Б. Е. ГМУРМАН
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ II ДОПОЛНЕННОЕ
Д оп ущ ен о Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для втузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1977 *<
517.8 Г 11
УДК 519.2 (075.8)
Р е ц с н з е и т — кафедра теории вероятностей Киевского roq дарственного университета.
Гмурман В. Е.
Г11 Теория вероятностей и математическая статпс тика. Учеб. пособие для втузов. И зд. 5-е, перераб и доп. М., «Высш. школа», 1977.
479 с. с пл.
К н и г а с о д е р ж и т rsoci. м а тер и а л попой програм м ы г:о т ео р и и в ер о и т постой и м атем атической ст а т и с т и к е. Д о б а в л ен ы главы : «М оделнроваіШ ' (р азы гр ы ван и е) сл у ч а й н ы х в ели чи н м етодом М о н т е -К а р л о » , «-Цени М ар н ова», «С лучайны е ф у н к ц и и » . Р я д раз д ел о и п о д в е р г с я су щ е с т в е н н о й не р е р а б о т к е . Б ол ь ш о е в н и м а н и е у д е л е н о стати сти ческ и м м етодам о б р а б о т к : эк сп ер и м ен т а л ьн ы х д а н н ы х . В к о н ц е к а ж д о й главы п ом ещ ены за д а ч і с о т в етам и .
П р е д н а з н а ч а е т с я д л я с т у д е н т о в в т у зо в и л и ц , и сп о л ь зу ю щ и х перо я т н о ст н ы е и ст а т и с т и ч е ск и е м етоды при р еш е н и и п р а к т и ч еск и х за д а ч .
517.{
.с.; Издательство «Высшая школа», 1977, V
ОГЛАВЛЕНИЕ
П р еди слов и е... 13
Введение ... 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Случайные события Г л а и л п е р в а я . Основные понятия теории вероятностей 17 § \' Испытания и с о б ы т и я ... ... 17_ jj'-'S. Виды случайных событий 17_ §ч.З. Классическое определение вероятн ости ... 18_ § 4. Основные формулы к ом би н атор и к и ... 22
§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей 23 §Ч}..'■Относительная частота. Устойчивость относительной ч а с т о т ы ... 24
§ 7. Ограниченность классического определения вероятно* стиу Статистическая в ер о я т н о ст ь ... ... 20
§ 8. Геометрические вероя:пости .... 27
Задачи ... * . ... 30
Г л а в а в т о р а я . Теорема сложен и я вероятностей . . . 31
§ І. Теорема сложения вероятностей иесовмесшых собьппй 3! § 2. Полная группа с о б ы т и й ... 33
§ 3. Противоположные собы т и я ... 34
§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных ос б ы т и и ... 35
Задачи ... .... 3(3 Г л а в а т р е т ь я . Теорема умножения вероятностей . . . . 37
§ 1. Произведение со б ы т и й ... 37
2. Условная в е р о я т н о с т ь ... 37
§ 3. Теорема умножения вероятностей ... ... 38
§ 4. Независимые события. Теорема умножения для неза висимых событий 40 § 5 . Вероятность появления хотя бы одного события . . . 44
Задачи . ... 47 3
Г л а в а ч е т в е р т а я. Следствия теорем сложения и умно
жения ...
§ 1. Теорема сложения вероятностен совместных событий
§ 2. Формула полной вероятности ...
§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Б е н е с а ...
Задачи ...
Г л а в а п я т а я . Повторение испытаний . ...
§ 1, Формула Бернулли . . . ...
§ 2. Локальная теорема Л а п л а с а ...
§ 3. Интегральная теорема Лапласа ...
§ 4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Задачи ...
ЧАСТЬ ВТОРАЯ Случайные величины
Г л а в а ш е с т а я . Виды случайных величин. Задание диск
ретной случайной величины ...
§\1. Случайная величина ...
§ 2. Дискретные и непрерывные случайные величины . .
§ 3. Закон распределения вероятностен дискретной слу
чайной величины ...
§ 4. Биномиальное расп р едел ен и е...
§ 5. Распределение П у а с с о н а ...
§ 6. Простейший поток событий ...
§ 7. Геометрическое распределение ...
§ 8. Гипергеометричоское распределение ...
Задачи ...
Г л а в а с е д ь м а я . Математическое ожидание дискретной случайной величины ...
v ' § 1. Числовые характеристики дискретных случайных ве
личин ...
у § 2. Математическое ожидание дискретной случайной вели
чины ...
§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания . .
^ § 4. Свойства математического о ж и д а н и я ...
V § 5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях j ...
Задачи ...
Г л а в а в о с ь м а я . Дисперсия дискретной случайной величины
§ 1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины ...
§ 2. Отклонение случайной величины от ее математичес
кого о ж и д а н и я ...
48 48 Г>0 52 53 55 55 57 59 61 G3
64 64 65 65 66 68 69 72 73 74 75 75 76 77 78 83 84 85 85 86
§ \ 3 . Дисперсия дискретной случайной величины . . . . 87
§ч 4. Формула для вычисления д и сп ер си и ... 89
§ /5 . Свойства д и с п е р с и и ... 90
§ч'6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях ... 92
§ v7. Среднее квадратическое о т к л о н е н и е ... 94
§ ^ 8 . Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин ... 95
§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые слу- . чайные величины ... ... 95
§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты 98 Задачи ... 100
Г л а и а д е в я т а я . Закон больших чисел ... 101
7§ 1. Предварительные з а м е ч а н и я ... 101
4 § 2. Неравенство Чебышева ... 101
3. Теорема Чебышева ... 103
yj § 4. Сущность теоремы Ч ебы ш ев а... 106
§ 5. Значение теоремы Чебышева для п р а к т и к и ... 107
^ § 6. Теорема Б е р н у л л и ... 108
Задачи ... 110
Г л а в а д е с я т а я . Функция распределения вероятностей случайной в е л и ч и н ы ... 111
. **•§ 1. Определение функции р асп редел ен и я... 111
'/}§ 2. Свойства функции распределения ... 112
**§ 3. График функции р а с п р е д е л е н и я ... 114
Задачи ... 115
Г л а в а о д и н н а д ц а т а я . Плотность распределения веро ятностей непрерывной случайной в е л и ч и н ы ... 116
§ 1. Определение плотности р а с п р е д е л е н и я ... 116
§ 2. Вероятность попадания непрерывней случайной вели чины в заданный интервал 116 § 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения ... 118
§ 4. Свойства плотности распределения . . • ... 119
§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения . . . 121
§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей . . 122
Задачи ... ... 124
v / r л а в а д в е н а д ц а т а я . Нормальное распределение . . . 124 .
J § 1. Числовые характеристики непрерывных случайных ч > в е л и ч и н ... 124
. § 2. Нормальное р а с п р е д е л е н и е ... 127
V § 3. Нормальная кривая ... ... 130
\ / § 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой ... 131
5
§ 5. Вероятность попадания п заданный интервал нор
мальной случайной в е л и ч и н ы ... 132
§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения . . . 133
§ 7. Правило трех с и г м ... 131
§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка цент ральной предельной т е о р е м ы ... 135
§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и э к с ц е с с ... 137
§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распре деление ... 139
§ 1 1 . Математическое ожидание функции одного случайного аргумента ... 141
§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нор мального распределения ... 143
§ 13. Распределение «хн квадрат» ... 145
§ 14. Распределение С ты одента... 146
§ 15. Распределение Ғ Фишера — Сиедекора . . . 147
Задачи ... 147
Г л а в а т р и и а д ц а т а и. Показательное распределение . . 149
§ 1. Определение показательного распределения . . . . 149
§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал пока зательно распределенной случайной величины . . . 150
§ 3. Числовые характеристики показательного распреде ления ... 151
§ 4. Функция н а д еж н о ст и ... 152
§ 5. Показательный закон н а д еж н о ст и ... 153
§ 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности ... 154
Задачи ... ... 155
Г л а в а ч е т ы j) и а д ц а т а я. Система двух случайных величин 155 § 1. Понятие о системе нескольких случайных величин 155 § 2. Закон распределения вероятностей дискретной дву мерной случайной величины ... 156
§ 3. Функция распределения двумерной случайной вели чины ... 158
§ 4. Свойства функции распределения двумерной случай ной величины ... 159
§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полу- полосу ... 161
§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямо угольник ... 1(52 § 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (дву мерная плотность вероятности) ... 163
§ 8. Нахождение функции распределения системы по из вестной плотности распределения ... 163
§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероят ности ...' ... 104
§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произ вольную о б л а с т ь ...; . . . 165
§ 1 1 . Свойства двумерной плотности вероятности... 1G7
§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих
двумерной случайной в е л и ч и н ы ... 168
§ 13. Условные законы распределения составляющих си стемы дискретных случайных в ел и ч и н ... 169
§ 14. Условные законы распределения составляющих систе мы непрерывных случайных величин ... 171
§ 15. Условное математическое ожидание . . . 173
§ 16. Зависимые и независимые случайные величины . . . 174
§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции ... 176
§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин 179 § 19. Нормальный закон распределения па плоскости . . . 181
§ 20. Линейная регрессия. Прямые- линии среднеквадратн- ческой регрессии ... 182
§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция . . . 184
Задачи ... . . . і 185 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ Элементы математической статистики Г л а в а п я т н а д ц а т а я . Выборочный м е т о д ... 187
§ 1. Задачи математической статистики... .... , 187
§ 2. Краткая историческая с п р а в к а ... .... j 188 § 3. Генеральная и выборочная совок упности... 188
§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная в ы б о р к а ... 189
§ 5. Способы о т б о р а ... .... 190
§ 6. Статистическое распределение выборки . . . 192
§ 7. Эмпирическая функция р а сп р ед ел ен и я ... * . 192
§ 8. Полигон и ги стогр ам м а... 194
Задачи ... . . . 196
Г л а в а ш е с т и а д ц а т а я. Статистические оценки пара метров распределения . . . 197
§ 1. Статистические оценки параметров распределения 197v/ § 2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки 198 § 3. Генеральная средняя ... 199
§ 4. Выборочная с р е д н я я ... 200
§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных с р е д н и х ... 201
§ 6. Групповая и общая с р е д н и е ... .... 203
§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство . . . . 204
§ 8. Генеральная дисперсия ... 205
§ 9. Выборочная дисперсия ... 206
§ 10. Формула для вычисления дисперсии ... 207
§ 11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая д и с п е р с и и ... 207
§ 12. Сложение дисперсий ... 210
§ 13. Оценка генеральной дисперсии по исправленной вы борочной ... 211
7
§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность (надеж
ность). Доверительный и н тер в ал... 213
§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном а 214 W § 16. Доверительные интервалы для оценки математиче
ского ожидания нормального распределения при не
известном а ... 216
§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины 219
§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квад
ратического отклонения о нормального распреде
ления ... 220
§ 19. Оценка точности и зм ер ен и й ... 223
£& § 20. Оценка вероятности (биномиального распределения)
^ по относительной ч а с т о т е ... 224
§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров рас
пределения ... 226
§ 22. Метод наибольшего правдоподобия ... 229
§ 23. Другие характеристики вариационного ряда . . . . 234 Задачи ... 235 Г л а в а с е м и л д ц а т а я. Методы расчета сводных харак
теристик выборки ... 237
§ 1. Условные в а р и а н т ы ... 237
§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты ... 238
§ 3, Условные эмпирические моменты. Отыскание цент
ральных моментов по условным ... 239
§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных сред
ней и д и сп ер си и ... 241
§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим 243
§ 6, Эмпирические и выравнивающие (теоретические) ча
стоты ... 245
§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным 249
§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и э к с ц е с с ... 250 Задачи ... 252 Г л а в а в о с е м и а д ц а т а я. Элементы теории корреляции 253
§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная з а в и с и м о с т и ...' ... 253
§ 2. Условные средние ... 254
§ 3. Выборочные уравнения регрессии . . ... 254 V § 4. Отыскание параметров выборочного уравнения пря
мой линии среднеквадратичной регрессии по несгрун-
пированпым данным ... .... 255
§ 5. Қорреляциониая т а б л и ц а ... 257
§ 6. Отыскание параметров выборочного уравнения пря
мой линии регрессии по сгруппированным данным 259
§ 7. Выборочный коэффициент к оррел я ц и и ... 261
§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента
корреляции ... 262 |
§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой
линии р е г р е с с и и ... 267 '
/
§ 10. Предварительные соображения к введению меры лю
бой корреляционной связи ... 208
§ 11. Выборочное корреляционное о т н о ш е н и е ... 270
§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения 272
§ 13. Корреляционное отношение как мера корреляцион
ной связи. Достоинства и недостатки этой меры . . . 274
§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции . . . 275 ij 15. Понятие о множесівенной корреляции . . . 276 Задачи ... 278 Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я . Статистическая проверка ста
тистических гипотез . . . . 281
§ 1. Статистическая гипотеза. Пулевая и конкурирующая.
простая и сложная г и п о т е з ы ... 281
§ 2. Ошибки первого и второго р о д а ... 282
§ 3. Статистический критерии проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия ... 283
§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы.
Критические т о ч к и ... 284
§ 5. Отыскание правосторонней критической области . . . 285
§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических о б л а с т е й ... 286
§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической об- . . ласти. Мощность критерия ... 287
§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных со в о к у п н о с т е й ... 288
§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с ги
потетической генеральной дисперсией нормальной совокупности ... 293
§ 10. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (незави
симые выборки) ... 297
§ 11. Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые вы борк и)... 303
§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и оди
наковы (малые независимые в ы б о р к и )... 305
§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической гене
ральной средней нормальной совокупности ... 308
§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом ... 312
§ 15. Определение минимального объема выборки при срав
нении выборочной и гипотетической генеральной средних ... 313
§ 16. Пример на отыскание мощности к р и т е р и я ... 313
§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависи
мые выборки) ... 314
§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с ги
потетической вероятностью появления события . . . 317
§ 19. Сравнение двух вероятностей биномиальных распре
делений ... 319 9
§ 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных гене
ральных совокупностей по ныборкам различного объема. Критерий Бартлетта ... 322 , § 21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных гене
ральных совокупностей но выборкам одинакового объема. Критерий К о ч р е н а ... 325
§ 22. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэф
фициента корреляции... 327
§ 23. Проверка гипотезы о нормальном распределении ге
неральной совокупности. Критерий согласия Пирсона 329
§ 24. Методика вычисления теоретических частот нормаль
ного распределения... 333
§ 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спир
мена и проверка гипотезы о его значимости . . . . 335
§ 2G. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кен
далла и проверка гипотезы о его значимости . . . . 3-11
§ 27. Критерий Вилкоксона п проверка гипотезы сб одно
родности двух в ы б о р о к ... .... 3-13 Задачи ... .... « , . 346 Г л а в а д в а д ц а т а я. Однофакторный дисперсионный
анализ ... 349
* § 1. Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперси
онном а н а л и зе ... 349 . § 2. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов от
клонений ... 350
§ 3. Связь между ебщей, факторной и остаточной суммами 354 V § 4. Общая, факторная и остаточная д и с п е р с и и . 355
V § 5. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного а н а л и з а ... 355 Ү § 6. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях 358
Задачи ... .... 361 ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Метод Монте—Карло. Цепи Маркова
Г л а в а д в а д ц а т ь и е р в а я. Моделирование (разыгрыва
ние) случайных величин ме
тодом М о н т е -К а р л о . . . 363
§ 1. Предмет метода Монте — К а р л о ... .... 363
§ 2. Оценка погрешности метода Монте— К а р л о ... 364
§ 3. Случайные ч и с л а ...* . ... 366 ' § 4. Разыгрывание дискретной случайной величины . . . 366
§ 5. Разыгрывание противоположных собы т и й ... 368
§ 6. Разыгрывание полной группы с о б ы т и й ... 369
§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Ме
тод обратных ф у н к ц и й 371
§ 8. Метод суп ер п ози ц и и ... 375
§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной в е л и ч и н ы ... .... 377 Задачи ... ...; . . 379
Г л а с а д с а д ц а т ь в т о р а я. Первоначальные сведения о цепях Маркова . . . . с . 380
§ 1. Цепь М а р к о в а ... 3S0
§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности.
Матрица перехода ... 381
§ 3. Равенство М а р к о в а ... 383 Задачи ... 385
ЧАСТЬ ПЯТАЯ Случанные функцни
Г л а в а д в а д ц а т ь т р е т ь я . Случайные функции . . . . 38G
§ I. Основные з а д а ч и ... 380
§ 2. Определение случайной функции ... 386
§ 3. Корреляционная теория случайных функций . . . . 388
§ 4. Математическое ожидание случайной функции . . . 390
§ 5. Свойства математического ожидания случайной функ
ции ... 390
§ 6. Дисперсия случайной ф у н к ц и и ... 391
$ 7. Свойства дисперсии случайной ф у н к ц и и ... 392
$ 8. Целесообразность введения корреляционной функции 393
§ 9. Корреляционная функция случайной функции . . . 394
§ 10. Свойства корреляционной функции ... 393
§ 11. Нормированная корреляционная ф у н к ц и я ... 398
§ 12. Взаимная корреляционная функция ... 399
§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции . . . . 400
>s 14. Нормированная взаимная корреляционная функция 401
§ 15. Характеристики суммы случайных функций . . . . 402
§ 16. Производная случайной функции и се характеристики 405 ч} 17. Интеграл от случайной функции и его характери
стики ... '... 409
§ 18. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики ... 413
§ 19. Комплексные случайные функции и их характе
ристики ... 415 Задачи ... 417 Г л а в а д в а д ц а т ь ч е г в и р т а я. Стационарные случайные
ф у н к ц и и ... 419
§ 1. Определение стационарной случайной функции . . . 419
§ 2. Свойства корреляционной функции стационарной слу
чайной ф у н к ц и и ... 421.
§ 3. Нормированная корреляционная функция стационар
ной случайной функции ... 421
§ 4. Стационарно связанные случайные ф у н к ц и и ... 423
§ 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной ф у н к ц и и ... 424
§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной слу
чайной функции н ее п р о и з в о д н о й ... 425
§ 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной ф у н к ц и и ... ... 42G
11
§ 8. Определение характеристик ьргглическнх стационар
ных случайных функции из о п ы т а ... '128
Задачи ... 430
Г л а в а д в а д и а т ь и я т а я. Элементы спектральной тео рии стационарных случайных ф у н к ц и й ... 431
§ 1. Представление, стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными ф а з а м и ... 431
§ 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции 435 § 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная п л о т н о с т ь ... ... 437
§ 4. Нормированная спектральная плотность ... 441
§ 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций . . . . 442
§ G. Д ел ьта-ф ун к ц и я ... 443
§ 7. Стационарный белый ш у м ... 444
§ 8. Преобразование стационарной случайной функции ста ционарной линейной динамической системой . . . . 440
Задачи ... 449
Дополнение ... 451
П р и л о ж е н и я ... 401
Предметный у к а з а т е л ь ... 474
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем издании в соответствии с повой программой для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений добавлены главы X X I — X X V , посвященные моделированию (разыгрыванию) случайных величин методом Мойте— К арло, первоначальным сведе
ниям о цепях Маркова и случайным функциям; добавлены параграфы, в которых изложены методы моментов и наи
большего правдоподобия, оценка вероятности по частоте, сравнение двух вероятностей, дисперсионный анализ не
одинакового числа испытаний па различных уровнях, прямые линии среднеквадратнческон регрессии, нормаль
ная корреляция и др. Кроме того, внесены сущ ественные изменения: содержательные определения независимости событий заменены вероятностными; метод четырех полей вычисления выборочного коэффициента корреляции зам е
нен более удобным; изменена терминология: термины
«интегральная функция» и «дифференциальная функция»
заменены соответственно на термины «функция распреде
ления» и «плотность распределения»; помещен предметный указатель.
Проф. М. И. Ядренко, доценты 10. В. К озаченко и А . И. Пономаренко внимательно прочитали рукопись и сделали ряд существенных и весьма полезных замечаний.
П. Г. Пекарь приняла участие в подготовке рукописи к печати. Всем названным выше лицам выражаю искрен
нюю благодарность.
Авт ор
ВВЕДЕНИЕ
Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на сл едую щ ие три вида: до стоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осущ ествлена определенная сово
купность условий S . Например, если в сосуде содерж ится вода при нормальном атмосферном давлении н темпера
туре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий 5 .
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осущ ествлена совокупность усло
вий 5 . Н апример, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осущ ествлена совокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осущ ествле
нии совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо над
пись. П оэтом у событие «при бросании монеты выпал
«герб»— случайное. К аж дое случайное событие, в ч а с т о сти выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в пашем примере: сила, с которой брош ена монета, форма монеты и многие другие).
Н евозм ож но учесть влияние па результат всех этих при
чин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет еди
ничное событие или нет, — она просто пе в силах это сделать.
По-иному обстоит дело, если рассматриваются случай
ные события, которые могут многократно наблюдаться при осущ ествлении одних и тех ж е условий S , т. е. если
речь идет о массовых однородных случайных событиях.
Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих з а кономерностей п занимается теория вероятностей.
Итак, предмет ом т еории вероятностей является и з у чение вероятностных закономерностей массовых однород
ных случайных событий.
Знание закономерностей, которым подчиняются м ассо
вые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уж е сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, по можно предсказать, причем с не
большой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно больш ое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросаю т в одних и тех ж е условиях.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуж ивания, в теорети
ческой ф изике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управ
ления, общей теории связи и во многих других теорети
ческих и прикладных н ауках. Теория вероятностей служ и т такж е для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и прие
мочном контроле качества продукции и для многих д р у гих целей.
В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.
Краткая историческая справка. Первые работы, в ко
торых зарож дались основные понятия теории вероятно?
стен, представляли собой попытки создания теории азартных игр (К ардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и д р у гие в X V I — XVI I вв.).
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (16 5 4 — 1705). Д ок азан н ая им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснова- _hilpm накопленных панее Фактов.
Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана М уавру, Л апласу, Г ауссу, П уассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период связан с име
нами П. Л . Чебышева (1821— 1894) и его учеников А . А . Маркова (1856— 1922) и А. М. Ляпунова (1857— 1918).
В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующ ее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н . Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчии, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и д р .).
В настоящ ее время ведущая роль в создании новых вет
вей теории вероятностей такж е принадлежит советским математикам.
Ч Л С Т Ь П Е Р В А Я
СЛУЧАЙНЫ Е СОБЫТИЯ
Глава первая
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Испытания и события
Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условии S оно может либо произойти, либо не произойти.) В дальней
шем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматри
ваться как результат испытания.
Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел— это испытание. Попадание в определенную область мишени — событие.
Пример 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появле
ние шара определенного цвета — событие.
§ 2. Виды случайных событий
События называют несовместными, если появле
ние одного из них исключает появление други х событий в одном и том ж е испытании; .
Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь.
Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась не
стандартная деталь» — несовместные.
Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает по
явление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись»—
несовместные.
Н есколько событий образую т полную г р у п п у , если в результате испытания появится хотя бы "одно из них.
Другим и словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности,
17
если события, образую щ ие полную гр у п п у, попарно несов
местны, то в результ ат е испытания появится одно и т олько одно из эт их событий. Зтот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется д ал ее.j
Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи.
Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:
«выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал па первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события: обра
зуют полную группу попарно несовместных событий. .
Пример 4. Стрс-лок произвел выстрел по цели. Обязательно прои
зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют 'полную группу.
„События называют равновозможными. если есть о сн о вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты — равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
Пример б. Появление того пли иного числа очков на брошенной игральной кости — равновозможные события. Действительно, предпо
лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказы
вает влияния на выпадение любой грани.
§ 3. Классическое определение вероятности Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностен. Существует несколько определений этого понятия.. Приведем определение, которое называют к лас
сическим. Д ал ее укажем слабые стороны этого оп ределе
ния и приведем другие определения, позволяющие пре
одолеть недостатки классического определения.
г ^Рассмотрим пример. Пусть в урне содерж ится 6 оди наковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1— белый. Очевидно, возмож ность вынуть наудачу из уриы цветнойг-(т.-е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар, М ожно ли охарактеризовать эту возможность числом?
Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного Шара). ^[Гаким образом, вероятность есть число, характеризую щ ее степень воз
можности появления собы тия.^
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цвет
ной.. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А . Каждый из возможных результатов испытания .(испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом > (элементарным, событием). Элементарные исходы обозначим через со,, <о2, со, и т. д. В нашем примере возможны следую щ ие G эл е
ментарных исходов: о)! — появился белый шар; со,, соа — появился красный шар; со4, (ог„ юв— появился синий шар.
Легко видеть, что эти исходы образую т полную группу попарно несовместных событии (обязательно появится только одни шар) н они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).../
Те элементарные исходы, в которых интересующ ее нас событие наступает, назовем благоприят ст вующ ими этому событию. В нашем примере благоприятствуют со
бытию Л /(появлению цветного шара) следующ ие 5 исхо
дов: со,,'со3, со.,, соб, сос.
( Таким образом, событие А наблю дается, если в испы
тании наступает один,') безразлично какой, из элементар
ных исходов, благоприятствующ их А \ в нашем примере А наблюдается, если наступит со,, пли со3, пли о>4, или соа>
или со8'.; В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (со,, со.,, со,,, со5, со,.);
элементарное ж е событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие м ежду событием А и элементарным событием (элементарным исходом).
Отношение числа благоприятствующ их событию А эл е
ментарных исходов к их общему числу называют вероят
ностью события А п обозначают через Р ( А ) . В рассмат
риваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А . Следовательно, вероят
ность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (/1) = 5 /6.) Это число и дает ту количественную оценку степеип возмож ности появления цветного шара, которую
„ мы хотели пайгп. Д адим теперь определение вероятности.
'/ l . В ероят ностью события А называют отношение числа благоприятствующих""этому событию исходов к общему числу всех равновозможны х несовместных элементарных исходов, образую щ их полную груп пу. Итак, вероятность события А определяется формулой
Р (А ) = т / п , /
19
где т — число элементарных исходов, благоприятствую щих /1; я — число ьсех возможных элементарных исходов испытания. .
Здесь предполагается, что элементарные исходы н е
совместны, равновозможны и образую т полную груп пу.
Из определения вероятности вытекают следую щ ие ее свойства:
С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события расна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы тию. В этом случае т — п , следовательно,
Р (/1) = т /п — п/и — 1.
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна н ул ю .
Действительно, если событие невозможно, то ни один пз элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае ///.--О , следовательно,
Р (/1) = т /п -■ 0/п - 0'
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть полож ительное число, заключенное между нулем и еди
ницей.
Д ействительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы
тания. В этом случае 0 < т < / / , значит, 0 < т /п < 1, следовательно,
0 < Р ( А ) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двой ному неравенству
Д ал ее приведены теоремы, которые позволяют по и з
вестным вероятностям одних событий находить вероятно
сти други х событий.
З а м е ч а н и е . Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретнко-множественной основе. Ограничимся изложе
нием на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий со,- (і = 1, 2, . . . , п). События <о,- называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элемен-
•п.рных событий, которые .могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Q, а сами элементарные собы- т ;гя — точками пространства Q.
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоп
