Просмотр « Движение цветных заряженных частиц в SU(3) неабелевой модели темной материи»

Джунушалиев В.Д., Проценко Н.А.

Движение цветных заряженных частиц в SU(3) неабелевой модели темной материи

В статье предлагается метод экспериментальной проверки одной из моделей темной материи, в которой темной материей является классическое неабелево SU(3) калибровочное поле Янга – Миллса. Предлагаемый метод основан на анализе движения цветных заряженных частиц в неабелевом калибровочным поле. Для анализа такого движения используются уравнения Вонга, которые являются обобщением 2 – ого закона Ньютона для частиц, имеющих цветной заряд. Для численного исследования уравнения Вонга записаны в безразмерном виде. Используя анзац для монополя в SU(3) калибровочной теории Янга – Миллса, получены выражения для соот­

ветствующих потенциалов и напряженностей полей. Используя уравнения Янга – Миллса, получены асимптотические значения этих полей. С помощью этих выражений численно получены решения уравнений Вонга. Результаты вычислений представлены в виде траекторий движения цветных заряженных частиц.

Ключевые слова: уравнения Вонга, уравнения Янга – Миллса, цветные частицы, неабелево калибровочное поле.

Dzhunushaliev V.D., Procenko N.А.

The motion of colored charged particles in the SU (3) non- Abelian model of dark matter

A method of experimental verification of non – Abelian dark matter model where the dark matter is a classic non­Abelian SU (3) gauge field Yang – Mills is proposed. The method is based on the analysis of motion of charged particles in the color non – Abelian gauge field. For the analysis of the motion we use Wong equa­

tions that are the generalization of the second Newton law for particles with a color charge. In order to find numerical solution of Wong equations we write them in dimensionless form. Using monopole ansatz of SU(3) Yang – Mills gauge theory we obtain the expressions for gauge potentials and field strengths. Using Yang – Mills equations we obtain asymptotic expressions of these fields. Wong equations are numerically solved with the help of these expressions. The result of calculations is presented as the mechanical trajectories of color charged particles.

Key words: Wong equations, Yang – Mills equations, colored particles, non – Abelian gauge field.

Джунушалиев В.Д., Проценко Н.А.

Қара материяның SU(3) неабельдік моделіндегі түсті зарядты бөлшектердің қозғалысы

Мақалада қара материя ретінде Янг­Миллстің классикалық неабельдік SU(3) калибрлік өрісі боп табылатын қара материя модельдерінің біреуін эксперименттік тексерісінің әдісі ұсынылады. Ұсынылатын әдіс түсті зарядты бөлшектердің неабельдік калибрлік өрісіндегі қозғалысының талдауында негізделген. Мұндай қозғалысты талдау үшін түсті заряды бар бөлшектері үшін Ньютонның 2­ші заңының жалпылауы болып табылатын Вонг теңдеулері қолданылады. Сандық зерттеу үшін Вонг теңдеулері мөлшерсіз түрде жазылған. Янг – Миллстің SU(3) калибрлік теориясының моноөрісі үшін анзацын пайданана отыра, өрістердің сәйкес потенциалдары мен кернеуліктері үшін өрнектер алынды. Янг – Миллстің теңдеулерің пайдалана отыра, бұл өрістердің асимптотикалық мәндері алынған. Осы өрнектер көмегімен Вонг теңдеулерінің шешімдері сандық түрде алынған. Есептеулердің нәтижелері түсті зарядты бөлшектердің қозғалысы траекториялары түрінде көрсетілген.

Түйін сөздер: Вонг теңдеулері, Янг – Миллс теңдеулері, неабельдік өріс, түсті бөлшек.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Республика Казахстан, г. Алматы

*E-mail: ninok94kaz@mail.ru

ДВИЖЕНИЕ ЦВЕТНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В SU(3) НЕАБЕЛЕВОЙ МОДЕЛИ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ

Введение

Тёмная материя – гипотетическая форма материи, которая не испускает электромагнитного излучения и напрямую не взаимодействует с ним. В 1922 году астрономы Джеймс Джинс и Якобус Каптейн исследовали движение звёзд в нашей Галактике и пришли к выводу, что большая часть вещества в галактике невидима; в этих работах, вероятно, впервые появился термин «тёмная материя» [1]. Астроном Фриц Цвикки, в 30-х годах изучая скопления галактик, обнаружил нечто странное [2]. По отдельности галактики не представляли ничего необычного, но исходя из расчетов было видно, что они не могут находится вместе, а просто должны были разлететься в разные стороны друг от друга. Он заметил, что в скоплениях галактик светящего вещества намного меньше, чем должно быть, чтобы сила тяготения удерживала галактики вместе.

Чтобы объяснить это явление он предположил, что существует некое неизвестное вещество, обладающее огромной гравитирующей силой, которое удерживает галактики вместе.

Это вещество теперь именуется «темной материей». Это

свойство данной формы вещества делает невозможным её

прямое наблюдение. Другим наблюдательным данным,

иллюстрирующем существование темной материи является

измерение скорости вращения периферийных звёзд вокруг

центра туманности Андромеды: эти скорости не уменьшались,

как предсказывает небесная механика: обратно пропор-

ционально

(где R – расстояние до центра), а оставались

почти постоянными, см. Рис 1. Это могло означать, что

галактика содержит значительную массу невидимого вещества

[3].

Движение цветных заряженных частиц в SU(3) неабелевой модели темной материи

Рисунок 1 – Кривая вращения периферийных звезд в галактике: (A) ожидаемая; (B) реальная

Согласно последним наблюдениям [4], около 69% материи Вселенной состоит из темной энергии, и почти 26% из темной материи. Эти расчеты подтверждаются большим числом неза- висимых наблюдений [5].

Кандидаты на роль темной материи:

1. Барионная тёмная материя. Предпола- гается, что темная материя состоит из барионно- го вещества, которое слабо взаимодействует с электромагнитным излучением, что делает не- возможным его прямое наблюдение.

2. Небарионная тёмная материя. Теорети- ческие модели предоставляют большой выбор возможных кандидатов на роль небарионной не- видимой материи. Перечислим некоторые из них.

1.1. Нейтрино стандартной модели. После экспериментов по осцилляции ускорительных [6], атмосферных [7] и солнечных [8] нейтрино было полностью доказано что у этих частиц ненулевая масса, следовательно, они должны вносить вклад в скрытую массу. На нынешней момент, нейтрино – единственная частица в кан- дидаты на ТМ, которую можно зарегистрировать в эксперименте.

1.2. Сверхмассивные нейтрино. Массивные нейтрино уже не являются частицами Стан- дартной модели. Согласно данным LEP [9], по измерению ширины распада Z 0 – бозона, существует только три типа легких нейтрино (τ, µ, e), которые были рассмотрены нами выше и исключается существование тяжелых нейтрино вплоть до 45 ГэВ.

1.3. Стерильное нейтрино. Стерильные ней- трино впервые были упомянуты более 20 лет на- зад в работе [10]. Модели с данными частицами активно развиваются и классифицируются как расширения Стандартной модели физики эле- ментарных частиц.

1.4. Еще один кандидат на роль скрытой мас-

ческая частица, постулированная в 1977 г. в связи с нарушением CP-инвариантности в КХД (квантовая хромодинамика) [11].

1.5. Суперсимметричные частицы. Рассмат- ривая суперсимметричные теории (SUSY), можно предположить, что существует как мини- мум одна частица, которая подходит на роль темной материи. Существуют теоретические предсказания массы и реликтовой плотности нейтралино. Кроме нейтралино другими возмож- ными кандидатами на роль частиц темной материи являются снейтрино и гравитино. Одн- ако, экспериментальные данные полученные в [12] исключают снейтрино из кандидатов в ТМ.

Неабелева модель темной материи

В данной работе мы рассматриваем модель темной материи [13] – [15], которая представ- ляет собой классическое неабелево поле. Чтобы экспериментально протестировать эту модель, необходимо рассмотреть движение цветных заряженных частиц в этом поле. В нашей модели роль поля играет классическое неабелевое SU(3) калибровочном поле, а в роли частиц выступают цветные заряженные частицы (монополи или уединенные кварки). Цветные заряженные час- тицы – это неабелево обобщение классического заряда в неабелевых полях. Они характери- зуются цветным индексом, который пробегает значение от 1 до 8. Данное SU(3) калибровочное поле является моделью темной материи при опи- сании вращения периферийных звезд в га- лактике.

Уравнениями, описывающие это калибровоч- ное поле, являются уравнения Янга-Миллса

∂

F

= 0 (1)

где F

= ∂

A

− ∂

A

+ gf

A

A

– тензор напряженности поля, A

– SU(3) калибровочный потенциал, μ = 0,1,2,3 – пространственно – вре- менной индекс, a=0,1,2….8 – цветной индекс, g – константа связи, f

– структурные константы SU(3) калибровочной группы. Уравнения (1) являются нелинейными обобщениями уравнений Максвелла.

Для описания цветных заряженных частиц мы используем систему уравнений Вонга:

m

= −gF

T

, (2)

���

��

= −gf

�A

� T

(3) где T

– вектор цвета, f

– структурные кон- станты SU(3) калибровочной группы,

��

– 4 – х скорости частицы. Для простоты мы рассмотрим нерелятивистский случай, когда ds ≈ cdt . К сожалению, невозможно получить аналити- ческое решение уравнений (2) – (3), поэтому мы будем искать численное решение этих урав- нений. Для численных расчетов мы используем систему символьных вычислений Wolfram Mathematica 10.

Для классического SU(3) калибровочного поля Янга – Миллса калибровочный потенциал A

был выбран анзац в форме [16]:

A

= −2

χ(r), (4)

A

= −2

χ(r), (5)

A

= −2

χ(r), (6)

A

= 2

�h(r) + 1�, (7)

A

= −2

�h(r) + 1�, (8)

A

= 2

�h(r) + 1�, (9)

A

= λ

�ε

x

+ ε

x

�

v(r), (10)

A

=

(λ

+ λ

)x

x

(11)

здесь A

∈ SU(2) принадлежит подгруппе SU(2) ⊂ SU(3) ; i, j, k = 1,2,3 являются простран- ственными индексами. Исходя из этого были рассчитаны напряженности этих полей F

и подставлены в уравнения Янга – Миллса (1). Cooответствующие уравнения Янга – Миллса (1) с потенциалом (4) – (11) ( χ(r) = h(r) = 0 ) вы- глядят следующим образом x

w

= 6wv

, (12)

x

v

= v

− v − vw

(13)

здесь вводится безразмерный радиус x = r/r

, r

произвольная константа. Асимптотическое пове- дение функций v(x), w(x) при х ≫ 1 [14] следующее: v(x) ≈ A sin(x

+ ϕ

), (14)

w(x) ≈ ± �αx

+

�, (15)

3A

= α(α − 1) (16)

где α > 1. Запишем уравнения Вонга в сферической системе координат:

(17) 2mrr�θ� + mr

θ � = = −gT

(F

u

+ F

u

+ F

u

+ F

u

), (18) 2rrφ��Sin

θ + θφ��r

Sin2θ + φ�r

Sin

θ = −gT

(F

u

+ +F

u

+ F

u

+ F

u

). (19)

В правой части уравнений (17) – (19) под- ставляем асимптотические значения потенциа- лов (14) (15) и соответствующие значения тензора поля F

. В ходе вычислений, для упро- щения задачи мы пренебрегли некоторыми сла- гаемыми, такими как

x

и т.д. Численные расчеты были проведены для безразмерной системы уравнений Вонга:

= −F��

T��

, (20)

����_� �_����

= −f

�A � � ∗

� T��

(21)

где x�

=

− безразмерная координата частицы,

F��

= gR

F�

− безразмерная напряженность по-

ля, T��

=

– безразмерный вектор цвета, A � = �

gRA�

– безразмерный SU(3) калибровочный

потенциал, f

– структурные константы SU(3)

калибровочной группы, R – некий характерный

Движение цветных заряженных частиц в SU(3) неабелевой модели темной материи

размер, t

=

, t̃ =

�

, с − скорость света в вакууме.

Рисунок 2 – Траектории движения цветных заряженных частиц с различными начальными скоростями.

В результате численных вычислений мы по- лучили различные зависимости координат дви- гающихся частиц r(t), θ(t), φ(t) в поле неабе- левого калибровочного потенциала в трехмер- ном пространстве при различных начальных скоростях, см. рис 2.

Заключение

Таким образом, мы видим, что в этой модели темная материя может быть экспериментально обнаружена путем наблюдения за траекториями движения цветных заряженных частиц (моно- полей или уединенных кварков).

Литература

1 Решетников В. Почему небо тёмное. Как устроена Вселенная. – М:Фрязино: Век 2, 2012. – 192 с.

2 Zwicky F. Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln // Helvetica Physica Acta.-1933.-Vol.6. – P.110-127 3 Gustavo Y., Stefan G., Hoffman Y. Dark Matter in the Local Universe // New Astronomy Reviews.- 2014. – Vol.1.- P.13.

4 Planck Collaboration: Ade P. et. al. Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters// Phys. Rev. – 2015. – Vol.2. – P.15 5 Rafael C. Nunes, Supriya Pan, Emmanuel N. Saridakis. New constraints on interacting dark energy from cosmic chronometers // Phys. Rev. – 2016. – Vol. 1. – P.12-17.

6 Michael D. G. et al. Observation of muon neutrino disappearance with the minos detectors and the NuMI neutrino beam//

Phys. Rev. Lett. – 2006. – Vol. 97. – P. 6.

7 Adamson P. et. al. First Observations of Separated Atmospheric Muon Neutrino and Muon Anti – Neutrino Events in the MINOS Detector // Phys. Rev. Lett. – 2006.- Vol. 79. – P. 17.

8 Aharmim B. et al. Electron Energy Spectra, Fluxes, and Day-Night Asymmetries of 8B Solar Neutrinos from the 391-Day Salt Phase SNO Data Set// Phys. Rev.-2005.- Vol.1.- P.45.

9 Bjorken J. D., Llewellyn Smith C.H. Spontaneously Broken Gauge Theories of Weak Interactions and Heavy Leptons// Phys.

Rev.D – 1973. – Vol. 7. – P. 887.

10 Dodelson S., Widrow L. Sterile Neutrinos as Dark Matter // Phys. Rev. Lett. – 1994. –Vol. 72. – P.17.

11 Клапдор – Клайнгротхаус Г.В., Цюбер К. Астрофизика элементарных частиц.- М.: УФН. – 2000. – 496 с.

12 Falk T., Olive K., Srednicki M. Heavy Sneutrinos as Dark Matter // Phys. Lett. B. – 1994. –Vol.339. – P. 248-251.

13 Dzhunushaliev V. Classical SU(3) Gauge Field as a Dark Matter // Journal of Modern Physics. – 2013.- Vol. 4. – P.111-120.

14 Dzhunushaliev V. Colored dark matter // Science Echoes.- 2008. – Vol.4. No.1. – P.47-69.

15 Dzhunushaliev V. Classical color fields as a dark matter candidate // Central Eur. J. Phys. -2007. – Vol. 5. – P. 342.

16 Dzhunushaliev V. D., Singleton D. Confining Solutions of SU(3) Yang-Mills Theory // Nova Science Publishers, Hauppauge. -1999. – P.336 – 346.

References

1 V. Reshetnikov, Pochemu nebo tomnoye. Kak ustroyena Vselennaya. – M:Fryazino: Vek 2, 2012, 192 s. (in russ).

2 F. Zwicky, Helvetica Physica Acta, 6, 110-127, (1933).

3 Y. Gustavo, G. Stefan, Y. Hoffman, New Astronomy Reviews, 1, 13, (2014).

4 Planck Collaboration: Ade P. et. al., Phys. Rev., 2, 15, (2015).

5 Rafael C. Nunes, Supriya Pan, Emmanuel N. Saridakis, Phys. Rev. 1, 12-17, (2016).

6 Michael D. G. et al., Phys. Rev. Lett., 97, 6, (2006).

7 P. Adamson et. al., Phys. Rev. Lett., 79, 17, (2006).

8 B. Aharmim et al., Phys. Rev., 1, 45, (2005).

9 J.D. Bjorken, Llewellyn Smith C.H., Phys. Rev. D, 7, 887, (1973).

10 S. Dodelson, L. Widrow, Phys. Rev. Lett., 72, 17, (1994).

11 Klapdor – Klayngrotkhaus G.V., Tsyuber K. Astrofizika elementarnykh chastits.- M.: UFN, 2000. – 496 s. (in russ).

12 T. Falk, K. Olive, M. Srednicki, Phys. Lett. B, 339, 248-251, (1994).

13 V. Dzhunushaliev, Journal of Modern Physics, 4, 111-120, (2003).

14 V. Dzhunushaliev, Science Echoes, 4(1), 47-69, (2008).

15 V. Dzhunushaliev, Central Eur. J. Phys., 5, 342, (2007).

40 20 0 20 40

40 20

0 20

40

40 20 0 20 40