Просмотр « Монопольные решения в классической SU(3) калибровочной теории»

Теориялық физика Теоретическая физика Theoretical Physics

УДК 524.1; 52-1/-8:530.12; 524.8

Е.С. Алдабергенов, В.Д. Джунушалиев

^*

Казахский национальный университет имени аль-Фараби, НИИ экспериментальной и теоретической физики, Казахстан, г. Алматы

*E-mail: v.dzhunushaliev@gmail.com

Монопольные решения в классической SU(3) калибровочной теории

Рассматриваются монопольные решения в неабелевой SU(3) калибровочной теории Янга-Миллса-Хиггса.

Используя сферически симметричный анзац для SU(3) калибровочного и хиггсовского поля, получены уравнения Янга-Миллса-Хиггса, а также уравнения Богомольного. Показано, что в данном статическом случае уравнения Янга-Миллса-Хиггса следуют из уравнений Богомольного. Система дифференциальных уравнений Богомольного, состоящая из четырех уравнений первого порядка, была преобразована в систему, состоящую из двух алгебраических и двух дифференциальных уравнений второго порядка. Путем разложения в ряд Тейлора получены приближенные аналитические решения в центре монополя. Также исследовано асимптотическое поведение монопольных решений. Полное решение получено в численном виде. Показано, что данные монопольные решения зависят от двух параметров. Получена зависимость энергии SU(3) монополя от этих параметров. На плоскости параметров, определяющих монопольные решения, получена кривая, разделяющая регулярные и сингулярные решения.

Ключевые слова: магнитные монополи, регулярные решения, SU(3) калибровочная теория, уравнения Богомольного.

Е.С. Алдабергенов, В.Д. Джунушалиев Классикалық SU(3) калибровтық теориясындағы

монополиялық шешімдер

Абельді емес SU(3) Янг-Миллс-Хиггс калибровтік теориясындағы монополиялық шешімдер қарастырылды.

SU(3) калибровтік жəне Хиггс өрістері үшін сферикалық симметриялы анзацты колдана отырып Янг-Миллс- Хиггс теңдеулері алынды, сонымен қатар Богомольді теңдеулері алынды. Осы статистикалық жағдайда Янг- Миллс-Хиггс теңдеулері Богомольді теңдеулерінен шығатындығы көрсетілді. Төрт бірінші ретті теңдеуден тұратын Богомольді теңдеулер жүйесі екі алгебралық жəне екі дифференциалдық теңдеуден тұратын жүйеге айналдырылды. Тейлор қатарына жіктеу арқылы монополиялық орталығында жуық аналитикалық шешімдер алынды. Сонымен қатар, монополиялық шешімдердің асимптотикалық тəлімі зерттелді. Толық шешім санды түрде табылды. Осы монополиялық шешімдер екі параметрге тəуелді екендігі көрсетілді. SU(3) монополиясының осы параметрлерге тəуелділігі табылды. Параметрлер жазықтығында регулярлы жəне сингулярлы шешімдерді бөлетін қисық сызық алынды.

Түйін сөздер: магнитық монополия, регулярлы шешімдер, SU(3) калибровтық теория, Богомольді теңдеулері.

Y. Aldabergenov, V. Dzhunushaliev

Monopole solutions in classical SU(3) gauge theory

We consider monopole solutions in nonabelian SU(3) Yang – Mills – Higgs gauge theory. Using spherically symmetric ansatz for SU(3) gauge and scalar fields, we obtain Yang – Mills – Higgs equations as well as Bogomol’nyi equations. We show that statically Yang – Mills – Higgs equations follow from Bogomol’nyi equations.

Bogomol’nyi equation system comprising four first-order differential equations was transformed into the system consisting of two second-order differential equations, and two algebraic equations. By Taylor-expanding equations, we obtain approximate analytical solutions at the centre of the monopole. We also consider asymptotic behavior of the monopole solutions. Complete solution is obtained numerically. We show that the monopole solutions depend on two parameters, and we obtain the dependence of the energy of the monopole on these parameters. On the parameters plane we obtain a curve that separates regular and singular solutions.

Key words: magnetic monopole, regular solutions, SU(3) gauge theory, Bogomol’nyi equations.

Введение

В 1931 году Дирак показал, что существование магнитных монополей не противоречит уравнениям классической электродинамики [1]. Также их существование приводит к квантованию электрического заряда и делает уравнения Максвелла симметричными по отношению к замене электрического поля на магнитное. К сожалению, монополь Дирака является сингулярным. Эта проблема была решена Г. ‘т Хоофтом и А.М. Поляковым в 1974 году, после того, как они независимо нашли решения уравнений в SU(2) калибровочной теории Янга-Миллса-Хиггса, соответствующие магнитному монополю с конечной энергией [2], [3]. Более того, они показали, что существование магнитных монополей является обязательным в единых полевых теориях, нарушающихся до компактной калибровочной группы U(1). С тех

пор были найдены различные монопольные решения (обладающие как сферической [4], [5], так и другими видами симметрий [6], [7]), в том числе и для суперсимметричных теорий Янга- Миллса [5], [8]. В статье [7] показано, что существуют решения в виде пар монополь- антимонополь, а также цепочек таких пар.

Найдены решения, соответствующие SU(2) монополю с полузарядом, который может сосуществовать с монополем ‘т Хоофта- Полякова [9], [10]. В данной работе целью является получение и исследование в численном виде монопольных решений в классической SU(3) теории Янга-Миллса- Хиггса.

Уравнения Янга-Миллса-Хиггса

Лагранжиан теории Янга-Миллса с учетом скалярного, хиггсовского, поля [11], [12] имеет следующий вид:

� � � 1

4 �

^���

�

_��^�

� 1

2 ��

^�

��

^�

��

_�

��

^�

� �

4 ��

^�

�

^�

� �

^�

�

^�

, (1) где �

_��^�

� �

_�

�

_�^�

� �

_�

�

_�^�

� ��

^���

�

_�^�

�

_�^�

– тензор

напряженности поля Янга-Миллса, �

��

– калибровочное поле, �

�

� �

�

� ��

^���

�

��

– ковариантная производная, � – константа взаимодействия, �

^���

– структурные константы. Третье же слагаемое в лагранжиане – потенциал хиггсовского поля �, где

� – безразмерный параметр, � – параметр с размерностью массы (в единицах � � � � 1);

�, � � �, 1, 2, �; Для группы SU(3) � � 1 � �.

Соответственно хиггсовские поля обра- зуют октет �

^�

. В присутствии скалярного поля в уравнениях Янга-Миллса появляется источник:

��

^�

�

_��

�

^�

� �

_�^�

� ��

^���

�

^�

��

_�

��

^�

. (2) Вместе с уравнениями скалярного поля,

��

_�

�

^�

��

^�

� ���

^�

��

^�

�

^�

� �

^�

�, (3) они образуют систему уравнений Янга-Миллса-Хиггса.

Сферически симметричный анзац для SU(3) системы Янга-Миллса-Хиггса в калибровке �

_�^�

� �

будет иметь форму [13], [14]

где i, j, k координаты

� – радиус функции. �

где штрихо Уравне Решени

�

_�^�

� �. В э

где ���

имеют след

Энерги

Подста

Рису

k = 1, 2, 3 ы, �, �, � – с, ����, ����,

� � �

^�

�

^�

,

ом обознача ения Богом ия мы ищем

этом случае

�� – потенц дующий вид

и при этом

вляя анзац (

унок 1 – Реш

�

_�^�

� ��

_��^�

� � 2��

��

3;, �

^�

, �

^�

– – декартовы

, ����, ����

где �

^�

– м

�

^�

�

�

^�

ается произв мольного

м в статич энергия опр

� � �

� � �

^�

� � циал Хиггса д

(в пределе Б

(4) и (5) в ур

ения уравнен

� �

_��^�

� �

^�

��

^�

��

���

�

��

^�

� � � – сферическ ы координат – радиальн матрицы Ге

�

^��

� �

^�

� �

�

^��

� �

^�

� �

�

^�

�

^��

�

�

^�

�

^��

водная по ра ческом виде ределяется с

� �

^�

� � 1 2 ���

�

�

��

_��^�

� �

���

� а. Условия,

�

_��^�

� � БПС, � � �

�

_���

� равнения (8)

���

ний (13) в чис

���� � 1� �

�

^�

� � �

^�

�� �

кие ты, ные лл-

Ма ан ур сф

� � ���

^�

�

� � ���

^�

�

� ����

^�

�

� 2���

^�

� адиусу �.

е (�

_�

�

_�^�

� � следующим

�

�

�

^�

�

^�

� 1 2 �

�

^�

�

^�

�

^�

�

^�_�

при которы

��

_���

�

^�

�

^�

, [4][11]) рав

� � �

^�

� � 1 ), получаем 2

� 2�

^�

� 2�

��� � � � 2��

^�

� ��

2��

^�

� ��

сленном виде

�

_��^�

��

_���

�

^�

�

� 1

2 �

^�

��

_��^�

� анна, �

^�_��

– э

зац (4), (5) в авнения Я ферической с 2��� � ���

2��� � ���

�

^�

� � 12���

�

^�

� � ����

�

_�

�

^�

� �) с м образом [1

�

_��^�

�

^�

� � ���

�

^���

�

_��^�

�

�

� ых функцио

�

_�

на

�

^���

�

_��^�

�

_�

� уравнения Б

�

^�

� � � 2, 12��,

� ��,

� � ��.

е (�, �) и пло

� �

_���

�

^�

� �

^�

�

^�

�

_��^�

� �

^�

�

^�

�

^�

��

элементы эт в уравнения Янга-Миллса

системе коо

�

^�

� �

^�

�,

�

^�

� �

^�

�,

�, �,

с учетом вы 1]:

���

�

� �����, онал энерги

���

� �.

�

�.

Богомольно

отность энерг

����,

���,

тих матриц.

я (2) и (3), м а в явном ординат:

ыбранной к

ии (7) имеет

ого:

гии ���� моно

(4) (5) Подставляя ы получаем м виде в

(6)

калибровки,

(7)

т минимум,

(8)

(9)

(10)

ополя

я м в

,

,

Легко Богомольн Миллса-Хи

В итоге

Таким второго пор

Числен Решени

Рисунок

После п

показать, ого следу иггса, одна

е исходные ф

образом, ур рядка для ф

нное решен ие уравнени

к 2 – А. Зави

решени подстановки

что из уют уравн ако, обрат

функции �,

равнения (1 функций � и

й (13) в нач ие

исимость энер ия с конечной

и (14) в урав

�

_�

�

з уравнен нения Ян тное невер

�, �, � выра

� �

� � � � 2 �

�

0) переходя �:

�

^�

�

�

^�

�

але координ

� � �

�

�

� � �

_�

�

ргии монопол й энергией (за внения Бого

��

_�

,��� �

_�

� нга- ний рно.

Ур ди ур

� � � �

� � � � ажаются чер

� � � � 2 , �

�

^�

� �

�

^�

� � , ят в следую

� �

^�

� �

�

� 2�

^�

� �

^�

� �

�

� 2�

^�

нат ищем в с

� �

_�^�

� � �

_�^��

� 2

� �

_�^�

� � �

_�^��

� 2

ля от �

_�^�� и �_�^�

акрашенная о омольного (1

� ��, �

_�^��

равнения ( ифференциал

авнениям за

� �,

� �.

рез � и � сле

� � � � � 2 ,

� � � 2 �

�

^�

� � ющую систем

�

� �

^�

� �,

�

� �

^�

� �.

следующем

�

^�

2 � �

^����

�

^�

�

^�

6 2 � �

^����

�

^�

6

���. Б. Плоско

область) от си 13) получаем

� ��

_�^��

, �

(10) можно льным и аменой:

едующим об

� �

^�

� �.

му диффере

виде:

� �

� �

ость �

_�^��, �_�^���,

ингулярных р м

����

� ��

_�^���

.

о привести двум алгеб

бразом:

енциальных

где кривая р решений

.

и к двум браическим (11)

(12)

х уравнений

(13)

(14)

разделяет

(15) м м

й

Это означает, что существует два независимых параметра: ߙ

_଴^ᇱᇱ

и ߙ

_଴^ሺଷሻ

. Используя уравнения (15) и взяв ߙ

_଴

ൌ ߚ

_଴

ൌ ͳ и ߙ

_଴^ᇱᇱ

ൌ

ߙ

_଴^ሺଷሻ

ൌ ͳ, мы получаем регулярное решение, представленное на рисунке 1 (ߙ и ߚ). При ݎ ՜ λ, функции ߙ и ߚ принимают вид:

ߙ ൎ ܣ

_ଵ

ݎ݁

^஺మ௥

,

ߚ ൎ ܤ

_ଵ

ݎ݁

^஻మ௥

, (16)

где ܣ

_ଵ

ǡ ܣ

_ଶ

ǡ ܤ

_ଵ

ǡ ܤ

_ଶ

– произвольные константы.

Также, в соответствии с решением получена плотность энергии монополя (рисунок 1, кривая ߝሺݎሻ). Варьируя ߙ

_଴^ᇱᇱ

и ߙ

_଴^ሺଷሻ

, мы получаем решения с различными энергиями.

Соответственно, мы можем построить трехмерный график энергии монополя как функции от ߙ

_଴^ᇱᇱ

и ߙ

_଴^ሺଷሻ

, как показано на рисунке 2А. Вертикальная ось представляет собой энергию монополя, в то время как горизонтальная плоскость – ߙ

_଴^ᇱᇱ

и ߙ

_଴^ሺଷሻ

. Как видно из графика, решения с конечной энергией заключены в определенной области на плоскости ߙ

_଴^ᇱᇱ

, ߙ

_଴^ሺଷሻ

. Эта плоскость изображена на рисунке 2Б, где кривая отделяет решения с

конечной энергией (закрашенная область) от сингулярных решений. Стоит отметить, что графики на рисунках 3 и 4 построены в соответствии с приближенными вычислениями.

Заключение

В численном виде получены монопольные решения в классической SU(3) калибровочной теории Янга-Миллса-Хиггса в пределе БПС.

Показано, что существуют как регулярные, так и сингулярные решения. Построен трехмерный график зависимости энергии SU(3) монополя от параметров ߙ

_଴^ᇱᇱ

и ߙ

_଴^ሺଷሻ

, определяющих его. На плоскости ߙ

_଴^ᇱᇱ

, ߙ

_଴^ሺଷሻ

построена кривая, разделяющая области регулярности и сингулярности.

References

1 Dirac P. Quantised singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. (London). – 1931. – Vol. A133. – P. 60.

2 ‘t Hooft, G. Magnetic monopoles in unified gauge theories // Nuclear Physics B. – 1974. – Vol. 79. – P. 276-284.

3 Polyakov A.M. Spektr chastits v kvantovoi teorii polya // Pis’ma v ZhETF. – 1974. – Vol. 20. - № 6. – P. 430-433.

4 Prasad M.K., Sommerfield C.M. // Phys. Rev. Lett. – 1975. – 35. – C. 760; Bogomol’nyi Ye.B. // Yadernaya Fizika. – 1976.

– Vol. 24. – P. 449.

5 Lee Ki-Myeong, Weinberg E.J., Yi Piljin. Electromagnetic duality and SU(3) monopoles. Phys.Lett. – 1996. – Vol. B376. – P. 97-102.

6 Rosy Teh, Khai-Ming Wong. // J. Math. Phys. – 2005. – Vol. 46. – P. 082301; Int. J.Mod. Phys. – 2005. – Vol. A20. – P.

4291.

7 Kleihaus B., Kunz, J. Shnir, Y. Monopole-Antimonopole Chains and Vortex Rings // arXiv:hep-th/0405169. – 2004.

8 Sethi S., Stern S., Zaslow E. // Nucl. Phys. – 1995. – Vol. B457. – P. 484; Gauntlett, J.P., Harvey, J. S-Duality and the Dyon Spectrum in N=2 Super Yang-Mills Theory. // arXiv:hep-th/9508156. – 1995.

9 Rosy Teh, Ban-Loong Ng, Khai-Ming Wong. Electrically Charged One and a Half Monopole Solution // arXiv:hep- th/1312.6483. – 2013.

10 Rosy Teh, Ban-Loong Ng, Khai-Ming Wong. The one and a half monopoles solution of the SU(2) Yang–Mills–Higgs field theory // Annals of Physics – 2014. – Vol. 343. – P. 1-15.

11 Sardanashvili, G.A. Sovremennyie metody teorii polya. 1. Geometriya i klassicheskiye polya. – 2^nd edition. – M.: URSS, 2011.

12 Gal’tsov, D.V., Grats, Yu.V., Zhukovskii, V.Ch. klassicheskiye polya. – M.: MGU, 1991.

13 Horvath, Z., Palla, L. Dyons in classical SU(3) gauge theory and a new topologically conserved quantity // Phys. Rev. – 1976.

– Vol. D14. – P. 1711.

14 Baltsov, D.V., Volkov, M.S. Phys.Lett. – 1990. – Vol. B274. – P. 173.

15 Irwin, P. SU(3) monopoles and their fields // Phys.Rev. – 1997. – Vol. D56. – С. 5200-5208.

16 Dzhunushaliev, V.D., Singleton, D. Confining solutions of SU(3) Yang-Mills theory. // arXiv:hep-th/9902076. – 1999.

17 Shnir, Y. Magnetic monopoles. – Springer-Verlag, Berlin, 2005 (ISBN 3540252770).