On a Method for the Numerical Solution of Integro-Diﬀerential Equations

(1)

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

(2)

ISSN (Print) 2616-7182 ISSN (Online) 2663-1326

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң

ХАБАРШЫСЫ BULLETIN

of the L.N. Gumilyov Eurasian National University

ВЕСТНИК

Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева

МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА сериясы

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Серия МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА

№4(125)/2018

1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995 Издается с 1995 года

Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год

Астана, 2018

Astanа, 2018

(3)

БАС РЕДАКТОРЫ ф.-м.ғ.д., проф

Темiрғалиев Н. (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Жұбанышева А.Ж., PhD (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Наурызбаев Н.Ж., PhD (Қазақстан)

Редакция алқасы

Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Жапония) Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Қытай)

Бекенов М.И. ф.-м.ғ.к., доцент (Қазақстан) Голубов Б.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Зунг Динь ф.-м.ғ.д., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. ф.-м.ғ.д., проф.(Қазақстан) Иванов В.И. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Калиев И.А. ф.-м.ғ.д., проф.(Ресей) Кобельков Г.М. ф.-м.ғ.д., проф.(Ресей) Курина Г.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Марков В.В. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Мейрманов А.М. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Смелянский Р.Л. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Умирбаев У.У. ф.-м.ғ.д., проф. (АҚШ) Холщевникова Н.Н. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. докторы, проф. (Германия)

Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Сәтпаев к-сi, 2, 408 бөлме.

Тел: (7172) 709-500 (iшкi 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz Жауапты хатшы, компьютерде беттеген

А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы.

МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА сериясы

Меншiктенушi: ҚР БжҒМ "Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi" ШЖҚ РМК Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.

Қазақстан Республикасыңың Ақпарат және коммуникациялар министрлiгiмен тiркелген.

27.03.2018ж. № 17000-ж тiркеу куәлiгi.

Тиражы: 25 дана

Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қ., Қажымұқан к-сi ,12/1, тел: (7172)709-500 (iшкi 31-428).

c

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi

(4)

EDITOR-IN-CHIEF

Prof., Doctor of Phys.-Math. Sciences Temirgaliyev N. (Kazakhstan)

Deputy Editor-in-Chief Zhubanysheva A.Zh., PhD (Kazakhstan) Deputy Editor-in-Chief Nauryzbayev N.Zh., PhD (Kazakhstan)

Editorial board Abakumov E.V. PhD, Prof. (France)

Alexeyeva L.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Alimhan Keylan PhD, Prof. (Japan)

Bekzhan Turdybek PhD, Prof. (China)

Bekenov M.I. Candidate of Phys.-Math. Sciences, Assoc.Prof. (Kazakhstan)

Golubov B.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) D˜ ung Dinh Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Vietnam) Ibrayev A.G. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Kazakhstan) Ivanov V.I. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kaliev I.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kobel’kov G.M. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Kurina G.A. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Markov V.V. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Meirmanov A.М. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Smelyansky R.L. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(Russia) Umirbaev U.U. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof.(USA) Kholshchevnikova N.N. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia) Schmeisser Hans-Juergen Dr. habil., Prof. (Germany)

Editorial address: 2, Satpayev str., of. 408, Astana, Kazakhstan, 010008 Теl.: (7172) 709-500 (ext. 31-428)

E-mail: vest_math@enu.kz Responsible secretary, computer layout:

A. Nurbolat

Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series

Owner: Republican State Enterprise in the capacity of economic conduct "L.N. Gumilyov Eurasian National University" Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan

Periodicity: 4 times a year

Registered by the Ministry of Information and Communication of the Republic of Kazakhstan.

Registration certificate №17000-ж from 27.03.2018.

Circulation: 25 copies

Address of printing house: 12/1 Kazhimukan str., Astana, Kazakhstan 010008;

tel: (7172) 709-500 (ext.31-428).

c L.N. Gumilyov Eurasian National University

(5)

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР профессор, д.ф.-м.н.

Темиргалиев Н. (Казахстан)

Зам. главного редактора Жубанышева А.Ж., PhD (Казахстан) Зам. главного редактора Наурызбаев Н.Ж., PhD (Казахстан)

Редакционная коллегия Абакумов Е.В. PhD, проф. (Франция) Алексеева Л.А. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Алимхан Килан PhD, проф. (Япония)

Бекжан Турдыбек PhD, проф. (Китай)

Бекенов М.И к.ф.-м.н., доцент (Казахстан) Голубов Б.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Зунг Динь д.ф.-м.н., проф. (Вьетнам) Ибраев А.Г. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Иванов В.И. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Калиев И.А. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Кобельков Г.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Курина Г.А. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Марков В.В. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Мейрманов А.М. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Смелянский Р.Л. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Умирбаев У.У. д.ф.-м.н., проф. (США) Холщевникова Н.Н. д.ф.-м.н., проф. (Россия)

Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. доктор, проф. (Германия)

Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2, каб. 408 Тел: (7172) 709-500 (вн. 31-428). E-mail: vest_math@enu.kz

Ответственный секретарь, компьютерная верстка А. Нурболат

Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Серия МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА

Собственник: РГП на ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева" МОН РК

Периодичность: 4 раза в год.

Зарегистрирован Министерством информации и коммуникаций Республики Казакстан.

Регистрационное свидетельство №17000-ж от 27.03.2018г.

Тираж: 25 экземпляров. Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Кажымукана, 12/1,

тел.: (7172)709-500 (вн.31-428).

c

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

(6)

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ ХАБАРШЫСЫ. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. МЕХАНИКА СЕРИЯСЫ,

№4(125)/2018

МАЗМҰНЫ

МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА Темiрғалиев Н. Компьютерлiк (есептеуiш) диаметр және функциялар теориясының iшкi мәселелерi мәнмәтiнiндегi жуықтау және енгiзу теориясы

8

Кобельков Г.М.Интегро-дифференциалдық теңдеулердi сандық шешудiң бiр әдiсi жөнiнде 69 Малыхин В.И., Нұртазина Қ.Б. Айқынсыздық жағдайдағы инвестициялық процесстердi математикалық талдау

75

Оспанова А.Б., Тулеуов Б.И.Raspberry Pi микрокомпьютерiн Қазақстанды цифрландыруда тиiмдi пайдалану мүмкiндiктерi

95

Солодов А.П. Синустар бойынша қатар қосындысының нөл маңайындағы асимптотикалық өзгерiсi

108

Холщевникова Н.Н.Қосындылаудың регулярлық әдiсi үшiн жалғыздық жиыны 113 Фарайзаде А.П., Шафи А. Векторлық кеңiстiктердегi Куратовский проблемасы туралы 117

МЕХАНИКА МЕХАНИКА

Афонина Н.Е., Смехов Г.Д., Хмелевский А.Н. Метанның жоғары температуралы тұтануы мен жануы

120

5

(7)

BULLETIN OF L.N. GUMILYOV EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY.

MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS SERIES, №4(125)/2018

CONTENTS

MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE MATHEMATICS-COMPUTER SCIENCE Temirgaliyev N. Embedding and Approximation Theories in the Context of Computational (Nu- merical) Diameter and Internal Problems of the Theory of Functions

8

Kobel’kov G.M. On a Method for the Numerical Solution of Integro-Differential Equations 69 Malykhin V.I., Nurtazina K.B. Mathematical Analysis of Investment Processes In Uncertainty 75 Ospanova A., Tuleuov B. Perspectives of Use of Microcomputer Raspberry Pi in Effective Kaza- khstan Digitalization

95

Solodov A.P. Asymptotic Behavior of the Sum of Sines Series in the Zero Neighborhood 108 Kholshchevnikova N.N. Sets of Uniqueness for Regular Methods of Summation 113 Farajzadeh A.P., Shafie A.On Kuratowski’s Problem in Vector Spaces 117

MECHANICS MECHANICS

Afonina N.E., Smekhov G.D., Hmelevskii A.N. High-temperature Ignition and Combustion of Methane

120

6

(8)

ВЕСТНИК ЕВРАЗИЙСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ Л.Н.ГУМИЛЕВА. СЕРИЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА.

МЕХАНИКА, №4(125)/2018

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА МАТЕМАТИКА-ИНФОРМАТИКА Темиргалиев Н. Теории вложений и приближений в контексте К(В)П и внутренних проблем теории функций

8

Кобельков Г.М.Об одном методе численного решения интегро-дифференциальных уравнений 69 Малыхин В.И., Нуртазина К.Б. Математический анализ инвестиционных процессов в условиях неопределенности

75

Оспанова А.Б., Тулеуов Б.И. Перспективы использования микрокомпьютера Raspberry Pi в эффективной цифровизации Казахстана

95

Солодов А.П. Асимптотическое поведение суммы ряда по синусам в окрестности нуля 108 Холщевникова Н.Н.Множества единственности для регулярных методов суммирования 113 Фарайзаде А.П., Шафи А. О проблеме Куратовского в векторных пространствах 117

МЕХАНИКА МЕХАНИКА

Афонина Н.Е., Смехов Г.Д., Хмелевский А.Н. Высокотемпературное воспламенение и горение метана

120

7

(9)

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Информатика. Механика сериясы, 2018, том 125, №4, 69-74 беттер http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz

МРНТИ: 27.41.19

Г.М. Кобельков

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия Институт вычислительной математики имени Г.И. Марчука Российской академии

наук, Москва, Россия (E-mail: kobelkov@dodo.inm.ras.ru)

Об одном методе численного решения интегро-дифференциальных уравнений Аннотация: Статья посвящена новому методу численного решения интегро- дифференциальных и интегральных уравнений, состоящем в том, что решение соответствующей системы ЛАУ проводится применением итерационного метода, в котором аналог интегрального оператора берется с нижнего слоя, а дифференциального – с верхнего.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, дифференциальный оператор, системы линейных алгебраических уравнений, метод конечных разностей, итерационный оператор.

DOI: https://doi.org/10.32523/2616-7182-2018-125-4-69-74 Обычно [1,2], при численном решении интегро-дифференциальных уравнений дифференциальный оператор аппроксимируется методом конечных разностей (методом конечных элементов), а интегральный оператор заменяется соответствующей квадратурной формулой. Это приводит к необходимости решения системы уравнений с полной матрицей и, как следствие, большому числу арифметических операций. Другой способ решения системы ЛАУ заключается в применении итерационного метода, в котором аналог интегрального оператора берется с нижнего слоя, а дифференциального – с верхнего.

В настоящей работе для некоторого подкласса интегро-дифференциальных уравнений предложен другой подход к решению системы линейных уравнений, который требует существенно меньшего числа операций.

1. Вначале изложим идею метода на простейшей краевой задаче для интегро- дифференциального уравнения:

−u

⁰⁰

+

1

Z

0

u(x) dx = f, u(0) = u(1) = 0. (1)

Аппроксимируем (1) следующим образом. Разобьем отрезок [0, 1] сеткой с шагом h = 1/N и будем искать приближенное решение задачи в узлах сетки. Заменяя вторую производную в (1) второй разделенной разностью, а интеграл – квадратурной формулой трапеций, получим

−

^uⁿ⁺¹^−2u_h₂ⁿ^+uⁿ⁻¹

+

N−1

P

j=1

hu

j

= f

n

, n = 1, . . . , N − 1,

u

0

= u

N

= 0.

(2)

69

(10)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2018, Том 125, №4

Обозначим через u вектор неизвестных: u = (u

1

, u

2

, . . . , u

N−1

)

^T

. Тогда матрица системы (2) будет иметь вид







2/h

²

+ h −1/h

²

+ h h h . . . h

−1/h

²

+ h 2/h

²

+ h −1/h

²

+ h h . . . h

h −1/h

²

+ h 2/h

²

+ h −1/h

²

+ h . . . h

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

h . . . h −1/h

²

+ h 2/h

²

+ h −1/h

²

+ h

h h . . . h −1/h

²

+ h 2/h

²

+ h







Таким образом, матрица системы является заполненной, и для решения системы уравнений с этой матрицей потребуется O(N

³

) арифметических операций.

Опишем другой алгоритм решения системы уравнений (2). Введем новую неизвестную c =

N−1

P

j=1

hu

_j

. Тогда (2) примет вид

− u

n+1

− 2u

n

+ u

n−1

h

²

+ c = f

n

, n = 1, . . . , N − 1,

N−1

P

j=1

u

j

− c/h = 0, u

0

= u

N

= 0.

(3)

Относительно вектора неизвестных (u, c)

^T

система (3) может быть записана следующим образом

A u

c

≡

A

₁₁

A

₁₂

A

21

A

22

u c

= f

0 , (4)

где f = (f

1

, . . . , f

N−1

)

^T

,

A

₁₁

=







2/h

²

−1/h

²

0 0 . . . 0

−1/h

²

2/h

²

−1/h

²

0 . . . 0

0 −1/h

²

2/h

²

−1/h

²

. . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 −1/h

²

2/h

²

−1/h

²

0 . . . 0 0 −1/h

²

2/h

²





 ,

A

₂₁

= (1, . . . , 1

| {z }

N−1

), A

₁₂

= A

^T₂₁

, A

₂₂

= −1/h.

Таким образом, матрица A является симметричной и A

₁₁

> 0, A

₂₂

< 0 , т.е. A является оператором с седловой точкой.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений (4) поступим следующим образом. Применим к обеим частям первого уравнения (4) оператор A

⁻¹₁₁

. Тогда u = A

⁻¹₁₁

(f − A

12

c) . Подставляя полученное выражение во второе уравнение (4), получим уравнение для c :

(A

21

A

⁻¹₁₁

A

12

− A

22

)c = A

21

A

⁻¹₁₁

f. (5) Оператор A

21

A

⁻¹₁₁

A

12

− A

22

левой части уравнения (5) является симметричной, положительно определенной матрицей и носит название "дополнение по Шуру" (см., например, [2]).

Опишем алгоритм решения задачи (4):

1. Находим вектор y = A

⁻¹₁₁

f , решая систему линейных алгебраических уравнений Ay = f методом прогонки.

2. Вычисляем правую часть (4): a ≡ A

₂₁

A

⁻¹₁₁

f = A

₂₁

y =

N−1

P

j=1

y

_j

.

3. Положим b = A

₁₂

1 = (1, . . . , 1)

^T

и найдем вектор z , решая систему A

₁₁

z = b методом

70

(11)

Г.М. Кобельков

прогонки. Таким образом, мы находим z = A

⁻¹₁₁

A

12

1 . 4. Вычисляем

d = (A

₂₁

A

⁻¹₁₁

A

₁₂

− A

₂₂

)1 = A

₂₁

z − A

₂₂

1 =

N−1

X

j=1

z

_j

+ 1/h.

5. Величина c вычисляется по формуле c = a/d .

6. Решение u находится из первого уравнения (4) методом прогонки.

Нетрудно видеть, что предлагаемый алгоритм требует для своей реализации O(N ) арифметических операций, т.е. является оптимальным по порядку.

Примечание 1. Заметим, что систему уравнений (2) можно было преобразовать к виду (3) не обязательно так, как это делалось выше. Например, можно было бы ввести новую переменную c по формуле: c =

N−1

P

j=1

hu

_j

, и это уравнение добавить в систему без изменений (ранее это уравнение добавлялось в систему после деления на h ). Тогда преобразованная система примет вид (3), A

₁₁

и A

₁₂

останутся прежними, но A

₂₂

= −1 и A

₂₁

= (h, . . . , h) . Таким образом, в этом случае A

₁₂

6= A

^T₂₁

, т.е. матрицы A и A

₂₁

A

⁻¹₁₁

A

₁₂

− A

₂₂

не являются симметричными. Тем не менее, алгоритм решения задачи (4) остается неизменным.

Примечание 2. Система уравнений (2) может быть легко решена (приближенно) с использованием быстро сходящегося итерационного процесса

− u

^k+1_n+1

− 2u

^k+1_n

+ u

^k+1_n−1

h

²

+

N−1

P

j=1

hu

^k_j

= f

_n

, n = 1, . . . , N − 1,

u

^k+1₀

= u

^k+1_N

= 0.

Однако рассматриваемая задача является модельной, и если перед интегральным оператором поставить большой коэффициент, то скорость сходимости замедлится или метод вообще не будет сходиться.

2. Рассмотрим теперь обобщение задачи (1):

−u

⁰⁰

(x) +

1

R

0

k(x)g(y)u(y)dy = f (x), u(0) = u(1) = 0. (6) По аналогии с предыдущим случае введем на [0, 1] равномерную сетку с шагом h = 1/N и аппроксимируем вторую производную в (6) разделенной разностью, а интеграл – квадратурной формулой трапеций. Получим

− u

n+1

− 2u

n

+ u

n−1

h

²

+ k

n

N−1

P

j=1

hg

j

u

j

= f

n

, n = 1, . . . , N − 1;

u

₀

= u

_N

= 0.

(7)

Здесь

k

n

= k(nh), g

j

= g(jh), f

n

= f (nh).

Нетрудно видеть, что задача (7) аппроксимирует исходную задачу (6) с порядком O(h

²

) . В дальнейшем будем предполагать, что решение (7) существует и единственно. Введем новую переменную c =

N−1

P

j=1

hg

_j

u

_j

. Тогда система (7) преобразуется к виду

A u

c

≡

A

₁₁

A

₁₂

A

21

A

22

u c

= f

0 , (8)

где f = (f

1

, . . . , f

N−1

) , матрица A

11

– та же, что и в предыдущем случае, но A

21

= (k

1

, . . . , k

N−1

), A

12

= (g

1

, . . . , g

N−1

)

^T

, A

22

= −1/h.

Алгоритм решения задачи (8) дословно совпадает с алгоритмом решения задачи (5).

71

(12)

3. Перейдем к случаю общего интегрального оператора. А именно, рассмотрим краевую задачу

−u

⁰⁰

(x) +

1

R

0

K(x, y)u(y) dy = f (x), u(0) = u(1) = 0. (9) Аппроксимируем (9) таким же образом как и выше – заменим вторую производную на сетке второй разделенной разностью, а интеграл – квадратурной формулой трапеций. Имеем

− u

i+1

− 2u

i

+ u

i−1

h

²

+

N−1

P

j=1

hK (ih, jh)u

j

= f

i

, i = 1, . . . , N − 1;

u

₀

= u

_N

= 0.

(10)

Обозначим k

ij

= K(ih, jh) и аппроксимируем сеточное ядро (k

ij

) следующим образом.

Заметим, что k

_ij

являются элементами квадратной матрицы G . Представим G в виде ортогональной суммы матриц ранга 1 :

G =

N−1

X

m=1

λ

_m

k

_m

g

^T_m

, где

k

m

, m = 1, . . . , N − 1 – единичные собственные вектор-столбцы матрицы G

^T

G , а g

m

– единичные собственные вектор-столбцы матрицы GG

^T

. Предположим, что коэффициенты разложения упорядочены по убыванию модулей. Если это не так, то переставим члены ряда, чтобы это условие выполнялось. В большинстве практических задач матрица G может быть приближена с достаточной точностью двумя-тремя членами разложения.

Таким образом, мы приходим к необходимости рассмотрения следующей задачи

−

^uⁱ⁺¹^−2u_h2ⁱ^+uⁱ⁻¹

+

l

P

m=1 N−1

P

j=1

hλ

m

k

mi

g

mj

u

j

= f

i

, i = 1, . . . , N − 1,

u

₀

= u

_N

= 0,

(11)

которая является аппроксимацией с порядком O(h

²

) интегро-дифференциальной задачи

−u

⁰⁰

(x) +

l

P

m=1 1

R

0

k

_m

(x)g

_m

(y)u(y)dy = f (x), i = 1, . . . , N − 1,

u(0) = u(1) = 0.

По аналогии с рассмотренным выше, введем вектор c = (c

₁

, . . . , c

_l

)

^T

, где c

_m

=

N−1

P

j=1

h √

λ

_m

g

_mj

u

_j

. Тогда система ЛАУ (11) запишется в виде

A u

c

≡

A

₁₁

A

₁₂

A

₂₁

A

₂₂

u c

= f

0 , (12)

где f = (f

1

, . . . , f

N−1

)

^T

, 0 = (0, . . . , 0

| {z }

l

)

^T

, матрица A

11

– та же, что и в предыдущем случае, но A

₂₁

– матрица размерности l × (N − 1) , A

₁₂

– матрица размерности (N − 1) × l :

A

21

=





√ λ

1

k

11

√

λ

1

k

12

. . . √

λ

1

k

1,N−1

. . . . . . . . . . . .

√ λ

_l

k

_l1

√

λ

_l

k

_l2

. . . √

λ

_l

k

l,N−1



 ,

A

₁₂

=





√ λ

1

g

11

√

λ

2

k

12

. . . √ λ

l

k

l,1

. . . . . . . . . . . .

√

λ

₁

k

_N−1,1

√

λ

₂

k

_N−1,2

. . . √

λ

_l

k

N−1,l





T

.

Матрица A

₂₂

размером l × l является диагональной с элементами на диагонали, равными

−1/h .

72

(13)

Переходя к дополнению по Шуру, система (12), как и выше, преобразуется к виду (A

21

A

⁻¹₁₁

A

12

− A

22

)c = A

21

A

⁻¹₁₁

f. (13) Алгоритм решения задачи (13) состоит в следующем.

1. Найдем правую часть (13)

d = A

21

A

⁻¹₁₁

f . Это требует O(N ) арифметических операций.

2. Возьмем вектора

c

_k

= (0, . . . , 1, . . . , 0)

^T

, где единица стоит на k -м месте, и вычислим

d

_k

= (A

₂₁

A

⁻¹₁₁

A

₁₂

− A

₂₂

)c

_k

, k = 1, . . . , l.

Вычисление всех d

_k

можно выполнить за O(lN ) операций.

3. Вектора d

_k

образуют базис в пространстве векторов размерности l , поэтому имеет место представление

d ≡ A

21

A

⁻¹₁₁

f =

N−1

P

j=1

α

k

f

k

. (14)

Соотношение (14) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов α

_k

, которая может быть решена за O(l

³

) операций. После чего решение (13) будет иметь вид

c = (α

1

, . . . , α

l

)

^T

.

Нахождение u при известном c потребует O(N ) операций. Таким образом, общее количество арифметических операций для решения системы уравнений (12) по порядку будет равно O(lN + l

³

) , т.е. при малых l этот метод требует существенно меньшего числа операций по сравнению с прямым решением системы (12) методом Гаусса.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 17-01-00838).

Список литературы

1 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.– Физматлит, Лаборатория базовых знаний, 2000.

2 Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.– М.: Наука, 1984.

М.В. Ломоносов атындағы Мәскеу мемлекеттiк университетъi, Мәскеу, Ресей

Г.И. Марчук атындағы Ресей ғылым академиясының Есептеу математикасы институты, Мәскеу, Ресей Интегро-дифференциалдық теңдеулердi сандық шешудiң бiр әдiсi жөнiнде

Аннотация: Интегралдық оператордың аналогы төменгi қабаттан, ал дифференциалдық оператордiң — жоғарғы қабаттан алынатын сызықты алгебралық теңдеулер жүйесiн шешудiң сәйкес иттерациалық әдiстiн қолданудан тұратын интегро-дифференциалдық және интегралдық теңдеулердi сандық шешуге арналған

Түйiн сөздер: интегро-дифференциалдық теңдеулер, интегралдық теңдеулер, дифференциалдық оператор, сызықты алгебралық теңдеулер жүйелерi, ақырлы айырымдар әдiсi, итерациа әдiсi.

73

(14)

G.M. Kobel’kov

Department of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia Marchuk Institute of Numerical Mathematics of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

On A Method for the Numerical Solution of Integro-Differential Equations

Abstract: The article is devoted to a new method for the numerical solution of integro-differential and integral equations, consisting in the fact that the solution of the corresponding linear algebraic systems is carried out using an iterative method, in which the analogue of the integral operator is taken from the bottom layer and the differential one from the top layer.

Keywords:integro-differential equations, integral equations, differential operator, systems of linear algebraic equations, finite difference method, iterative operator.

References

1 Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical methods [Numerical methods] (Fizmatlit, Labora- tory of Basic Knowledge, 2000).

2 Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrices and calculations [Matrices and calculations] (Nauka, Moscow, 1984).

Сведения об авторах:

Г.М. Кобельков – Доктор физико-математических наук, Профессор, Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, Институт вычислительной математики имени Г.И.

Марчука Российской академии наук, Москва, Россия.

G.M. Kobel’kov – Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Marchuk Institute of Numerical Mathematics of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia.

Поступила в редакцию 01.11.2018

74

(15)

«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика.

Информатика. Механика сериясы» журналына жiберiлетiн жұмыстарға қойылатын талаптар

Журнал редакциясы авторларға осы нұсқаулықпен толық танысып, журналға мақала әзiрлеу мен дайын мақаланы журналға жiберу кезiнде басшылыққа алуды ұсынады. Бұл нұсқаулық талаптарының орындалмауы сiздiң мақалаңыздың жариялануын кiдiртедi.

1. Автордың қолжазбаны редакцияға жiберуi мақала авторының басып шығарушы, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiне мақаласын басуға келiсiмiн және кез келген шетел тiлiне аударылып қайта басылуына келiсiмiн бiлдiредi.

2. Баспаға (барлық жариялаушы авторлардың қол қойылған қағаз нұсқасы және электронды нұсқасында) журналдың түпнұсқалы стильдiк файлының мiндеттi қолданысымен LaTeX баспа жүйесiнде дайындалған Tex- пен Pdf-файлындағы жұмыстар ұсынылады. Стильдiк файлды bulmathmc.enu.kz журнал сайтынан жүктеп алуға болады.

3. Мақаланың көлемi 6 беттен кем және 18 беттен артық болмауы тиiс. Талап деңгейiнен асқан жұмыстар редакциялық алқа отырысында қаралып, баспаға ерекше жағдайда ғана рұқсат етiледi.

4. Жұмыстың мәтiнi ХҒТАР (Халықаралық ғылыми-техникалық ақпарат рубрикаторы) кодының көрсеткiшiмен басталып, кейiн автор(лар)дың аты және тегi, жұмыс орнының толық атауы, қаласы, мемлекетi, Е-mail-ы, мақаланың толық атауы, аннотациясы көрсетiледi. Аннотация 150-200 сөз көлемiнде болуы тиiс, сонымен қатар мәтiнде күрделi есептiк формулалар болмауы, мақаланың толық аты қайталанбауы, жұмыстың мәтiнi мен әдебиеттер тiзiмiнде көрсетiлетiн сiлтемелер болмауы керек.

Аннотация мақаланың ерекшелiктерiн көрсететiн және оның құрылымын (кiрiспе, есептiң қойылымы, мақсаты, тарихы, зерттеу әдiстерi, нәтижелер және олардың талқылаулары, қорытынды) сақтайтын мақаланың қысқаша мазмұны болуы тиiс.

5. Жұмыстың мәтiнiнде кездесетiн таблицалар мәтiннiң iшiнде жеке нөмiрленiп, мәтiн көлемiнде сiлтемелер түрiнде көрсетiлуi керек. Суреттер мен графиктер PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX форматындағы стандарттарға сай болуы керек. Нүктелiк суреттер кеңейтiлiмi 600 dpi кем болмауы қажет.

Суреттердiң барлығы да айқын әрi нақты болуы керек.

6. Жұмыста қолданылған әдебиеттер тек жұмыста сiлтеме жасалған түпнұсқалық көрсеткiшке сай (сiлтеме беру тәртiбiнде немесе ағылшын әлiпбиi тәртiбi негiзiнде толтырылады) болуы керек. Баспадан шықпаған жұмыстарға сiлтеме жасауға тиым салынады.

Сiлтеменi беруде автор қолданған әдебиеттiң бетiнiң нөмiрiн көрсетпей, келесi нұсқаға сүйенiңiз дұрыс:

тараудың номерi, бөлiмнiң номерi, тармақтың номерi, теораманың номерi (лемма, ескерту, формуланың және т.б.) номерi көрсетiледi. Мысалы: «... қараңыз . [3; § 7, лемма 6]», «...қараңыз [2; 5 теорамадағы ескерту]». Бұл талап орындалмаған жағдайда мақаланы ағылшын тiлiне аударғанда сiлтемелерде қателiктер туындауы мүмкiн.

Қолданылаған әдебиеттер тiзiмiн рәсiмдеу мысалдары

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. –М: Физматлит, –1994, –376 стр. –кiтап 2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики –2014. –Т.54. № 7.

–С. 1059-1077. -мақала

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. – Москва, 2015. –С.141-142. –конференция еңбектерi

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. –Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. –С.7. – газеттiк мақала

5 Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии //

Cибирские электронные математические известия –2017. –Т.14. –С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057.

– URL: http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронды журнал 7. Әдебиеттер тiзiмiнен соң автор өзiнiң библиографикалық мәлiметтерiн орыс және ағылшын тiлiнде (егер мақала қазақ тiлiнде орындалса), қазақ және ағылшын тiлiнде (егер мақала орыс тiлiнде орындалса), орыс және қазақ тiлiнде (егер мақала ағылшын тiлiнде орындалса) жазу қажет. Соңынан транслиттiк аударма мен ағылшын тiлiнде берiлген әдебиеттер тiзiмiнен соң әр автордың жеке мәлiметтерi (қазақ, орыс, ағылшын тiлдерiнде – ғылыми атағы, қызметтiк мекенжайы, телефоны, e-mail-ы) берiледi.

8. Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Астана қаласы, Қ.Сәтпаев көшесi, 2, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Бас ғимарат, 408-кабинет. Телефоны: (7172) 709-500 (iшкi 31- 428). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

125

(16)

Provision on articles submitted to the journal

"Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.

Mathematics. Computer Science. Mechanics Series"

The journal editorial board asks the authors to read the rules and adhere to them when preparing the articles, sent to the journal. Deviation from the established rules delays the publication of the article.

1. Submission of articles to the scientific publication office means the authors’ consent to the right of the Publisher, L.N. Gumilyov Eurasian National University, to publish articles in the journal and the re-publication of it in any foreign language.

2. The scientific publication office accepts the article (in electronic and printed, signed by the author) in Tex- and Pdf-files, prepared in the LaTeX publishing system with mandatory use of the original style log file. The style log file can be downloaded from the journal websitebulmathmc.enu.kz.

3. The volume of the article should not exceed 18 pages(from 6 pages). The article, exceeding this volume is accepted for publication in exceptional cases by a special decision of the journal Editorial Board.

4. The text of the article begins with the IRSTI (International Rubricator of Scientific and Technical Informa- tion), then followed by the Initials and Surname of the author (s); full name of organization, city, country; E-mail of the author (s); the article title; abstract. Abstract should consist of 150-250 words, it should not contain cumbersome formulas, the content should not repeat the article title, abstract should not contain references to the text of the article and the list of literature), abstract should be a brief summary of the article content, reflect- ing its features and preserving the article structure - introduction, problem statement, goals, history, research methods, results with its discussion, conclusion.

5. Tables are included directly in the text of the article; it must be numbered and accompanied by a reference to them in the text of the article. Figures, graphics should be presented in one of the standard formats: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Bitmaps should be presented with a resolution of 600 dpi. All details must be clearly shown in the figures.

6. The list of literature should contain only those sources (numbered in the order of quoting or in the order of the English alphabet), which are referenced in the text of the article. References to unpublished issues, the results of which are used in evidence, are not allowed. Authors are recommended to exclude the reference to pages when referring to the links and guided by the following template: chapter number, section number, paragraph number, theorem number (lemmas, statements, remarks to the theorem, etc.), number of the formula. For example, "..., see [3, § 7, Lemma 6]"; "..., see [2], a remark to Theorem 5". Otherwise, incorrect references may appear when preparing an English version of the article.

Template

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр.-book 2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7.

-С. 1059-1077. -journal article

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. - -Conferences proceedings

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7.

newspaper articles

Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057.

- URL: http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -Internet resources 7. At the end of the article, after the list of references, it is necessary to indicate bibliographic data in Russian and English (if the article is in Kazakh), in Kazakh and English (if the article is in Russian) and in Russian and Kazakh languages (if the article is English language). Then a combination of the English-language and transliterated parts of the references list and information about authors (scientific degree, office address, telephone, e-mail - in Kazakh, Russian and English) is given.

8. Address: 010008, Republic of Kazakhstan, Astana, Satpayev St., 2., L.N. Gumilyov Eurasian National University, Main Building, room 408). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

126

(17)

Правила представления работ в журнал

"Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева.

Серия Математика. Информатика. Механика"

Редакция журнала просит авторов ознакомиться с правилами и придерживаться их при подготовке работ, направляемых в журнал. Отклонение от установленных правил задерживает публикацию статьи.

1. Отправление статьи в редакцию означает согласие автора (авторов) на право Издателя, Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева, издания статьи в журнале и переиздания их на любом иностранном языке.

2. В редакцию (в бумажном виде, подписанном всеми авторами и в электронном виде) представляются Tex- и Pdf-файлы работы, подготовленные в издательской системе LaTeX, с обязательным использованием оригинального стилевого файла журнала. Стилевой файл можно скачать со сайта журнала bulmathmc.enu.kz.

3. Объем статьи не должен превышать 18 страниц (от 6 страниц). Работы, превышающие указанный объем, принимаются к публикации в исключительных случаях по особому решению Редколлегии журнала.

4. Текст работы начинается с рубрикатора МРНТИ (Международный рубрикатор научно-технической информации), затем следуют инициалы и фамилия автора(ов), полное наименование организации, город, страна, Е-mail автора(ов), заглавие статьи, аннотация. Аннотация должна состоять из 150-250 слов, не должна содержать громоздкие формулы, по содержанию не должна повторять название статьи, не должна содержать ссылки на текст работы и список литературы, должна быть кратким изложением содержания статьи, отражая её особенности и сохранять структуру статьи - введение, постановка задачи, цели, история, методы исследования, результаты с их обсуждением, заключение, выводы.

5. Таблицы включаются непосредственно в текст работы, они должны быть пронумерованы и сопровождаться ссылкой на них в тексте работы. Рисунки, графики должны быть представлены в одном из стандартных форматов: PS, PDF, TIFF, GIF, JPEG, BMP, PCX. Точечные рисунки необходимо выполнять с разрешением 600 dpi. На рисунках должны быть ясно переданы все детали.

6. Список литературы должен содержать только те источники (пронумерованные в порядке цитирования или в порядке английского алфавита), на которые имеются ссылки в тексте работы. Ссылки на неопубликованные работы, результаты которых используются в доказательствах, не допускаются.

Авторам рекомендуется при оформлении ссылок исключить упоминание страниц и руководствоваться следующим шаблоном: номер главы, номер параграфа, номер пункта, номер теоремы (леммы, утверждения, замечания к теореме и т.п.), номер формулы. Например, "..., см. [3; § 7, лемма 6]"; "..., см. [2; замечание к теореме 5]". В противном случае при подготовке англоязычной версии статьи могут возникнуть неверные ссылки.

Примеры оформления списка литературы

1 Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. -М: Физматлит, -1994, -376 стр. -книга 2 Баилов Е. А., Сихов М. Б., Темиргалиев Н. Об общем алгоритме численного интегрирования функций многих переменных // Журнал вычислительной математики и математической физики -2014. -Т.54. № 7.

-С. 1059-1077. -статья

3 Жубанышева А.Ж., Абикенова Ш. О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам // Функциональные пространства и теория приближения функций: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского, Москва, Россия, 2015. - Москва, 2015. -С.141-142. -труды конференции

4 Нуртазина К. Рыцарь математики и информатики. -Астана: Каз.правда, 2017. 19 апреля. -С.7. - газетная статья

Cибирские электронные математические известия -2017. -Т.14. -С.657-672. doi: 10.17377/semi.2017.14.057.

- URL: http://semr.math.nsc.ru/v14/p657-672.pdf. (дата обращения: 08.01.2017). -электронный журнал 7. После списка литературы, необходимо указать библиографические данные на русском и английском языках (если статья оформлена на казахском языке), на казахском и английском языках (если статья оформлена на русском языке) и на русском и казахском языках (если статья оформлена на английском языке). Затем приводится комбинация англоязычной и транслитерированной частей списка литературы и сведения по каждому из авторов (научное звание, служебный адрес, телефон, e-mail - на казахском, русском и английском языках).

8. Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2, Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, учебно-административный корпус, каб. 408. Тел: (7172) 709-500 (вн.

31-428). E-mail: vest_math@enu.kz. Сайт: bulmathmc.enu.kz.

(18)

Редакторы: Н. Темiрғалиев Шығарушы редактор, дизайн: А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы. Математика. Информатика. Механика сериясы.

- 2018. 4(125)- Астана: ЕҰУ. 128-б.

Шартты б.т. - 16. Таралымы - 25 дана.

Мазмұнына типография жауап бермейдi

Редакция мекен-жайы: 010008, Қазақстан Республикасы, Астана қ., Сәтпаев көшесi, 2.

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi Тел.: (8-717-2) 70-95-00(iшкi 31-428)

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң баспасында басылды

128