3-бөлім
Астрофизика.
Ғарыш зерттеулері
Раздел 3
Астрофизика
Космические исследования
Section 3
Astrophysics Research of Space
УДК 520.2/.8
Г.М. Авхунбаева1,2*, Е.Б. Курманов2, Е.К. Сабаев 2
1Астрофизический институт им. В.Г. Фесенкова, Республика Казахстан, г. Алматы
2Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Республика Казахстан, г. Алматы
*E-mail: a.gulya90@mail.ru
К теории двухпараметрических гравитационных линз
В статье предлагаются четыре двухпараметрические модели гравитационных линз – линза, порожденная барионной материей и вращательным моментом; линза, обладающая барионной массой и электрическим зарядом; линзы, состоящие из барионной и небарионной материи, учитывающие наличие вращения и заряда.
В настоящей работе было исследовано распространение лучей света в сферически-симметричном гравитационном поле, порождаемом как темной материей, так и барионной составляющей, а также с учетом наличия заряда и вращательного момента. При исследовании распространения света мы ограничились условием его движения в одной плоскости.
Ключевые слова: гравитационная линза, двухпараметрическая модель, темная материя.
G.M. Avhunbaeva, E.B. Kurmanov, E.K. Sabayev To the two-parameter theory gravitational lenses
The article offers four two-parametric models of gravitational lenses – lens of baryonic matter and rotational moment; lens possesses by baryonic mass and electric charge; lens consists of baryonic and non- baryonic matter with account of rotation and charge.
In the present work we investigated the propagation of light rays in the spherically symmetric gravitational field generated by dark matter, baryonic component, charge and rotational moment. In the study of light propagation we limited ourselves by its plane movement.
Keywords: gravitational lense, two-parametric model, dark matter.
Г.М. Авхунбаева, Е.Б. Қурманов, Е.К. Сабаев Екі параметрлі гравитациялық линзалар теориясына
Бұл мақалада гравитациялық линзаның төрт екіпараметрлі үлгісі – бариондық материя және айналу моментінен құралған линза ұсынылды; бариондық масса және электр зарядына ие линза; айналу моменті мен заряды ескерілетін бариондық және бариондық емес материядан тұратын линзалар.
Берілген жұмыста сфералық-симметриялық гравитациялық өрісте жарық сәулесінің таралуы зерттелді. Гравитациялық өріс қараңғы материя ретінде және бариондық материя түрінде де қарастырылып, зарядтың және айналудың үлесі көрсетілді. Жарық қозғалысын қарастырғанда, ол бір жазықтық бойымен таралады деген шартпен шектелінді.
Түйін сөздер: гравитациялық линза, екі параметрлік модель, қара материя.
Введение
Хорошо известно, что одним из методов исследования свойств Вселенной является
гравитационное линзирование. Оно было пред- метом многих исследований [1, 2, 3].
В нашей работе рассматриваются новые модели гравитационных линз, которые учиты-
вают как их размеры, так и внутреннюю структуру, а также другие ее параметры – гало темной материи, заряд и вращательный момент.
При этом акцент делается на двухпарамет- рических гравитационных линзах. Такая поста- новка задачи обусловлена тем, что согласно современным астрономическим данным основными компонентами любой галактики являются темная материя [4] и барионная материя [5]. Кроме того, возросшая точность астрономических наблюдений и расширение теоретических базы современной космологии позволяют учесть в числе параметров гравита- ционной линзы ее заряд и вращательный момент.
В работе исследуются четыре новые двухпараметрические модели гравитационных линз – линза, порожденная барионной материей и вращательным моментом; линза, обладающая барионной массой и электрическим зарядом;
линзы, состоящие из барионной и небарионной материи, учитывающие наличие вращения и заряда.
При исследовании двухпараметрических гравитационных линз будем руководствоваться следующими требованиями.
Первое, для нахождения показателя прелом- ления гравитационного поля необходимо при-
равнять нулю его 4-мерный интервал. Это позволит, используя стандартное выражение для показателя преломления
cdt c n dl v
, (1)
найти его явный вид.
Второе, угол отклонения в гравитационной линзе находится из известного в теоретической оптике [6] выражения
nr
dr dr n
d
(ln ) 2ln. (2) И третье, при исследовании распростра- нения света будем ограничиваться условием его движения в одной плоскости.
1. Вращающиеся гравитационные линзы
Запишем метрику внешнего гравитационного поля вращающегося сферического тела в квазидекартовых координатах. Она имеет вид [7]
2 23 3 2 2 2 4
2 2 2
2 2 3
3 2 2 2 4
2 2 2
2
1 2 8
2 1 2
1 2 8
2 1 2
r dl c cdtdl Gm
r r c dt GI r c
c m G r c
Gm
r dl c cdtdx Gm
r r c dt GI r c
c m G r c ds Gm
i i
i i
(3)
В этом выражении m– масса центрального тела, – его угловая скорость, I – момент инерции этого тела. Остальные обозначения являются стандартными в общей теории относительности.
Приравнивая левую часть к нулю, деля все на с2dt2 и вводя показатель преломления, получаем из (3) квадратное уравнение отно- сительно параметра
n
1
–
2 2 08 1 1 2
1 1 2
1 8
2 1 2
1 2 8
2 1 2
2 4
2 2 2
2 3
3 2 2
2 2 3
3 2 4
2 2 2
2 2 2 2 3
3 2 4
2 2 2
r c
m G r c r Gm
r c
GI r
c Gm
n r c
Gm r n
r c
GI r
c m G r c
Gm
dl dt c r c
Gm dl
r cdt r c
GI r
c m G r c
Gm
i i
i i i i
(4)
Два решения этого квадратного уравнения имеют стандартный вид
r c
Gm c r
m G r
c m r G
r c
I r G
r c
GI
i i i
i
2
6 6
3 3 2
4 2 2 2
6 6
2 2 3
3 2 ,
1 2
1
4 ) 2
] 16 ([
1 ) ] 4 ([
. (5)
Поскольку здесь в подкоренном выражении стоят малые члены, то пренебрегая ими, из (5) находим
) ] 4 ([
1 2 ) ] 4 ([
1 1 2
2 , 1
) ] 4 ([
1 1
3 3 2 3
3 2 1
2 3 3 1
1
i i i i
i i
r r c
GI r c
Gm r r
c GI c r
Gm n
r c
Gm r r c
GI n
(6)
) ] 4 ([
2 ) 1 ( ) ] 4 ([
1
2 ) 1 (
2 , 1
) ] 4 ([
1 1
3 3 2 3
3 2 2
2 3 3 2
2
i i i
i
i i
r r c
GI r
c Gm r r
c
GI c r Gm n
r c
Gm r r c
GI n
(7)
Поскольку показатель преломления (7) является отрицательным, то он не имеет физи- ческого смысла. Поэтому им можно пренебречь и оставить для рассмотрения только выражение (6).
Вычислим показатель преломления и угол отклонения света для конкретного косми- ческого объекта. Известно, что самой быстрой вращающейся звездой является звезда VFTS 102.Ее параметры таковы [8]:
кг 10 5 .
49 30
m , r0 2109м, с
м/ 10 5 5
,
с рад r
10 4
5 .
2
. (8)
Считая вращающуюся звезду сферически- симметричным телом ,
5
2 2
I mr показатель преломления ее гравитационного поля можно записать следующим образом
) ] 5 ([
8
1 2 2 3 r i i
r c
Gm r
c
n Gm . (9)
Подставляя в (9) необходимые численные значения, получаем величину показателя
преломления покомпонентно
6 6 0.05 10 10
7 . 36
1
n . (10)
Используя выражение (2), легко найти полный угол отклонения (15106)
. 2 0 . 0 8 . 14 10
1 . 0 10 4 . 7
) ] 5 ([
8 2 2
5 5
3 2
i
r i
r c
Gm r
c Gm
(11)
Отсюда видно, что угол отклонения, обусловленный вращением центрального тела, имеет значение
2 0 . 0
(12)
2. Гравитационные линзы с электри- ческим зарядом
Метрика заряженного сферически-симмет- ричного тела (метрика Рейсснера-Нордстрема) имеет вид [9]
. sin
) 1
( ) 1
1 (
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
d r
d r
dr r r r dt r
r c r r ds r
s Q s Q
(13)
Здесь rQ − масштаб длины, соответствую- щий электрическому заряду Q. Он опреде- ляется по формуле 4
0 2 2
4 c
G rQ Q
.
Параметры заряженного тела не могут быть произвольными. Максимальный заряд, который оно может иметь, равен 1040 ,
Msun
M eM Q
где e – заряд электрона. Это частный случай ограничения Керра-Ньюмена для черной дыры с нулевым угловым моментом.
Используя требование о движении света в одной плоскости, угловую часть метрики (13) можно приравнять нулю. Тогда получаем выражение
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 dt
dr r r r r r r dt
dt c r r r
rs Q s s Q
. (14) Отсюда легко найти показатель преломле- ния заряженной гравитационной линзы
4 . 4
1 2 4 2
0 2 2
4 2 2
2 c r
G Q r
c M G r c n GM
(15)
Тогда полный угол отклонения будет равен
2 0 0 4
2 2
0 4
2 2
0
2 4
2 8
4
r c
G Q r
c M G r c
GM
. (16)
Оценим его величину, опираясь на работу [10]. Так как M 19.81030 кг, r6106м ,
1021
6 .
1
Q Кл, то покомпонентно имеем следующие значения
3 3
3 0.0210 0.00510 10
8 . 4
1
n . (17)
Поскольку нас интересует вклад в угол отклонения, обусловленный зарядом тела, то из (16)и (17) получаем его численное значение
"
2
. (18)
3. Новые двухпараметрические гравита- ционные линзы
3.1 Вращающиеся гравитационные линзы с распределением темной материи по Наварро-Френку-Уайту
Модель Наварро, Френка и Уайта (НФУ) описывает пространственное распределение массы темной материи, примененное к гало, обнаруженному при моделировании системы N тел в стандартной космологической модели.
Это аппроксимация равновесного распределе- ния темной материи, полученного при моде- лировании динамики N частиц, не испыты- вающих столкновения.
Выражение для плотности в этой модели имеет вид [4]
2 0
1 ) (
s s NFW
r r r
r
r . (19)
Здесь rs характерный радиус в модели НФУ, имеющий смысл размера гало темной материи.
Ранее в работах [11, 12] были найдены показатель преломления и угол отклонения света в гравитационном поле галактики с распределением темной материи по Наварро- Френку-Уайту. Они имеют вид
0 2 0 2 0 2 0
2 0 5
8 1 8
r r r c r G c
nNFW G . (20)
0 02 2 0 02
2 0 5
8 2 8
r r r c r G c
G
NFW . (21)
В них также отмечено, что в силу прибли- женного характера проводимых вычислений показатели преломления, обусловленные различными параметрами, являются аддитив- ными. Поэтому, опираясь на полученные в этих работах результаты, легко найти соответствую- щие выражения показателя преломления и угла отклонения для вращающейся гравитационной линзы с распределением темной материи по Наварро-Френку-Уайту. Они имеют вид, соот- ветственно
) ] 5 ([
8 5
8 1 8
0 0 3
2 0 2 0 2 0
2 0 i i
Rotation
NFW r
r c
Gm r
r r c r G c
n G
. (22)
([ ] )
5 8 5
8 2 8
3 0 0
02 2 0 02
2 0 i i
Rotation
NFW r
r c
Gm r
r r c r G c
G . (23)
Что касается численных значении показа- теля преломления (22) и угла отклонения (23), то, используя ранее полученные результаты, так как из (10)
6
3 ([ ] ) 0.05 10
5
8
i i
Rotation r
r c n Gm
и имеем таких параметров [5]
3 23
0 10
см
г
,r0 21022см,r21020см.
Подставляя в (22) и (23) необходимые численные значения, получаем величину пока- зателя преломления и угол отклонения поком- понентно
, 000018 . 1 10 05 . 0 10 5 . 18
1 6 6
Rotation
nNFW
(24)
. 2 0 . 0 4 . 7 10 1 . 0 10 2 .
37 6 6
Rotation
NFW (25)
3.2 Заряженные гравитационные линзы с распределением барионной материи по Идлису
Как показано в работе [12] показатель пре- ломления с распределением барионной материи по Идлису имеет вид
2
0 2 2 0 2 0
3 1 4
r r r c
n G , (26)
С учетом сделанных выше замечаний, следовательно, находим
2
0 2 2 0 2 0
3 2 4
r r r c
G
Id . (27)
Отсюда видно, что показатель преломления квадратично зависит от расстояния. Следова- тельно, угол отклонения и показатель прелом-
ления
2 4 0
2 2
0 2 2 ' 0 2 0
arg 3 4
1 4
r c
G Q r
r r c nId ch e G
, (28)
2
0 4 0
2 2
0 2 2 0 2 0
arg 3 4
2 4
r c
G Q r
r r c
G
e ch
Id . (29)
В четырех последних формулах 0 – величина центральной плотности барионной материи в галактике.
Так как [5] 0 4 10 20 3 см
г
, r0 21024см, см
r21022 и из (17)
3 2
4 0
2
arg 0.005 10
4
c r
G
nch e Q , то
покомпонентно имеем следующие значения . 10 005 . 0 10 496 . 0
1 4 3
arg
ch e
nId (30)
. 2 9 1 10 01 . 0 10 992 .
0 4 3
arg
Idch e
(31) Заключение
В данной работе нами было исследовано распространение лучей света в сферически- симметричном гравитационном поле, порож- даемом как темной материей, так и барионной составляющей, а также зарядом и враща- тельным моментом. При этом впервые были вычислены угол отклонения для вращающейся гравитационной линзы с распределением темной материи по Наварро-Френку-Уайту, а также угол отклонения для заряженной грави- тационной линзы с распределением барионной материи по Идлису.
Анализ показывает, что найденный нами угол отклонения луча света в поле Лензе- Тирринга полностью совпадает с ранее полученными результатами [9]. Что касается результата по нахождению угла отклонения света в поле Рейсснера-Нордстрема, то его сравнение с вычислениями других авторов [9]
показывает, что они лишь численным коэффи- циентом отличаются друг от друга.
References
1 Blokh P.V., Minakov A.A. Gravitatsionnyye linzy. – Kiyev, Naukova dumka. 1989. – 240 s.
2 Zakharov A.F., Sazhin M.V. Gravitatsionnoyemikrolinzirovaniye. // UFN, 1998. – T 168. – P. 1041-1082.
3 Melchiori P., Sutter P. M., Sheldon E. S., Krause E., Wandelt B. D. First measurement of gravitational lensing by cosmic voids in SDSS. // arXiv:1309.2045v1 [astro-ph.CO]
4 Navarro J.F., Frenk C.S., White S.D.M. The Structure of Cold Dark Matter Halos. // arXiv: astro-ph / 9508025, 7 Aug. 1995;Herritt D., Navarro J.E., Ludlow A., Jenkins A. Universal Density Profile for Dark and Luminous Matter. // arXiv:
0502515 V1 [astro- ph] 24 Feb. 2005.
5 Kardashev N. S. Fenomenologicheskaya model' yadra Galaktiki // V kn. Itogi nauki i tekhniki. Seriya
“Astronomiya”. – 1983. – T. 24.
6 Drude P. Optika. L.-M.: Gostekhizdat, 1935. 254 s.
7 Brumberg V.A. Relyativistskaya nebesnaya mekhanika. – M.: Nauka, 1972. – 382 s 8 www.astronet.ru
9 Ivanitskaya O.S. Lorentsev bazis i gravitatsionnyye effekty v eynshteynovoy teorii tyagoteniya. – Minsk: Nauka i Tekhnika, 1979. – 334 s.
10 www.astrolab.ru
11 Chechin L.M., Avkhunbayeva G.M. Dvukhkomponentnaya gravitatsionnaya linza // Izvestiya Vuzov. – 2013, №2. – S. 30-35 .
12 Chechin L.M., Avkhunbayeva G.M., Aymuratov Ye.K, Umiraliyeva A.ZH. Otkloneniye luchey sveta v galo temnoy materii galaktik // Izvestiya VUZov. Fizika, 2012. – №6.
Авторы выражают искреннюю благодарность члену-корреспонденту НАН РК, д.ф.–м.н., профессору Л.М.
Чечину за постановку задачи и консультации по данной работе.
