен (дәлелдемелермен) жабдықталуы тиiс.

Осы талаптардың ең болмағанда бiреуi сақталмаған жағдайда мақала қарастыруға қабылданбайды.

5. Жұмыстың мәтiнiнде кездесетiн таблицалар мәтiннiң iшiнде жеке нөмiрленiп, мәтiн көлемiнде сiлтемелер түрiнде көрсетiлуi керек. Суреттер мен графиктер PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX форматындағы стандарттарға сай болуы керек. Нүктелiк суреттер кеңейтiлiмi 600 dpi кем болмауы қажет.

Суреттердiң барлығы да айқын әрi нақты болуы керек.

6. Жұмыста қолданылған әдебиеттер тек жұмыста сiлтеме жасалған түпнұсқалық көрсеткiшке сай (сiлтеме беру тәртiбiнде немесе ағылшын әлiпбиi тәртiбi негiзiнде толтырылады) болуы керек. Баспадан шықпаған жұмыстарға сiлтеме жасауға тиым салынады.

Сiлтеменi беруде автор қолданған әдебиеттiң бетiнiң нөмiрiн көрсетпей, келесi нұсқаға сүйенiңiз дұрыс:

тараудың номерi, бөлiмнiң номерi, тармақтың номерi, теораманың номерi (лемма, ескерту, формуланың және т.б.) номерi көрсетiледi. Мысалы: «... қараңыз . [3; § 7, лемма 6]», «...қараңыз [2; 5 теорамадағы ескерту]». Бұл талап орындалмаған жағдайда мақаланы ағылшын тiлiне аударғанда сiлтемелерде қателiктер туындауы мүмкiн.

Қолданылаған әдебиеттер тiзiмiн рәсiмдеу мысалдары

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. –М: Физматлит, –1994, –376 стр. –кiтап 2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики –2014. –Т.54. № 7.

–С. 1059-1077. -мақала

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. – Москва, 2015. –С.141-142. –конференция еңбектерi

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. –Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. –С.7. – газеттiк мақала

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии //

Cибирские электронные математические известия –2017. –Т.14. –С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057.

– URL: http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронды журнал 136

(15)

7. Әдебиеттер тiзiмiнен соң автор өзiнiң библиографикалық мәлiметтерiн орыс және ағылшын тiлiнде (егер мақала қазақ тiлiнде орындалса), қазақ және ағылшын тiлiнде (егер мақала орыс тiлiнде орындалса), орыс және қазақ тiлiнде (егер мақала ағылшын тiлiнде орындалса) жазу қажет. Соңынан транслиттiк аударма мен ағылшын тiлiнде берiлген әдебиеттер тiзiмiнен соң әр автордың жеке мәлiметтерi (қазақ, орыс, ағылшын тiлдерiнде – ғылыми атағы, қызметтiк мекенжайы, телефоны, e-mail-ы) берiледi.

8. Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қаласы, Қ.Сәтпаев көшесi, 2, Л.Н.

Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Бас ғимарат, 402-кабинет. Телефоны: (7172) 709-500 (iшкi 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

(16)

Provision on articles submitted to the journal

"Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.

Mathematics. Computer Science. Mechanics Series"

The journal editorial board asks the authors to read the rules and adhere to them when preparing the articles, sent to the journal. Deviation from the established rules delays the publication of the article.

1. Submission of articles to the scientific publication office means the authors’ consent to the right of the Publisher, L.N. Gumilyov Eurasian National University, to publish articles in the journal and the re-publication of it in any foreign language.

2. The scientific publication office accepts the article (in electronic and printed, signed by the author) in Tex- and Pdf-files, prepared in the LaTeX publishing system with mandatory use of the original style log file. The style log file can be downloaded from the journal websitebulmathmc.enu.kz.

3. The volume of the article should not exceed 18 pages(from 6 pages). The article, exceeding this volume is accepted for publication in exceptional cases by a special decision of the journal Editorial Board.

4. The text of the article begins with the IRSTI (International Rubricator of Scientific and Technical Informa- tion), then followed by the Initials and Surname of the author (s); full name of organization, city, country; E-mail of the author (s); the article title; abstract. Abstract should consist of 150-250 words, it should not contain cumbersome formulas, the content should not repeat the article title, abstract should not contain references to the text of the article and the list of literature), abstract should be a brief summary of the article content, reflect- ing its features and preserving the article structure - introduction, problem statement, goals, history, research methods, results with its discussion, conclusion.

Potential authors of the journal should adhere to the following rules on the structure of the article point by point with headings:

- The necessary notation and definitions to ensure understanding of the text of the article;

- Statement of the problem, the solution of which the article is devoted to;

- Historical information on the statement of the problem - by whom and when the results were obtained that preceded the topic of the article with the corresponding full links;

- Justification of the necessity and relevance of the task of the article, as the most critical part of any scientific work;

- The exact wording and description of the solution to the problem presented in the article;

- A detailed justification of the novelty of the result (s) of an article in the context of a previously known one;

- The solution to the problem should be provided with detailed justifications (evidence).

If at least one of these requirements is not observed, the article is not accepted for consideration.

5. Tables are included directly in the text of the article; it must be numbered and accompanied by a reference to them in the text of the article. Figures, graphics should be presented in one of the standard formats: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Bitmaps should be presented with a resolution of 600 dpi. All details must be clearly shown in the figures.

6. The list of literature should contain only those sources (numbered in the order of quoting or in the order of the English alphabet), which are referenced in the text of the article. References to unpublished issues, the results of which are used in evidence, are not allowed. Authors are recommended to exclude the reference to pages when referring to the links and guided by the following template: chapter number, section number, paragraph number, theorem number (lemmas, statements, remarks to the theorem, etc.), number of the formula. For example, "..., see [3, § 7, Lemma 6]"; "..., see [2], a remark to Theorem 5". Otherwise, incorrect references may appear when preparing an English version of the article.

Template

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр.-book

2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7.

-С. 1059-1077. -journal article

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. - -Conferences proceedings

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7.

newspaper articles

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии //

Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057.

- URL: http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -Internet resources 7. At the end of the article, after the list of references, it is necessary to indicate bibliographic data in Russian and English (if the article is in Kazakh), in Kazakh and English (if the article is in Russian) and in Russian and Kazakh languages (if the article is English language). Then a combination of the English-language

138

(17)

and transliterated parts of the references list and information about authors (scientific degree, office address, telephone, e-mail - in Kazakh, Russian and English) is given.

8. Address: 010008, Republic of Kazakhstan, Nur-Sultan, Satpayev St., 2., L.N. Gumilyov Eurasian National University, Main Building, room 402). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.