МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ 1

(1)

1

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

«Алматы энергетика және байланыс университеті»

коммерциялық емес акционерлік қоғамы

М.Ж.Байсалова, М.Ш.Тілепиев МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ 1- бөлім

Оқулық

Алматы АЭжБУ 2019

(2)

2 ӘОЖ 51(075.8)

КБЖ 22.1я73 Б 17

Пікір берушілер:

физика-математика ғылымдарының кандидаты,

әль-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің «Дифференциалдық теңдеулер және басқару теориясы» кафедрасының доценті

Ү.Қ.Қойлышов

әль-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің «Дифференциалдық теңдеулер және басқару теориясы» кафедрасының доценті

Қ.С.Женсикбаев

Алматы энергетика және байланыс университетінің «Математика және математикалық үлгілеу» кафедрасының доценті

А.Қ.Искакова

Алматы энергетика және байланыс университетінің Ғылыми кеңесі басуға ұсынады (15.03.2019 ж. №4 хаттама). АЭжБУ ведомостік әдебиеттер басылымдарын шығарудың тақырыптық жоспары бойынша басылады, реті 42.

Байсалова М.Ж., Тілепиев М.Ш.

Б 17 Математика. Теориясы және есептер жинағы. 1 бөлім: Оқулық. – Алматы: АЭжБУ, 2019. - 99 б.: кесте - 8, ил. - 13, әдеб. көреткіші – 9 атау.

ISBN 978-601-7889-89-0

Бұл оқулық Алматы энергетика және байланыс университетінде техникалық мамандықтар бойынша оқитын білім алушылар үшін

«Математика» пәнінің бағдарламасына сәйкес жасалған.

ӘОЖ 51(075.8) КБЖ 22.1я73

ISBN 978-601-7889-89-0 © АЭжБУ, 2019

Байсалова М.Ж., Тілепиев М.Ш., 2019

(3)

3

Кіріспе

Ғылым мен техникада, инженерлік–техникалық зерттеулерде математика өте маңызды рөл атқарады. Ол тек сандық есептің қаруы ғана емес, сонымен қатар дәл зерттеулердің әдісі және ұғымдар мен мәселелерді анағұрлым нақты қалыптастырудың құралы да болып табылады. Сондай-ақ, математика қолданбалы есептерді шығару үшін пайдаланатын ғылыми құрал ғана емес, бұл пәнді оқып меңгеру болашақ мамандардың ой-өрісінің, жалпы білім мәдениетінің жоғары деңгейде қалыптасуына зор әсер етеді.

Жоғары оқу орындары қазіргі кезеңде кредиттік технология бойынша оқытуға көшкендіктен студенттер оқытушы тарапынан оқу-әдістемелік кешенмен толықтай қамтамасыз етілуі тиіс. Бірақ бұл үшін оқу процесін жүргізуге қажетті қазақ тілінде жарық көрген теориялық оқулықтар бар болғанымен, практикалық жұмыстарды орындауға арналған есептер жинағы жеткіліксіз. Сондықтан ұсынылып отырған «Математика. Теориясы және есептер жинағы. 1 бөлім» оқулығы техникалық мамандықтарда оқитын студенттер үшін «Математика 1» пәнінің типтік бағдарламасына сәйкес кредиттік жүйеге лайықты етіп жазылған. Бұл оқулықта дәріс материалдары, тәжірибелік сабақтарда және студенттердің өз-бетімен даярланғанда пайдаланатын қажетті, құнды материалдар қамтылған.

Оқулық үш тараудан тұрады.

Бірінші тарау сызықтық алгебра элементтері тақырыбына арналған.

Онда екі және үш белгісізі бар сызықты теңдеулер жүйесі және екінші және үшінші ретті анықтауыш, n- ші ретті анықтауыш және оның қасиеттері, минор және алгебралық толықтауыштар, матрица түрлері және оған амалдар қолдану, кері матрица, матрица рангісі, сызықты теңдеулер жүйесі және оның шешімін табудың әртүрлі әдістері қарастырылған.

Екінші тарау векторлық алгебра элементтері тақырыбына арналған.

Онда вектор және оған сызықты амалдар қолдану, векторлардың скалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері, векторлардың сызықты тәуелділігі берілген.

Үшінші тарау аналитикалық геометрия элементтері тақырыбына арналған. Онда аналитикалық геометрия есептері, жазықтықтағы және кеңістіктегі түзудің теңдеуі, жазықтық теңдеулері, екінші ретті қисықтар және екінші ретті беттер келтірілген.

Әр тақырып бойынша теориялық материалдармен бірге оларды толықтыратын үлгі-мысалдар шешімдерімен және әрбір тақырыптардан кейін студенттер өз-бетімен шығаруы үшін жаттығулар жауаптарымен және әрбір тараудан соң 30 нұсқадан тұратын есептеу-графикалық жұмыстар және осы жұмыстарды орындау үшін үлгі есебінде есепті шығару жолдары берілген.

(4)

4 1 Cызықтық алгебра элементтері 1.1 Анықтауыштар

1.1.1 Екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесі және екінші ретті анықтауыш.

Екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:





= +

2,

2 22 1 21

1 2 12 1 11

b x a x a

(1.1) мұндағы a_{i j}- жүйенің коэффициенттері нақты сандар (бірінші индексі

i

теңдеу нөмірін, ал екінші индекс j белгісіз айнымалы нөмірін көрсетеді);

2−

1,x

x белгісіз айнымалылар;

2−

1,b

b бос мүшелер.

Егер x₁=₁, x₂=₂ - сандары (1.1) теңдеулер жүйесіндегі теңдеулерді қанағаттандырса, онда осы сандар сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін бірінші теңдеудің екі жағын −a₂₁, ал екіншісін a₁₁көбейтіп, оларды қоссақ, онда:

(

a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁

)

x₂ =a₁₁b₂−a₂₁b₁. (1.2) Осыдан

.

21 12 22 11

1 21 2 11

2 a a a a

b a b x a

−

= − (1.3) Осы сияқты

.

21 12 22 11

2 12 1 22

1 a a a a

b a b x a

−

= − (1.4)

Егер a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁0 болса, онда (1.1) теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар.

Осы алынған a₁₁a₂₂ −a₁₂a₂₁ өрнекті екінші ретті анықтауыш деп айтады және былай белгіленеді:

21 12 22 11 22 21

12

11 a a a a

a a

a

a =  − 

=

 , (1.5)

мұндағы a_{i j}, i=1,2, j =1,2 сандары – екінші ретті анықтауыш элементтері, ал

i

_{жол, ал}

j

баған нөмірін анықтайды.

(1.3), (1.4) бөлшектерінің алымдағы өрнектерін де:

1 12 11 1

1 22 1 12 2 2 11 2 21 1

2 22 21 2

b a ; a b

a b a b a b a b

b a a b

 = =  −   = =  − 

(5)

5

деп жазуға болады және бұл анықтауыштар (1.5) анықтауышынан белгісіздердің коэффициенттерін сәйкес бос мүшелерімен алмастырғанда пайда болады.

Сондықтан, x₁,x₂ белгісіздерін анықтауыш арқылы:

1 12 11 1

2 22 21 2

1 2

11 12 11 12

21 22 21 22

;

b a a b

x x

a a a a

 

= = = =

 

табуға болады. Бұл формула екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын Крамер формуласы болып табылады.

Екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табу кезінде келесі үш жағдай болады:

1) Егер 0 болса, онда (1.1) теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар.

2) Егер =0, ₁ =0, ₂ =0 болса, онда (1.1) теңдеулер жүйесінің шексіз көп шешімі бар. Бұл жағдайда осы анықтауыштардан:

2 1 22 12 21 11

b b a a a

a = =

болады, яғни екі белгісізі бар бір теңдеу аламыз.

3) Егер =0, ₁0 немесе ₂ 0 болса, онда (1.1) теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ.

1.1 мысал.

5 2

3 4

−

анықтауышын есептеу керек.

Шешуі: 4 3

4 5 ( 3) ( 2) 20 6 14.

2 5

− =  − −  − = − =

−

1.2 мысал.





= +

=

−

14 5

6

10 3

2 1

x x

теңдеулер жүйесін шешу керек.

Шешуі: келесі анықтауыштарды есептейміз:

1 3

1 5 6 ( 3) 5 18 23 0;

6 5

 = − =  −  − = + = 

1

10 3

10 5 14 ( 3) 50 42 92;

14 5

 = − =  −  − = + =

. 46 60

14 10 6 14 14 1

6 10 1

2 = =  −  = − =−



(6)

6 Сонымен:

1 2

92 46

4; 2.

23 23

x =  = = x =  = − = −

 

1.1.2 Үш белгісізі бар біртекті екі сызықтық теңдеулер жүйесі.

3 2 1,x ,x

x белгісізі бар бір текті екі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:





= +

+

= +

+

0 0

3 23 2 22 1 21

3 13 2 12 1 11

x a x a x a

, (1.6) мұндағы a_{i j}- жүйенің коэффициенттері нақты сандар (бірінші индексі i теңдеу нөмірін, ал екінші индекс j белгісіз айнымалы нөмірін көрсетеді);

3 −

2 1,x ,x

x белгісіз айнымалылар;

2 −

1,b

(1.6) теңдеуінің шешімін табу үшін x₃ белгісізін белгілі деп есептеп,

2 1,x

x белгісіздерін табамыз. Ол үшін:





−

= +

−

= +

3 23 2

22 1 21

3 13 2

12 1 11

x a x

a x a

x a x

a x a немесе

13 12 11 13

11 12 11 12

1 3 2 3

21 22 23 22 21 22 21 23

; .

a a a a

a а a а

х x х x

a a  = − a a  a a  = − a a  Егер

12 13 11 13 11 12

1 2 3

22 23 21 23 21 22

; ;

a a a a a а

a a a a a a

 =  =  =

белгілеулер енгізсек, онда:

3 1 1 3

3 2 2 3

; .

х x

  =  

  = − 

Егер осы анықтауыштардың ең болмаса біреуі нөлге тең болмаса, онда (1.6) теңдеуінің шешімі:

1 1 ; 2 2 ; 3 3

х = t х =−  t х = t (1.7) формуласымен табылады, мұндағы t− кез келген тұрақты сан.

Егер ₁,₂,₃ анықтауыштарының барлығы нөлге тең болса, онда (1.6) теңдеуінің коэффициенттері пропорционал болады:

.

23 13 22 12 21 11

a a a a a

a = =

(7)

7

Бұл жағдайда, (1.6) теңдеуі үш белгісізі бар бір теңдеуге айналады және оның шешімін табу үшін осы теңдеудің екі белгісізіне кез келген сандық мән беріп үшінші белгісізді табу керек.

1.3 мысал.





=

− +

= + +

−

0 6 5 4

0 2 3

z y x

бір текті теңдеулер жүйесін шешу керек.

1

3 2 5 6 28;

 = = −

− ²

1 2 4 6 2;

 = − = −

− ³

1 3 17.

4 5

 = − = − Сонымен,

1 1 28 ; 2 2 2 ; 3 3 17 .

х =  = −t t х =−   =t t х =  = −t t

1.1.3 Үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесі жәнеүшінші ретті анықтауыш.

Үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:







= +

+

= +

+

= +

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

, (1.8) мұндағы a_{i j}- жүйенің коэффициенттері нақты сандар (бірінші индексі i теңдеу нөмірін, ал екінші индекс j белгісіз айнымалы нөмірін көрсетеді);

3 −

2 1,x ,x

x белгісіз;

3−

2 1,b ,b

Егер x₁ =₁,x₂=₂,x₃=₃ - сандары (1.8) теңдеулер жүйесіндегі теңдеулерді қанағаттандырса, онда осы сандар сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін бірінші теңдеудің екі жағын

23,

32 33

22a a a

a − екіншісін a₁₃a₃₂ −a₁₂a₃₃, ал үшіншісін a₁₂a₂₃−a₃₁a₁₃, көбейтіп, оларды қоссақ, онда:

(

)

11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31

12 21 33 11 23 32 1 1 22 33 2 13 32

3 12 23 3 12 22 2 12 33 1 23 32.

a a a a a a a a a a a a a a a a a a x b a a b a a b a a b a a b a a b a a

+ + − −

− − = + +

+ − − −

(1.9)

Осы (1.7) теңдігіндегі

x

₁ белгісізінің коэффициентін, яғни:

32 23 11 33 21 12 31 22 13 31 23 12 32 21 13 33 22

11a a a a a a a a a a a a a a a a a

a + + − − −

өрнегін үшінші ретті анықтауыш деп айтады және былай белгіленеді:

(8)

8

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31

31 32 33

13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32.

a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a

 = =   +   +

+   −   −  −  

(1.10)

Үшінші ретті анықтауыштың мәні Саррюс (немесе үшбұрыштар) ережесі деп аталатын келесі сұлба бойынша былай есептелінеді:

мұнда алғашқы үш қосылғыш өз таңбасымен, соңғы үш қосылғыш қарама- қарсы таңбасымен алынады.

Осы белгілеуді пайдаланып, (1.9) теңдігінің оң жағындағы өрнекті:

1 12 13

1 1 22 33 2 13 32 3 12 23 3 12 22 2 12 33 1 23 32 2 22 23

3 32 33

b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a

 = + + − − − =

деп жазуға болады. Егер 0болса, онда:

.

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 3

23 22 2

13 12 1

1 1

a a a

a a b

x =



= 

Осы сияқты

11 1 13

21 2 23

31 3 33

2 2

11 12 13

21 22 23

31 32 33

; a b a a b a a b a

x a a a

a a a

=  =



11 12 1

21 22 2

31 32 3

3 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, a a b a a b a a b

x a a a

a a a a a a

=  =



мұндағы



1



2

, 

3 - (1.10) анықтауышынан

x

1

, x

2

, x

3 белгісіздердің бағандарын сәйкес бос мүшелермен алмастырғанда пайда болған анықтауыштар.

(9)

9

Бұл формула үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын Крамер формуласы болып табылады.

Үш белгісізі бар үш сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табу кезінде келесі үш жағдай болуы мүмкін:

1) Егер 0 болса, онда (1.8) теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар.

2) Егер  =0, ₁ =0, ₂ =0, ₃ =0 болса, онда (1.8) теңдеулер жүйесінің шексіз көп шешімі бар.

3) Егер =0, ₁ 0 немесе ₂ 0 немесе ₃ 0 болса, онда (1.8) теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ.

1.4 мысал.

2 1 3

4 2 5

3 1 6

−

анықтауышын есептеу керек.

Шешуі: Саррюс ережесі бойынша, яғни (1.10) формуласын пайдалансақ, онда:

( ) ( ) ( )

2 1 3

4 2 5 2 2 6 3 4 1 1 5 3

3 1 6

3 2 3 2 5 1 1 4 6 24 12 15 18 10 24 73.

−

− =   +   + −  −  − −

−

−  − −  −  − −   = + − + + + =

1.5 мысал.







= + +

=

−

16 2

3 4

14 3

2

0 5

z y x

теңдеулер жүйесін Крамер формула- сымен шешу керек.

5 1 1

1 2 3 20 12 3 8 2 45 30 0;

4 3 2

− −

 = = − − + + − = − 

1

0 1 1

14 2 3 0 48 42 32 28 0 30;

16 3 2

− −

 = = − − + + − = −

₂

5 0 1

1 14 3 140 0 16 56 0 240 60;

4 16 2

−

 = = + − + − − = −

(10)

10

3

5 1 0

1 2 14 160 56 0 0 16 210 90.

4 3 16

−

 = = − + − + − = −

Сонымен

1 30 2 60 3 90

1; 2; 3.

30 30 30

x=  = − = y=  = − = z =  = − =

 −  −  −

1.1.4 n- ші ретті анықтауыш және оның қасиеттері.

n - ші ретті анықтауыш деп n жолдан және n бағаннан тұратын квадраттық кесте түрінде берілген санды айтады және ол былай белгіленеді:

( )

^^{1 2...} ^ ₁ ₂

11 12 1

21 22 2

1 2

...

... 1 ,

. . ... . ...

n

j j j n

j j nj

n n nn

a a a

 = =  −   

мұндағы қосу белгісі 1,2,3,…, n сандарынан анықталған барлық алмастырулар бойынша алынған (барлық алмастыру саны n!- ға тең),

) , 1 , , 1

(i n j n

а_i_j = = анықтауыштың элементтері және ол i- жол мен j- бағанының қиылысуында орналасқан.

n - ші ретті анықтауыш n жол және n бағандардан тұрады, бірінші i индексі жолдың, ал екінші j индексі бағанның нөмірін көрсетеді. Барлық элемент саны n² -қа тең, ал оның

2

!

n қосылғышының (мүшесінің) таңбасы плюс, қалғаны минус таңбасымен алынған, яғни плюс пен минус таңбасымен алынған қосылғыштардың саны тең. Әр қосылғыш осы анықтауыштың n элементінің көбейтіндісінен, ал әр көбейткіш анықтауыштың жатық және тік жолдарының тек бір ғана элементінен анықталады.

Төртінші және одан да жоғарғы ретті анықтауыштарды есептеу үшін анықтауыштың қасиеттерін білу қажет.

А н ы қ т а у ы ш қ а с и е т т е рі.

1) Анықтауыштың жолын (не бағанын) сәйкес бағанымен (не жолымен) орын алмастырсақ (транспонирлесек), онда анықтауыштың мәні өзгермейді:

.

22 12

21 11 22

21 12 11

a a

a a a

a a

a =

=



2) Анықтауыштың екі жолының (бағанының) орнын алмастырсақ, онда анықтауыш таңбасы қарама- қарсыға өзгереді.

3) Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтерін k санына көбейтсек, онда анықтауыш мәні k есе артады:

(11)

11

22 21

12 11 22

21 12 11

a a

a k a

ka a

ka

a = .

4) Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

5) Анықтауыштың екі жолының (бағанының) сәйкес элементтері тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

6) Анықтауыштың екі жолының (бағанының) сәйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

7) Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда ол анықтауыш мәні екі анықтауыштың мәндерінің қосындысына тең болады:

22 21

12 11 22 21

12 11 22 22 21

12 12 11

b a

b a a a

a a b a a

b a

a = +

+ +

.

8) Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанының) барлық элементтерін k санына көбейтіп, екінші бір жолының (бағанының) сәйкес элементтеріне қоссақ, онда анықтауыш мәні өзгермейді:

22 22 21

12 12 11 22

21 12 11

a ka a

a ka a a

a a a

+

= + .

1.1.5 Минор және алгебралық толықтауыштар.

n - ші ретті анықтауыштың а_i_j элементінің Mij миноры деп, осы анықтауыштың i-ші жатық, j-ші тік жолдарын сызып тастағанда пайда болған (n-1)-ші ретті анықтауышты айтады, яғни:

11 1, 1 1, 1 1

1,1 1, 1 1, 1 1,

1 , 1 , 1

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

, ... ...

j j n

i i j i j i n

i j

i i j j j i n

n n j n j n n

a a a a

M a a a a

a a a a

− +

− − − − + −

+ + − + + +

− +

= _.

Анықтауыштың а_i_j элементінің

А

_i_j алгебралық толықтауышы деп,

j i+

−1)

( таңбасымен алынған осы элементтің минорын айтады, яғни:

j i j i j

i M

А =(−1) ⁺ .

1.1 теорема. Егер Δ анықтауышының j-ші тік (жатық) жолының

а

_i_j

элементінен өзге барлық элементтері нөлге тең болса, онда Δ анықтауыштың

(12)

12

мәні а_i_j элементі мен оның

А

_i_j алгебралық толықтауышының көбейтіндісіне тең болады:

j i j i j i j

i j

i a a M

A  = − 

=

 ( 1)⁺ _.

Дәлелдеуі. Үшінші ретті анықтауыш үшін:

11 12 13

22 23 11 22 33 11 23 32 11 22 33 23 32

32 33

1 1

11 11 11 11

0 ( )

0

( 1) .

а а а

а а а а а а а а а а а а а

а а

а М ⁺ а М

 = = − = − =

=  = −

Теорема дәлелденді.

1.2 теорема (анықтауышты тік немесе жатық жолдары арқылы жіктеу).

Анықтауыштың кез келген тік (жатық) жолдарының элементтері мен оның алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыштың мәніне тең болады:

. , 1

; , 1 .

...

2 2 1 1

n j n i A

a A

a A a

A a A

a A a

in in i

i i i

nj nj j

j j j

=

= +

+ +

=

= +

+ +

=



Дәлелдеуі. Үшінші ретті анықтауышты бірінші тік жолы арқылы жіктейік, сонда:

31 31 21 21 11 11 33

32 31

23 22 21

13 12 11

А а А а А а а

а а

а а а

+ +

=

 .

Осы теңдікті дәлелдейік:

11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33

11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22

1 1 2 1 3 1

11 11 21 21 31 31 11 11 21 21 31 31

( ) ( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1) .

а а а а а а а а а а а а а а а а а а

а а а а а а а а а а а а а а а

а ⁺ М а ⁺ М а ⁺ М а А а А а А

 = + + − − −

= − − − + − =

= − +  − +  − = + +

Теорема дәлелденді.

1.6 мысал.

1 2 3 5 1 1 2 1 4

−

анықтауышының a ₂₁ элементінің минорын есептеу керек.

Шешуі: a₂₁= −5; ₂₁ 2 3

8 3 11.

1 4

M = = + =

−

(13)

13 1.7 мысал.

6 1 3

5 2 4

3 1 2

−

анықтауышын екінші баған элементтері арқылы жіктеп есептеу керек.

Шешуі: 1.2 теоремасын пайдалансақ, онда:

( )

( ) ( ) ( )

12 22 32

1 2 2 2 3 2

2 1 3

4 2 5 1 2 1

3 1 6

4 5 2 3 2 3

1 2 1 1 23.

3 6 3 6 4 5

A A A

+ + +

−

− = −  +  +  =

− −

= − − − + − + − = −

− − − − −

1.8 мысал.

3 5 7 2 1 2 3 4

2 3 3 2 1 3 5 4

− − анықтауышын есептеу керек.

Шешуі: келесі түрлендірулерді жасаймыз:

1) 2-ші жол элементтерін (-3)-ке көбейтіп, 1-ші жолдың сәйкес элементтеріне қосамыз.

2) 3-ші жол элементтеріне 2 еселенген 2-ші жол элементтерін қосамыз.

3) 4-ші жол элементтерінен 2-ші жол элементтерін шегереміз. Сонда берілген анықтауыштардың түрі мынадай болады:

0 2 1 0

10 9 1 0

4 3 2 1

10 2 1

0 − − −

=

 _.

1.1 теоремасын пайдаланып, анықтауышты 1-ші баған элементтері бойынша жіктейміз:

( )

0 2 1

10 9 1

10 2 1

0 2 1

10 9

1

10 2 1 1

1

1 ₂₁ ² ¹

−

=

−



−



=



=

 A ⁺ _.

1-ші жол элементтерін 2-ші және 3-ші жол элементтеріне қосамыз, сонда:

1 2 10 1 2 10

0 7 0 0 7 0

0 0 10 0 0 10

− − −

 = − =

− −

.

(14)

14

Осы анықтауышты 2-ші не 3-ші жол немесе 1-ші баған элементтері бойынша жіктеуге болады. Мысалы, 2-ші жол бойынша жіктейік:

( )

^{2 2}

( )

22

7 7 1 1 10 7 10 0 70.

A ⁺ 0 10

 =  =  −  = − + = −

− Жаттығулар.

Берілген анықтауыштарды есептеу керек:

1) 8 9

6 7 . 2) 4 2

−5 5 . 3) 3 2 5 7

− .

Жауабы: 2. Жауабы: 30. Жауабы: -31.

Берілген теңдеулер жүйесін Крамер формуласы шешу керек:

4)

=

−

= +

23 2

3

19 6

2 1

x x

. 5)





= +

=

−

22 4

3

7 5 2

2 1

x x

. 6) ¹ ²

1 2

2 7 25

9 8 6

x x

− + =

 + =

 .

Жауабы:

(

⁵^;⁻⁴

)

^. Жауабы:

( )

⁶^;¹^. Жауабы:

(

−2;3

)

. Берілген бір текті сызықтық теңдеулер жүйесін шешу керек:

7) 

=

− +

= +

−

0 3 2

0 2

3

z y x

. 8)





=

− +

= +

−

0 2

0 5

8

z y x

.

Жауабы: х=2t,y =5t,z =4t. Жауабы: х=3t, y=9t, z =21t. Берілген анықтауыштарды:

а) Саррюс ережесі бойынша;

ә) 1-ші жол элементтері бойынша жіктеп;

б) 2-ші баған элементтері бойынша жіктеп есептеу керек.

9)

4 3 2 2 1 3 2 5 1

−

. 10)

2 4 7

9 3 5

6 8 1

−

. 11)

5 6 2

4 3 2

1 7 8

−

. Жауабы: -56. Жауабы: 136. Жауабы: -180.

12)

1 2 3 3 1 2 2 3 1

. 13)

1 17 3 1 13 1

1 7 1

−

− . 14)

1 3 4

5 5 6

6 1 2

−

− −

. Жауабы: 18. Жауабы: 100. Жауабы: 78.

Берілген теңдеулер жүйесін Крамер формуласы шешу керек:

15)

1 2 3

3 4 8

2 5 11

2 3 14.

x x x

− + =

 − + =

 + − = −



16)

1 2 3

1 2 2

2 3 7

2 5 4 15

3 4 1.

x x x

+ − = −

− + − = −

 + + =



(15)

15

Жауабы: (-1;-2;3). Жауабы: (1;-1;2).

17)

1 3

1 2 2

7 5 11

4 6 3 5

2 4 13.

x x

x x x

+ + =

− − + =

 + + =



18)

1 2 3

1 2 2

2 3

3 4 2 4

3 2 4 2.

x x x

− − =

− + + =

 + + =



Жауабы: (-2;3;5). Жауабы: (2;4;-3).

19)

1 2

2 3

1 3

3 4 11

5 6 28

2 7.

x x

+ =

 + =

 + + =



20)

1 2 3

1 2 2

2 8

3 2 10

4 3 2 4.

x x x

+ + =

 + + =

 + − =



Жауабы: (1;2;3). Жауабы: (1;2;3).

Берілген анықтауыштарды есептеу керек:

21)

3 1 2 1

3 1 0 1

0 1 2 3

2 0 1 2

−

− ^. ²²⁾

7 1 2 1

1 0 0 1

6 4 1 3

3 2 2 1

−

.

Жауабы: 28. Жауабы: 12.

23)

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2

2 2 2 4

−

− −

− − −

.

24)

64 16 4 1

27 9 3 1

8 4 2 1

1 1 1 1

.

Жауабы: 180. Жауабы: 12.

1.2 Матрица

1.2.1 Негізгі ұғымдар.

m – жатық және n - тік жолдардан құралған тік бұрышты кесте түрінде берілген сандар жиынын mn өлшемді матрица дейді, ол былай белгіленеді:

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

. ...

. .

...

2 1

1 22 21

1 12 11

= немесе

















=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a a A

...

. ...

. .

...

2 1

1 22 21

1 12 11

,

мұндағы

( )

ai j ^, i=^{1, ,}m j =^1,n - матрицаның элементтері деп аталады, бірінші индекс

i

- матрицаның жолының, ал екінші индекс

j

– бағанының нөмірін анықтайды.

(16)

16

Егер m = n болса, онда ол матрица шаршы (квадрат) матрица деп, ал n матрица реті деп аталады. Мысалы, үшінші ретті шаршы матрица былай жазылады:

.

33 32 31

23 22 21

13 12 11

















=

a a a

a a a А

Шаршы матрицаның a₁₁, a₂₂, ...,a_nn элементтері оның негізгі диагоналы, ал a1_n, a2_n₋1, ...,a_n1 элементтері қосалқы диагоналы деп аталады.

Шаршы матрица элементтерінен құралған анықтауышты матрица анықтауышы деп атап, detA немесе 

( )

A деп белгілейді.

Е с к е р т у – Шаршы емес матрицаның анықтауышы болмайды, себебі анықтауыштар тек шаршы кесте түрінде беріледі.

Егер 

( )

A 0, онда A матрица ерекше емес матрица деп, ал егер

( )

=0

 A болса, онда ол ерекше матрица деп аталады.

Егер A матрицаның жолдары A^ матрицаның бағандары болып келсе, онда A^ матрицасын A матрицасының транспонирленген матрицасы деп атайды.

Егер шаршы A матрица элементтері үшін a_{i j} =a_{j i},i=1, ,n j=1,n теңдігі орындалса, онда A матрицасын симметриялы деп, ал a_{i j} = −a_{j i} теңдігі орындалса, онда қиғаш симметриялы деп атайды.

Егер шаршы матрицаның негізгі диагоналының элементтерінен өзге элементтері нөлге тең болса, онда ол матрица диагоналды матрица деп аталады:

11 22

33

0 0

a

A a

a

 

 

= 

 

 

.

Егер диагоналды матрицаның барлық элементтері бірге тең болса, онда ол бірлік матрица деп аталады және ол E символымен белгіленеді:

















=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

E _.

Егер шаршы матрицаның негізгі диагоналынан төмен орналасқан (жоғары орналасқан) элементтері нөлге тең болса, онда ол жоғары (төменгі) үшбұрышты матрица деп аталады:

(17)

17

















=

33 23 22

13 12 11

0 0 0

a a a

A ;

















=

33 32 31

22 21 11

0 0 0

a a a

B .

Егер матрица бір тік (жатық) жолдан анықталса, онда ол матрица тік (жатық) жолды матрица деп аталады:

(

a a a _n

)

A= ₁₁ ₁₂ ... ₁ ;

















=

1 21 11

...

am

a a

B .

Бірдей ретті

A

және

B

матрицаларының сәйкес элементтері тең болса, яғни a_{i j} =b_{i j},i=1, ;m j =1,n онда

A

және

B

тең матрицалар деп аталады.

1.2.2 Матрицаларға сызықты амалдар қолдану.

1) Матрицаларды қосу. Бірдей ретті А=(a_{i j}) мен В=(b_{i j}) матрицаларының алгебралық қосындысы деп сол ретті С =(с_i_j ) матрицасын айтады: С = АВ және оның кез келген элементтері мына формуладан анықталады:

; 1, ; 1,

i j i j i j

c =a +b i = m j = n яғни

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

.

a a a b b b

A B

a a a b b b

a b a b a b

a b a a b

   

 =    =

   

  

 

=    

2) Матрицаларды санға көбейту. Кез келген

A

матрицаның  санына көбейтіндісі деп С матрицасын айтады: С=А немесе С = А және оның кез келген элементтері мына формуладан анықталады:

; 1, ; 1,

i j i j

c =  a i = m j = n . Яғни

.

23 22

21

13 12

11 23

22 21

13 12

11 



 







= 



 





=

 a a a

a a

a a A a



 



Матрицаны санға көбейткенде мына қасиеттер орындалады:

− сандар көбейткіштеріне терімділік қасиет( )А=( А);

− үлестірімділік қасиет (А+В)= А+ В;

− сандардың қосындысына үлестірімділік қасиет ( + )А= А+ А;

− (−1)А=−А;