Просмотр « ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ»

(1)

Журнал проблем эволюции открытых систем

0

3

𝜃 ln [ ],

УДК 533.9.01

Ю.В.Архипов¹, А.Аскарулы¹, А.Б.Ашикбаева¹, А.Е. Давлетов¹, И.М.Ткаченко²

1КазНУ им. аль-Фараби¹, Алматы-Казахстан;

2Валенсийский политехнический университет², Испания

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ Аннотация. В данной работе представлены результаты расчетов тормозной способ- ности тяжелых заряженных частиц в однокомпонентной и в двухкомпонентной плазме для известных моделей диэлектрической функции, и проведено сравнение с результатами, по- лученными в соответствующих приближениях метода моментов.

Ключевые слова: тормозная способность плазмы, метод моментов, диэлектриче- ская функция Мермина, приближение хаотических фаз, локальное поле.

Введение где для расчета функции

В настоящее время одной из задач, воз-

никающих в связи с проблемой осуществле- 𝑔(𝑥) = ∫^∞ _exp(𝐷𝑦^𝑦𝑑𝑦₂_−𝜂)+1𝑙𝑛 |^𝑥+𝑦|необходимо

𝑥−𝑦

ния управляемого термоядерного синтеза, яв- ляется нагрев плазмы, для решения которого в последнее время все чаще стали применять пучки заряженных ионов. Основным преиму- ществом такого подхода является возмож-

знание параметра 𝐷 = 𝜃⁻¹и 𝜂 = 𝛽𝜇, безраз- мерного химического потенциала электрон- ной подсистемы, который должен быть опре- делен из условия нормировки,

𝐹_1/2(𝜂) = ²𝐷^3/2.

ность более сильного нагрева плазмы [1-3]. Здесь𝐹 (𝜂) = ∫^∞ 𝑥^𝜈 𝑑𝑥-это интеграл При этом эксперименты, связанные с взаимо-

действием плазмы и движущегося в ней ион-

𝜈

Ферми. 0 exp(𝑥−𝜂)+1

ного пучка, стимулировали разработку теоре- тических методов определения потерь энер- гии заряженной частицы в плазменной среде,

Мнимая часть диэлектрической функ- ции вПХФ записывается следующим обра- зом: 𝜀𝑖(𝑘, 𝜔) =

т.е. изучение, так называемой, тормозной способности плазмы, обусловленной поляри-

1 8𝑧³𝑘𝐹

1+𝑒𝑥𝑝{𝐷[1−(𝑢−𝑧)²]}

1+𝑒𝑥𝑝{𝐷[1−(𝑢+𝑧)²]}

зационными потерями. Здесь и выше введены следующие обозначе- Такие потери определяются с использо-

ванием соответствующих диэлектрических

ния 𝑢 = ^𝜔

𝑘𝜈𝐹 и𝑧 = ^𝑘

2𝑘𝐹 , под 𝜈𝐹, 𝑘𝐹подразумева- функций. Поэтому целью данной работы яв-

ляется анализ различных моделей диэлектри- ческой функции, используемых для опреде- ления энергетических потерь частиц при про-

ется скорость и волновое число Ферми, 𝜈𝐹 = ℏ𝑘𝐹, 𝑘𝐹 = (3𝜋²𝑛)^1/3, ℏ– постоянная Планка.

В формулировке Мермина диэлектри- ческая функция среды записывается в виде [5]:

хождении через плазму.

Модели диэлектрических функций Знание диэлектрической функции, за-

𝜀𝑀 (𝑘, 𝜔) = 1 + (𝜔 + 𝑖𝜈)[𝜀𝑅𝑃𝐴(𝑘, 𝜔 + 𝑖𝜈) − 1]

𝜔 + 𝑖𝜈[𝜀𝑅𝑃𝐴(𝑘, 𝜔 + 𝑖𝜈) − 1]/[𝜀𝑅𝑃𝐴(𝑘, 0) − 1]

(2) висящей от волнового числа и частоты, необ- Здесь 𝜈 =² √^2𝜋 ^𝑒⁴^𝑛 Λ - статическая ходимо для исследования диэлектрических

характеристик плазмы.

В приближении хаотических фаз (ПХФ) диэлектрическая функция определяется как [4]:

𝜀𝑅𝑃𝐴(𝑘, 𝜔) = 𝜀𝑟(𝑘, 𝜔) + 𝑖𝜀𝑖(𝑘, 𝜔), (1) причем действительная часть записывается как

3 𝑚 (𝑘𝐵𝑇)3/2

частота столкновений. Для ее расчета необходимо знание обобщенного кулоновского логарифма Λ, который может быть определен через статические структурные факторы 𝑆𝑎𝑏(𝑘) (𝑎, 𝑏- сорта частиц) с помощью формулы Грина-Кубо [6]:

∞ 𝑑𝑘 𝑆𝑒𝑒(𝑘)𝑆𝑖𝑖(𝑘)−𝑆²(𝑘)

1 Λ = ∫₀ 2 2 𝑒𝑖 , (3)

𝜀𝑟(𝑘, 𝜔) = 1 +

4𝑧³𝜋𝑘𝐹 [𝑔(𝑢 + 𝑧) − 𝑔(𝑢 − 𝑧)], ^𝑘 ^{(1+𝑘 𝜆}^𝑒𝑖⁾²

(2)

𝑒𝑖

𝜀⁻¹( , 𝑧 = 1 + ) ^𝑝𝑘 . (4)

𝑝 2 1

𝑝 𝑝

𝜔 𝜔

0 0

𝑝 𝑝

2 2

𝜆 = ^ℏ - это длина волны де Бройля,

√𝜋𝜇𝑒𝑖𝛽−1

𝜇𝑒𝑖-приведенная масса.

В неидеальной плазме, для учета взаи- модействий между электронами системы в моделях Мермина и ПХФ, мы ввели поправку на локальное поле (ДФЛП) по Ишимару [7], такие модели мы назвали расширенными приближениями ПХФ и Мермина.

Если в (2) вместо постоянной частоты столкновений 𝜈 использовать так называемую динамическую частоту

Поляризационные потери в плотной плазме

В 1930 г. Бете вывел формулу для по- терь энергии быстрой частицей, предполагая, что атомы среды ведут себя как квантово-ме- ханические осцилляторы [9]. Позже, Ларкин показал, что в случае, когда быстрые ионы пронизывают электронный газ, применима аналогичная формула, но с заменой средней частоты возбуждения на плазменную ча- стоту𝜔𝑝:

−^𝑑𝐸≃ (^𝑍^𝑝^𝑒𝜔^𝑝)²𝑙𝑛 ^2𝑚𝜐², соударений 𝜈(𝜔), то область применимости

этого выражения предположительно ^𝑑𝑥 ^𝜐 ^ℏ𝜔^𝑝 (12)

расширяется и его можно использовать в плотной неидеальной плазме, как это было сделано в [8].

Применяя метод моментов, можно легко получить выражение для обратной ди- электрической функции

𝜔²(𝑄(𝑘,𝑧)+𝑧) 𝑧(𝑧²−𝜔²(𝑘)+𝑄(𝑘,𝑧)(𝑧²−𝜔²))

где𝑍𝑝𝑒 и 𝜐 - заряд и скорость налетающей ча- стицы.

В [10, 11] было показано, что в полно- стью ионизованной водородной плазме со слабозатухающей ленгмюровской модой, плазменная частота в кулоновском лога- рифме должна быть заменена значением ча- Частоты𝜔 (𝑘) и ² ¹ стоты ленгмюровской моды, 𝜔𝐿(𝑘), в длин-

1 𝜔2(𝑘) определяются соот- новолновом приближении, ветствующими отношениями моментов

𝐶𝜈(𝑘): 𝜔²(𝑘) = ^𝐶²^(𝑘), 𝜔²(𝑘) =^𝐶⁴^(𝑘), а 𝜔𝐿(𝑘) = 𝜔𝑝√1 + 𝐻: ₂

1 𝐶0(𝑘) 2 𝐶2(𝑘) − ^𝑑𝐸≃ (^𝑍^𝑝^𝑒𝜔^𝑝)²𝑙𝑛 ^2𝑚𝜐 ,

𝑄(𝑘, 𝑧) = 𝐴√𝜔⁵𝜔(1 + 𝑖) + 𝑖 𝜔²(𝑘) − 𝜔²(𝑘) 1 ∞ 2

𝑑𝑥 𝜐 ℏ𝜔𝑝√1+𝐻

(13) 𝜔²(𝑘) − 𝜔²(𝑘) 𝜈 где𝐻 = ₂∫₀ 𝑝 𝑆𝑒𝑖(𝑝)𝑑𝑝, а 𝑆𝑒𝑖(𝑟) - элек-

2 1 6𝜋 𝑛

- функция-параметр Неванлинны, где 𝐴 = трон-ионный статический структурный фак-

√2

𝑟^3/4. тор.

3^5/4 𝑠

Вычисление моментов, то есть, так Поправка, введенная в асимптотику Бете-Ларкина позволит непосредственно ис- называемых, правил сумм, позволяет запи-

сать выражения для них в следующем виде 𝐶0 = 1 − 𝜀⁻¹(𝑘, 0) = 1 − 𝜀⁻¹(𝑘), (5)

𝐶2 = 𝜔², (6)

𝐶4 = 𝜔⁴(1 + 𝐾(𝑘) + 𝑈(𝑘) + 𝐻). (7) Здесь учитываются квантовые и корреляци- онные свойства плазмы:

𝐾(𝑘) = ^〈𝜈^𝑒^〉²^𝑘²+ ( ^ℏ )^{2 𝑘}², (8)

2𝑚

следовать корреляционные эффекты в плазме с высокой плотностью энергии, например, в плазме, изучаемой в астрофизике и физике космоса, в плазме внутренних слоев планет, в плазме инерциального синтеза, металлов и, в целом, в плазме конденсированного состоя- ния вещества.

В пренебрежении потерями на иониза- цию и столкновения, для расчета энергетиче- ских потерь быстрой частицы, проходящей 𝐻 = ¹

6𝜋²𝑍√𝑛𝑒𝑛𝑖 ∫^∞𝑞²𝑆𝑒𝑖(𝑞)𝑑𝑞, (9)𝑈(𝑘) = сквозь кулоновскую систему, используется поляризационный механизм, который стано-

(1/2𝜋²𝑛𝑒) ∫^∞𝑝²[𝑆𝑒𝑒(𝑝) − 1]𝑓(𝑝, 𝑘)𝑑𝑝,

(10)

〈𝜈𝑒〉²–квадрат средней тепловой скорости электронов, 𝑚 – их масса,

𝑓(𝑝, 𝑘) =⁵ − ( ^𝑝²) + ^(𝑘²^−𝑝²⁾𝑙𝑛 |^𝑝+𝑘|

вится более точным с увеличением кинетиче- ской энергии частицы. В 1959 году Линхард получил выражение, связывающее потери энергии за счет поляризации с диэлектриче-

12 4𝑘2 8𝑝𝑘3 𝑝−𝑘 .(11) ской функцией среды [12]: _𝑑𝐸

= ^2(𝑍^𝑝^𝑒)²∫^{∞ 𝑑𝑘}∫^𝑘𝜐𝜔𝐼𝑚𝜀⁻¹(𝑘, 𝜔)𝑑𝜔. (14)

𝑑𝑥 𝜋𝜐2 0 𝑘 0

(3)

Данное соотношение дает связь поляри- зационных потерь энергии движущейся заря- женной частицы в плазме с продольной ди- электрической проницаемостью среды 𝜀(𝑘, 𝜔). Из его вида можно заключить, что потери энергии пробного заряда в плазме не зависят от массы тормозящейся частицы, а зависят только от ее заряда 𝑍𝑝𝑒 и скорости 𝜐.

Формула (14) для вычисления поляри- зационных потерь энергии пробного заряда, движущегося в плазме, справедлива в одно- частичном приближении, при котором тор- можение ионного пучка представляется как

торможение единичных, не взаимодействую- щих между собой ионов. Такое приближение справедливо для плотностей ионного потока много меньших плотности среды, что выпол- няется для большинства современных экспе- риментов.

Следует отметить, что данные поляри- зационных потерь энергии пробных зарядов в плазме хорошо согласуются с эксперимен- том при больших скоростях пробного заряда.

В данной работе исследуется тормозная способность (14) модельной ОКП и ДКП для моделей диэлектрических функций описан- ных выше.

Кружочки – модель Мермина, квадратики – расширенная модель Мермина, ромбики – приближение ПХФ, треугольники – расширенное приближение ПХФ, перевернутые треугольники – метод моментов, сплошная линия – асимптотика Бете-Ларкина (12). Нижние кривые для𝐺 = 0.11, верхние кривые для 𝐺 = 1.1, 𝑟𝑠 = 2.5256

Рисунок 1 ‒ Тормозная способность однокомпонентной плазмы

(4)

Кружочки – модель Мермина, квадратики – расширенная модель Мермина, ромбики – приближение ПХФ, треугольники – расширенное приближение ПХФ, перевернутые треугольники – метод моментов, сплошная линия – модифицированная асимптотика Бете-Ларкина (13). Нижние кривые для 𝐺 = 0.11, верхние кривые для 𝐺 = 1.1, 𝑟𝑠 = 2.5256

Рисунок 2 ‒ Тормозная способность двухкомпонентной плазмы

Заключение

В данной работе представлены резуль- таты расчетов поляризационных потерь тя- желых заряженных частиц в электронных жидкостях и в двухкомпонентной плазме для всех моделей, рассмотренных выше, и прове- дено сравнение с результатами, получен- ными в соответствующих приближениях ме- тода моментов и с асимптотическими фор- мами (15) и (16), соответственно. Общие вы- воды состоят в следующем.

1) Воспроизведены численные резуль- таты, полученные для торможения заряжен- ных частиц в электронных жидкостях, при- веденные в работах Баррига-Карраско [4].

Соответствующие кривые, которые пред- ставляют зависимость потерь в электронной жидкости от скорости налетающих частиц, всегда располагаются ниже кривой асимпто- тической формы (15).

2) При рассмотрении торможения в двухкомпонентной полностью ионизованной водородоподобной плазме, т.е. при учете ионного вклада в ДФ плазмы, полученную

методом моментов и электрон-ионных взаи- модействий, поляризационные энергетиче- ские потери усиливаются и соответствующие кривые лежат над кривой асимптотической формы (16).

3) Что касается поляризационных потерь в двухкомпонентной плазме, рассчитанных в рамках диэлектрического формализма через функции потерь, полученные в рамках моде- лей ПХВ и Мермина, то такое повышение наблюдается также в расширенном прибли- жении случайных фаз (ПХФ + ДФЛП), но не в расширенной модели Мермина.

Список литературы

1 Arnold R.C., Meyer-ter-Vehn J. Pro- duction of density plasmas by ion beams //

Rep.Prog.Phys. – 1987. - Vol.50. - P.559.

2 Jacoby J., Hoffmann D.H.H., Laux W., Muller R.W., Wahl H., Weyrich K., et. al.

Stopping of heavy ions in a hydrogen plasma. //

Phys.Rev.Lett. – 1995. - Vol.74. - P. 1550-1553.

3 Hoffmann D.H.H., Weyrich K., Wahl H. Energy loss of a heavy ions in a plasma target.

(5)

// Phys. Rev. A. – 1990. - Vol. 42. - P. 2313- 2321.

4 Barriga-Carrasco M.D. Effects of target plasma electron-electron collisions on corre- lated motion of fragmented H2+

protons // Phys.

Rev. E. – 2006. - Vol. 73. – Р. 026401; Barriga- Carrasco M.D. Influence of damping on proton energy loss in plasmas of all degeneracies //

Phys. Rev. E. – 2007. - Vol. 76. – Р. 016405;

Barriga-Carrasco M.D. Dynamical local field corrections on energy loss in plasmas of all degeneracies // Phys. Rev. E. – 2009. - Vol. 79. – Р. 027401; Barriga-Carrasco M.D. Proton stopping using a full conserving dielectric function in plasmas at any degeneracy Phys. Rev. E. – 2010.

- Vol. 82. – Р. 046403

5 Mermin N.D. Lindhard Dielectric Function in the Relaxation-Time Approximation // Phys. Rev. B. – 1970. - Vol. 2. - № 5.

6 Arkhipov Yu. V., Ashikbaeva A.B., Baimbetov F.B., Davletov A.E., Starikov K.V.

Dissipation of plasmons in semiclassical plasmas // IV International conference “Plasma Physics and Plasma Technology”, Contributed Papers. – 2003. – Vol.1. – P. 233 – 235.

7 Ichimaru S. Statistical Plasma Physics // Addison-Wesley, New York. – 1991. – Vol. 1;

Ichimaru S. Statistical Plasma Physics: Con- densed Plasmas // Addison-Wesley, New York.

- 1994. - Vol. 2.

8 Morozov I. , Reinholz H., Röpke G., Wierling A., and Zwicknagel G., Molecular dy- namics simulations of optical conductivity of dense plasmas // Phys. Rev E. – 2005. – Vol.71.

– P. 066408 (12 р.).

9 Bethe H. Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie [Theory of the Passage of Fast Corpuscular Rays Through Matter] // Ann. Physik – 1930. – Vol.

397. - P. 325-400.

10 Ballester D. and Tkachenko I. M.

Fast-projectile stopping power of quantal multi- component strongly coupled plasmas // Phys.

Rev. Lett. – 2008. – Vol. 101. - P. 075002.

11 Архипов Ю.В., Ашикбаева А.Б., Аскарулы А., Давлетов А.Е., Паласи Д., Тка- ченко И.М. Торможение релятивистских ионов в неидеальной плазме // 8-ая Междуна- родная научная конференция «Современные достижения физики и фундаментальное фи- зическое образование» - Алматы, 2013. - C.

95-96.

Arista N. R. Low-velocity stopping power of semidegenerate quantum plasmas // J. Phys. C:

Solid State Physics. – 1985. – Vol. 18. – P.

5127.

Принято в печать 01.02.2016

Ю.В.Архипов¹, А.Аскарулы¹, А.Б.Ашикбаева¹, А.Е. Давлетов¹, И.М.Ткаченко²

1КазНУ им. аль-Фараби, Алматы-Казахстан;

2Валенсийский политехнический университет, Испания

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ Аннотация. В данной работе представлены результаты расчетов тормозной способности тяжелых заряженных частиц в однокомпонентной и в двухкомпонентной плазме для извест- ных моделей диэлектрической функции, и проведено сравнение с результатами, полученными в соответствующих приближениях метода моментов.

Ключевые слова: тормозная способность плазмы, метод моментов, диэлектрическая функция Мермина, приближение хаотических фаз, локальное поле.

Ю.В.Архипов¹, Ә.Асқарұлы¹, Ә.Б.Ашықбаева¹, А.Е.Давлетов¹, И.М.Ткаченко ²

1Әль-Фараби атындағы ҚазҰУ, Алматы, Қазақстан

2Валенсия политехникалық университеті, Испания

ТЫҒЫЗ ПЛАЗМАДАҒЫ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕРДІҢ

(6)

ЭНЕРГЕТИКАЛЫҚ ШЫҒЫНЫ

Аннотация. Бұл жұмыста диэлектрлік функциясының белгілі модельдері үшін бір-ком- поненті және екі компонентті плазмадағы ауыр зарядталған бөлшектердің тежелу қасиетінің есептеу нәтижелері ұсынылады, және олардың моменттер әдісінің тиісті жуықтауды алынған нәтижелермен салыстыру жүргізілген.

Түйінді сөздер: плазманың тежелу қасиеті, моменттер әдісі, Мерминнің диэлектрлік функциясы, кездейсоқ фазалық жуықтау, локалды өріс.

Yu.V. Arkhipov¹, A.Askaruly¹, A.B.Ashikbayeva¹, A.E. Davletov¹, I.M.Tkachenko ²

Al-Farabi Kazakh National University, IETP, Almaty, Kazakhstan (1);

Polytechnic university of Valencia, Valencia, Spain (2)

ENERGY LOSS OF CHARGED PARTICLES IN DENSE PLASMA

Abstract. This paper presents the results of calculations of the stopping power of heavy charged particles in an one-component and two-component plasma for known models of the dielectric function, and compared with the results obtained in the corresponding approximations of the method of moments.

Keywords: plasma stopping power, method of moments, Mermin dielectric function, random phase approximation, local field.