Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V0 = 0

(1)

ISSN (Print) 2616-6836 ISSN (Online) 2663-1296

Л.Н. Гумилев атындағы Eуразия ұлттық университетiнiң

ХАБАРШЫСЫ BULLETIN

of L.N. Gumilyov Eurasian National University

ВЕСТНИК

Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева

ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

PHYSICS. ASTRONOMY Series

Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

№3(128)/2019

1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995

Издается с 1995 года

Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год

Нұр-Сұлтан, 2019

Nur-Sultan, 2019

Нур-Султан, 2019

(2)

Бас редакторы:

ф.-м.ғ.д., профессор А.Т. Ақылбеков (Қазақстан)

Бас редактордың орынбасары Гиниятова Ш.Г., ф.-м.ғ.к., доцент (Қазақстан)

Редакция алқасы

Арынгазин А.Қ. ф.-м.ғ. докторы(Қазақстан) Алдонгаров А.А. PhD (Қазақстан)

Балапанов М.Х. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Бахтизин Р.З. ф.-м.ғ.д., проф. (Ресей) Даулетбекова А.Қ. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан) Ержанов Қ.К. ф.-м.ғ.к., PhD (Қазақстан) Жұмадiлов Қ.Ш. PhD (Қазақстан)

Здоровец М. ф.-м.ғ.к.(Қазақстан)

Қадыржанов Қ.К. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Кайнарбай А.Ж. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан)

Кутербеков Қ.А. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Лущик А.Ч. ф.-м.ғ.д., проф.(Эстония) Морзабаев А.К. ф.-м.ғ.к. (Қазақстан) Мырзақұлов Р.Қ. ф.-м.ғ.д., проф.(Қазақстан) Нұрахметов Т.Н. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Сауытбеков С.С. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Салиходжа Ж.М ф.-м.ғ.к. (Қазақстан)

Тлеукенов С.К. ф.-м.ғ.д., проф. (Қазақстан) Усеинов А.Б. PhD (Қазақстан)

Хоши М. PhD, проф.(Жапония)

Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Сәтбаев к-сi, 2, 349 б., Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi.

Тел.: +7(7172) 709-500 (iшкi 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Жауапты хатшы, компьютерде беттеген: А. Нұрболат

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң Хабаршысы.

ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

Меншiктенушi: ҚР БжҒМ "Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi" ШЖҚ РМК Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.

Қазақстан Республикасыңың Ақпарат және коммуникациялар министрлiгiнде 27.03.2018ж.

№16999-ж тiркеу куәлiгiмен тiркелген.

Тиражы: 25 дана

Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Қажымұқан к-сi, 12/1, 349 б., Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi. Тел.: +7(7172)709-500 (iшкi 31-428)

c

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi

(3)

Editor-in-Chief

Doctor of Phys.-Math. Sciences,Professor А.Т. Akilbekov (Kazakhstan)

Deputy Editor-in-Chief Giniyatova Sh.G., Candidate of Phys.-Math. Sciences, Assoc. Prof. (Kazakhstan)

Editorial Board

Aryngazin A.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences(Kazakhstan) Aldongarov А.А. PhD (Kazakhstan)

Balapanov М.Kh. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia) Bakhtizin R.Z. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Russia)

Dauletbekova А.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences, PhD (Kazakhstan) Hoshi M. PhD, Prof. (Japan)

Kadyrzhanov К.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Кainarbay А.Zh. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Kuterbekov К.А. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Lushchik А. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Estonia) Morzabayev А.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Myrzakulov R.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Nurakhmetov Т.N. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Sautbekov S.S. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Salikhodzha Z. M Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Tleukenov S.К. Doctor of Phys.-Math. Sciences, Prof. (Kazakhstan) Useinov А.B. PhD (Kazakhstan)

Yerzhanov К.К. Candidate of Phys.-Math. Sciences, PhD(Kazakhstan) Zdorovets М. Candidate of Phys.-Math. Sciences (Kazakhstan) Zhumadilov K.Sh. PhD (Kazakhstan)

Editorial address: L.N. Gumilyov Eurasian National University, 2, Satpayev str., of. 349, Nur-Sultan, Kazakhstan 010008

Теl.: +7(7172) 709-500 (ext. 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Responsible secretary, computer layout: A.Nurbolat Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.

PHYSICS. ASTRONOMY Series

Owner: Republican State Enterprise in the capacity of economic conduct "L.N. Gumilyov Eurasian National University" Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan

Periodicity: 4 times a year

Registered by the Ministry of Information and Communication of the Republic of Kazakhstan.

Registration certificate №16999-ж from 27.03.2018.

Circulation: 25 copies

Address of printing house: L.N. Gumilyov Eurasian National University, 12/1 Kazhimukan str., Nur-Sultan,Kazakhstan 010008;

tel.:+7(7172) 709-500 (ext. 31-428)

c

L.N.Gumilyov Eurasian National University

(4)

Главный редактор:

доктор ф.-м.н.

А.Т. Акилбеков, доктор ф.-м.н., профессор (Казахстан)

Зам. главного редактора Ш.Г. Гиниятова к.ф.-м.н., доцент (Казахстан)

Редакционная коллегия Арынгазин А.К. доктор ф.-м.н.(Казахстан) Алдонгаров А.А. PhD (Казахстан)

Балапанов М.Х. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Бахтизин Р.З. д.ф.-м.н., проф. (Россия) Даулетбекова А.К. д.ф.-м.н., PhD (Казахстан) Ержанов К.К. к.ф.-м.н., PhD (Казахстан) Жумадилов К.Ш. PhD (Казахстан)

Здоровец М. к.ф-м.н.(Казахстан)

Кадыржанов К.К. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Кайнарбай А.Ж. к.ф.-м.н. (Казахстан)

Кутербеков К.А. доктор ф.-м.н., проф. (Казахстан) Лущик А.Ч. д.ф.-м.н., проф. (Эстония)

Морзабаев А.К. д.ф.-м.н. (Казахстан)

Мырзакулов Р.К. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Нурахметов Т.Н. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Сауытбеков С.С. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Салиходжа Ж.М к.ф.-м.н. (Казахстан)

Тлеукенов С.К. д.ф.-м.н., проф. (Казахстан) Усеинов А.Б. PhD (Казахстан)

Хоши М. PhD, проф. (Япония)

Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан, ул. Сатпаева, 2, каб. 349, Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева.

Тел.: (7172) 709-500 (вн. 31-428) E-mail: vest_phys@enu.kz

Ответственный секретарь, компьютерная верстка: А. Нурболат

Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.

Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

Собственник РГП на ПХВ "Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева" МОН РК Периодичность: 4 раза в год

Зарегистрирован Министерством информации и коммуникаций Республики Казахстан.

Регистрационное свидетельство №16999-ж от 27.03.2018г.

Тираж: 25 экземпляров

Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан, ул. Кажимукана, 12/1, Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева. тел.: +7(7172)709-500 (вн. 31-428)

c

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

(5)

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТIНIҢ ХАБАРШЫСЫ. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ сериясы

№3(128)/2019

МАЗМҰНЫ

Аймухамбетова А.С., Разина О.В., Цыба П.Ю., Мейрбеков Б.В. Валецки типтi космологиялық моделдiң дәрежелi шешiмi.

8 Ахметова Г.А., Разина О.В., Цыба П.Ю., Меирбеков Б. Фермиондық және тахиондық өрiстерi бар космологиялық моделi

16 Акилбеков А., Скуратов В., Даулетбекова А., Гиниятова Ш., Сейтбаев А. DC-60 циклотронында in-situ иондық люминесценцияны зерттеуге арналған қондырғыны жасау

26 Абуова А.У., Ускенбаев Е., Инербаев Т.М., Абуова Ф.У., Абуова Г.У., Джунисбекова Д.А.

Техникалық мамандықтар оқытудың интерактивтi әдiстерi

35 Баубекова Г.М., Лущик А.Ч., Асылбаев Р.Н., Акылбеков А.Т. Жылдам ауыр иондармен сәулелендiрiлген MgO кристалдарындағы радиациялық ақау түзiлуi

41 Гриценко Л.В., Калкозова Ж.К., Кедрук Е.Ю., Мархабаева А.А., Абдуллин Х.А. ZnO нанобөлшектерiнiң гидротермалды синтезi және олардың фотокаталитикалық қасиеттерi

49 Даулетбекова А., Акылбекова А., Гиниятова Ш., Баймуханов З., Власукова Л., Акилбеков А., Усеинов А., Козловский А., Карипбаев Ж.SiO

2

/Si тректi матрицаларына электрлi тұндырылған ZnO нанокристалдарының құрылымы, электрлiк қасиеттерi және люминесценциясы

57 Мырзакулов Н.А., Мырзакулова Ш.А. Модификацияланған F (T ) гравитациясы мен Дирак өрiсiндегi космологиялық шешiмдер

67 Жадыранова А.А., Ануарбекова Ы.Е. n = 3 және N = 2 жағдайлары үшiн V

₀

= 0 болғандағы WDVV ассоциативтiлiк теңдеуiнiң иерархиясы

79 Жангозин К.Н., Каргин Д.Б. Тiк қалақшалы жел турбиналарының қуатын арттыру жолдары туралы

86 Жубатканова Ж.А., Мырзакулов Н.А., Мейрбеков Б.К. Бранс-Дикке өрiсi бар гравитацияның модификацияланған теориясының дербес жағдайы үшiн космологиялық шешiмдер

93 Калкозова Ж.К., Тулегенова А.Т., Абдуллин Х.А. Белсендi фотолюминесценциялы цериймен легирленген (Y

3

Al

5

O

12

:Ce

³⁺

) алюмоиттрийлiк гранаттың жоғары дисперсиялық ұнтағын алу

102 Рысқұлов А.Е., Иванов И.А., Кислицин С.Б., Углов В.В., Здоровец М.В. Ni

¹²⁺

ауыр иондармен сәулелендiрудiң BeO керамикада ақаулардың қалыптасуына әсерi

110 Нурахметов Т.Н., Салиходжа Ж.М., Доломатов M.Ю., Жунусбеков А.М., Кайнарбай А.Ж., Дауренбеков Д.Х., Балтабеков А.С., Садыкова Б.М., Жанылысов К.Б., Юсупбекова Б.Н. Аралас сiлтiлi металл сульфаттарының зоналық құрылымы және оптикалық спектрi

117 Ногай А.А., Стефанович С.Ю., Салиходжа Ж.М. , Ногай А.С. Өткiзгiштiгi және диэктектриялық қасиеттерi Na

₃

Sc

₂

(PO

₄

)

₃

128 Карипбаев Ж.Т., Мусаханов Д.А., Лисицын В.М., Голковский М.Г., Лисицына Л.А., Алпысова Г.К., Тулегенова А.Т., Акылбеков А.Т., Даулетбекова A.К., Балабеков К.Н., Козловский А., Усеинов А. Радиация өрiсiндегi ИАГ және ИАГГ люминофорларының құрылымын зерттеу және синтездеу

138 Касенов Д., Абуова А.У., Инербаев Т.М., Абуова Ф.У., Каптагай Г.А. Физика-химиялық процестердi ғылыми тану әдiсi ретiнде модельдеу

147 Еримбетова Д.С., Степаненко В.Ф., Видергольд А.В., Жумадилов К.Ш. Радон концентрациясын зерттеудiң қазiргi жағдайы

153 Фаиз А.С., Абуова Ф.У., Шәкен Н., Абуова А.У., Джунисбекова Д.А., Байман Г.Б. BiCuSeO оксиселенид - жаңа келешегi жоғары термоэлектрлiк материал ретiнде

160

5

(6)

BULLETIN OF L.N. GUMILYOV EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY. PHYSICS.

ASTRONOMY SERIES

№3(128)/2019

Aimukhambetova A.S., Razina O.V., Tsyba P.Yu., Meyirbekov B.V. Power solution of the cosmo- logical model of the Valecki type.

8 Akhmetova G.A., Razina O.V., Tsyba P.Yu., Meirbekov B. Cosmological model with fermion and tachyon fields

16 Аkilbekov А., Skuratov V., Dauletbekova А., Giniyatova Sh., Seitbayev А. Creation of facility for in-situ measurement of high-energy ionoluminescence on cyclotron DC-60

26 Abuova A.U., Uskenbae vЕ., Inerbaev T.M., Abuova F.U., Abuova G.U., Junisbekova D.A. Inter- active methods of teaching physics in technical speciality

35 Baubekova G.M., Lushchik A.Ch., Asylbaev R.N., Akilbekov A.T. Creation of radiation defects in MgO crystals irradiated with swift heavy ions

41 Gritsenko L.V., Kalkozova Zh.K., KedrukY.U., Markhabaeva A.A., Abdullin Kh.A. Hydrothermal synthesis of ZnO nanoparticles and their photocatalytic properties

49 Dauletbekova A.K., Akylbekova A., GiniyatovaS h., Baimukhanov Z., Vlasukova L., Akilbekov A., Usseinov A., Kozlovskii A., Karipbayev Zh. Structure, electrical properties and luminescence of ZnO nanocrystals deposited in SiO

2

/Si track templates

57 Myrzakulov N.A., Myrzakulova Sh.A. Cosmological solutions of modified F(T ) gravity with Dirac field

67 Zhadyranova A.A., Anuarbekova Y.Ye. Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V

₀

= 0

79 Zhangozin К.N., Kargin D.B. About ways to increase the power of wind turbines with straight blades

86 Zhubatkanova Zh.A., Myrzakulov N.A., Meirbekov B.K. Cosmological solutions for particular case of modified theory of gravity with a Brans-Dicke field.

93 Kalkozova Zh.K., Tulegenova A.T., Abdullin Kh.A. National Nanotechnology Laboratory of open type, al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

102 Ryskulov A.E., Ivanov I.A., Kislitsin S.B., Uglov V.V., Zdorovets M.V. The effect of Ni

¹²⁺

heavy ion irradiation on radiation defect formation in BeO ceramics

110 Nurakhmetov T.N., Salikhodzha Zh.M., Dolomatov M.Y., Zhunusbekov A.M., Kainarbay A.Z., Daurenbekov D.H., Baltabekov A.S., Sadykova B.M., Zhangylyssov K.B., Yussupbekova B.N. Band structure and optical spectra of mixed alkali metal sulfates

117 Nogai A.A., Stefanovich S.Yu., Salikhodja J.M., Nogai A.S. Conducting and dielectric properties of Na

3

Sc

2

(PO

4

)

3

128 Karipbaev Zh., Musahanov D., Lisitsyn V., Golkovskii M., Lisitsynа L., Alpyssova G., Tulegenova A., Akylbekov A., Dauletbekova A., Balabekov K., Kozlovskii А.,Usseinov A. Synthesis, the study of the structure of YAG and YAGG phosphors in the radiation field

138 Kasenov D., Abuova A.U., Inerbaev T.M., Abuova F.U., Kaptagai G.A. Modeling as a method of scientific knowledge of physical and chemical processes

147 Yerimbetova D., Stepanenko V., Vidergold А., Zhumadilov K. Current state of radon concentration studies

153 Faiz A.S., Abuova F.U., Shaken N., Abuova A.U., Junisbekova D.A., Baiman G.B. BiCuSeO oxyselenides: new promising thermoelectric materials

160

6

(7)

ВЕСТНИК ЕВРАЗИЙСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ Л.Н.ГУМИЛЕВА. Серия ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ

№3(128)/2019

СОДЕРЖАНИЕ

Аймухамбетова А.С., Разина О.В., Цыба П.Ю., Мейрбеков Б.В. Степенное решение космологической модели типа Валецки

8 Ахметова Г.А., Разина О.В., Цыба П.Ю., Меирбеков Б. Космологическая модель с фермионным и тахионным полями

16 Акилбеков А., Скуратов В., Даулетбекова А., Гиниятова Ш., Сейтбаев А. Создание установки для in-situ измерения высокоэнергетической ионолюминесценции на циклоторне DС-60

25 Абуова А.У., Ускенбаев Е., Инербаев Т.М., Абуова Ф.У., Абуова Г.У., Джунисбекова Д.А.

Интерактивные методы обучения физике на технических специальностях

35 Баубекова Г.М., Лущик А.Ч., Асылбаев Р.Н., Акылбеков А.Т. Создание радиационных дефектов в кристаллах MgO, облученных высокоэнергетическими ионами

41 Гриценко Л.В., Калкозова Ж.К., Кедрук Е.Ю., Мархабаева А.А., Абдуллин Х.А.

Гидротермальный синтез наночастиц ZnO и их фотокаталитические свойства

49 Даулетбекова А., Акылбекова А., Гиниятова Ш., Баймуханов З., Власукова Л., Акилбеков А., Усеинов А., Козловский А., Карипбаев Ж. Структура, электрические свойства и люминесценция нанокристаллов ZnO, электроосажденных в трековые матрицы SiO

2

/

57 Мырзакулов Н.А., Мырзакулова Ш.А. Космологические решения в модифицированной F (T ) гравитации с полем Дирака

67 Жадыранова А .А., Ануарбекова Ы.Е. Иерархия уравнений ассоциативности WDVV для случая n = 3 и N = 2 при V

₀

= 0

79 Жангозин К.Н., Каргин Д.Б. О способах увеличения мощности ветровых турбин с прямыми лопастями

86 Жубатканова Ж.А., Мырзакулов Н.А., Мейрбеков Б.К. Космологические решения для частного случая модифицированной теории гравитации с полем Бранс-Дикке

93 Калкозова Ж .К., Тулегенова А.Т., Абдуллин Х.А. Получение высокодисперсного порошка алюмоиттриевого граната, легированного церием (Y

3

Al

5

O

12

:Ce

³⁺

) с интенсивной фотолюминесценцией

102 Рыскулов А.Е., Иванов И.А., Кислицин С.Б., Углов В.В., Здоровец М.В. Влияние облучения тяжелыми ионами Ni

¹²⁺

на радиационное дефектообразование в керамиках BeO

110 Нурахметов Т.Н., Салиходжа Ж.М., Доломатов M.Ю., Жунусбеков А.М., Кайнарбай А.Ж., Дауренбеков Д.Х., Балтабеков А.С., Садыкова Б.М., Жанылысов К.Б., Юсупбекова Б.Н. Зонная структура и оптические спектры смешанных сульфатов щелочных металлов

117 Ногай А.А., Стефанович С.Ю., Салиходжа Ж.М., НогайА.С. Проводящие и диэлектрические свойства Na

₃

Sc

₂

(PO

₄

)

₃

128 Карипбаев Ж.Т., Мусаханов Д.А., Лисицын В.М., Голковский М.Г., Лисицына Л.А., Алпысова Г.К., Тулегенова А.Т., Акылбеков А.Т., Даулетбекова A.К., Балабеков К.Н., Козловский А., Усеинов А. Синтез, исследование структуры ИАГ и ИАГГ люминофоров в поле радиации

138 Касенов Д., Абуова А.У., Инербаев Т.М., Абуова Ф.У., Каптагай Г.А. Моделирование как метод научного познания физико-химических процессов

147 Еримбетова Д.С., Степаненко В.Ф., Видергольд А.В., Жумадилов К.Ш. Современное состояние исследований концентрации радона

153 Фаиз А.С., Абуова Ф.У., Шәкен Н., Абуова А.У., Джунисбекова Д.А., Байман Г.Б. BiCuSeO оксиселенид как новый перспективный термоэлектрический материал

160

7

(8)

МРНТИ 27.25.19

A.A. Zhadyranova

¹

, Y.Ye. Anuarbekova

²

12

Department of General & Theoretical Physics, Eurasian National University, Nus-Sultan, Kazakhstan

(E-mail:

¹

a.a.zhadyranova@gmail.com,

²

anuarbekova94@bk.ru)

Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when V

₀

= 0 Abstract: We investigate solutions to a hierarchy for N = 2 case when V

0

= 0 of Witten- Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) equations. We give a description of nonlinear partial differential equations of associativity in 2D topological field theories (for some special type solutions of the Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) system) as integrable nondiagonalizable weakly nonlinear homogeneous system of hydrodynamic type.The article discusses nonlinear equa- tions of the third order for a function f = f (x, t)) of two independent variables x,t. The equations of associativity reduce to the nonlinear equations of the third order for a function f = f(x, t)) when prepotential F dependet of the metric η . In this work we consider the WDVV equation for n = 3 case with an antidiagonal metric η . The solution of some cases of hierarchy when N = 2 and V

0

= 0 equations of associativity illustrated. Lax pairs for the system of three equations, that contains the equation of associativity are written to find the hierarchy of associativity equation.

Using the compatibility condition are found the relations between the matrices U, V

₂

, V

₁

. The ele- ments of matrix V

2

are found with the expression of z

ij

and independent and dependent variables for the matrix V

₂

. Also solving elements of matrix V

₁

expressed through y

_ij

and independent and dependent variables for the matrix V

1

. We accepted that elements of matrix V

0

are zero. In the physical setting the solutions of WDVV describe moduli space of topological conformal field theories. In the above variables the nonlinear equations of the third order for a function f = f(x,t)) we rewritten as a new system of three equations. It is found the relationship between the elements a

_t

, b

_t

, c

_t

and y

_ijx

of the matrices U

_t

, V

_1x

. It is found that only z

₁₁

, z

₁₂

, z

₁₃

are independent el- ements of V

2

, and the other elements can be written in terms of them. Expressed are variables a

_t

, b

_t

, c

_t

of three equations are written with the help of matrix elements z

₁₂

, z

₁₃

, y

₁₂

, y

₁₃

.

Keywords: solutions to a hierarchy, equations of Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde, non- linear homogeneous system of hydrodynamic type, the equations of associativity, nonlinear equa- tions of the third order, antidiagonal metric, the Lax pair, the compatibility condition, independent elements, dependent variables, system with equations.

DOI: https://doi.org/10.32523/2616-68-36-2019-128-3-79-85 Introduction. In this paper we shall consider so-called nonlinear partial differential equations of associativity in 2D topological field theories (see [1-5]) and give their description as integrable nondiagonalizable weakly nonlinear systems of hydrodynamic type. For systems of this type cor- responding general differential geometric theory of integrability connected with Poisson structures of hydrodynamic type can be developed. We remind very briefly following to Dubrovin [1] the ba- sic mathematical concepts connected with the Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) system arising originally in two-dimensional topological field theories [3,4] and its relations with the Dubrovin type equations of associativity. The WDVV equations, in general, have the following form [1, 6]:

∂

³

F

∂t

ⁱ

∂t

^j

∂t

^p

η

^pq

∂

³

F

∂t

^q

∂t

^k

∂t

^r

= ∂

³

F

∂t

^j

∂t

^k

∂t

^p

η

^pq

∂

³

F

∂t

ⁱ

∂t

^q

∂t

^r

, ∀i, j, k, r ∈ {1, ..., n}, where F is a prepotential, η is a metric.

For genus- 0 Gromov-Witten theory, the associativity of quantum cohomology, which is equivalent to WDVV equation, led to Kontsevich’s solution to the classical problem of counting degree d rational curves passing through 3d − 1 general points [7].

In work [8, 9], B. Dubrovin and Y. Zhang, generalizing the Virasoro equations for the genus 0 Gromov-Witten invariants, proved the Virasoro equations for a descendent potential in genus 0 of an arbitrary conformal Frobenius manifold.

79

(9)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Bulletin of L.N. Gumilyov ENU, 2019, 3(128)

Consider a function F (t), t = (t

¹

, ..., t

ⁿ

) such that the following three conditions are satisfied for its third derivatives denoted as [3, 4]

c

_αβγ

(t) = ∂

³

F (t)

∂t

^α

∂t

^β

∂t

^γ

: 1) normalization, i.e.,

η

αβ

= c

1αβ

(t) is a constant nondegenerate matrix;

2) associativity, i.e., the functions

c

^γ_αβ

(t) = η

^γ

c

_αβ

(t)

for any t define a structure of an associative algebra A

_t

in the n-dimensional space with a basis e

1

, ..., e

n

:

e

_α

· e

_β

= c

^γ_αβ

(t)e

_γ

In the work [10] show that there is a universal algebraic structure, closely related with that of the WDVV equation, governing quantum correlation functions of every quantum field theory in their framework up to a certain ambiguity.

3) F (t) must be quasihomogeneous function of its variables:

F(c

^d¹

t

¹

, ..., c

^dⁿ

t

ⁿ

) = c

^d^F

F(t

¹

, ..., t

ⁿ

) for any nonzero c and for some numbers d

₁

, ..., d

_n

, d

_F

.

The resulting system of equations for F(t) is called the Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) system [3, 4] (see also [1, 2]). It was shown by Dubrovin [1, 11, 12] that solutions of the WDVV system can be reduced by a linear change of coordinates to two special types:

(1) in the most important physically case F (t) = 1

2 (t

¹

)

²

t

ⁿ

+ 1 2 t

¹

n−1

X

α=2

t

^α

t

^n−α+1

+ f (t

²

, ..., t

ⁿ

) (1) for some function f (t

²

, ..., t

ⁿ

)

(2) in some special case

F(t) = c

6 (t

¹

)

³

+ 1 2 t

¹

n−1

X

α=1

t

^α

t

^n−α+1

+ f(t

²

, ..., t

ⁿ

)

for a nonzero constant c . For these cases the equations of associativity reduce to the following two nonlinear equations of the third order for a function f = f (x, t) ) of two independent variables ( x = t

²

, t = t

³

):

f

_ttt

= f

_xxt²

− f

_xxx

f

_xtt

and

f

xxx

f

ttt

− f

xxt

f

xtt

= 1, correspondingly.

1. Consideration of cases of hierarchy for N = 2 when V

0

= 0 of WDVV associativity equations

1.1 Methods

In this work, we consider the solution (1). Let us introduce new variables a, b, c as follows [13, 14, 15]:

a = f

_xxx

, b = f

_xxt

, c = f

_xtt

.

In the above variables the equation (1) can be rewritten as a system of three equations as follows:

a

_t

= b

_x

, (2)

b

_t

= c

_x

, (3)

c

_t

= (b

²

− ac)

_x

. (4)

80

(10)

A.A. Zhadyranova, Y.Ye. Anuarbekova

The Lax pair for the system (2)-(4) is given by [14]

Ψ

x

= λUΨ, (5)

Ψ

_t

= λV Ψ, (6)

where U is given by

U =





0 1 0 b a 1 c b 0





and V is given by

V =





0 0 1

c b 0

(b

²

− ac) c 0



.

The compatibility condition for the system (5), (6) is given by U

_t

= V

_x

,

[U, V ] = 0.

In the following sections we work with the system (2)-(4).

1.2 Solution of hierarchy for N = 2 when V

₀

= 0

The solution to a hierarchy for N = 1 case corresponds to the system of equations (2), (3), (4).

Hierarchy for N = 2 case when V

0

6= 0 is given in the work [16].

In this article we consider a hierarchy for N = 2 case when V

₀

= 0 . Consider the Lax pair for N = 2 case when V

0

= 0

Ψ

x

= λU Ψ,

Ψ

_t

= (λ

²

V

₂

+ λV

₁

)Ψ = V Ψ The compatibility condition of the Lax representation is given by

(λU

_t

+ λU V )Ψ = (V

_x

+ λV U )Ψ.

The last equation can be written as

λU

t

− V

x

+ λ[U, V ] = 0. (7)

Collecting terms in (7) by the powers of λ we obtain

λ

³

: [U, V

2

] = 0, (8)

λ

²

: −V

_2x

+ [U, V

₁

] = 0, (9)

λ

¹

: U

_t

− V

_1x

= 0. (10)

The elements z

ij

, y

ij

of matrices V

2

, V

1

has been found and presented in the paper [16]. It was obtained in equation (8), (9) that the independent variables z

11

, z

12

, z

13

of the matrix V

2

have to satisfy the following system of equations [16]:

c

_x

z

₁₂

+ 3cz

_12x

+ (b

²

− ac)

_x

z

₁₃

+ (3b

²

− 2ac)z

_13x

+ bz

_11x

+ ba

_x

z

₁₂

+ abz

_12x

+ bb

_x

z

₁₃

= 0, 2b

_x

z

₁₂

+ 2c

_x

z

₁₃

+ 3cz

_13x

+ az

_11x

+ aa

_x

z

₁₂

+ a

²

z

_12x

+ ab

_x

z

₁₃

+ abz

_13x

+ 4bz

_12x

= 0, 3z

_11x

+ a

_x

z

₁₂

+ az

_12x

+ b

_x

z

₁₃

+ bz

_13x

= 0.

Now we consider the equation (10). Writing a new system with equations for a

_t

, b

_t

, c

_t

yields

a

t

= y

22x

, (11)

b

t

= y

21x

, (12)

b

_t

= y

_32x

, (13)

c

_t

= y

_31x

. (14)

81

(11)

Using necessary dependent elements of matrix V

1

in the system of work [16] in equations (11)-(14), we have

a

_t

= z

_12xx

+ y

_11x

+ a

_x

y

₁₂

+ ay

_12x

+ b

_x

y

₁₃

+ by

_13x

, b

t

= z

11xx

+ b

x

y

12

+ by

12x

+ c

x

y

13

+ cy

13x

,

b

_t

= 2z

_11xx

+ a

_xx

z

₁₂

+ 2a

_x

z

_12x

+ az

_12xx

+ b

_xx

z

₁₃

+ 3b

_x

z

_13x

+ 2bz

_13xx

+ b

_x

y

₁₂

+ by

_12x

+ c

_x

y

₁₃

+ cy

_13x

, c

_t

= b

_xx

z

₁₂

+ 3b

_x

z

_12x

+ 2bz

_12xx

+ c

_xx

z

₁₃

+ 3c

_x

z

_13x

+ 2cz

_13xx

− a

_x

z

_11x

− az

_11xx

+ (b

²

− ac)

_x

y

₁₃

+ (b

²

− ac)y

_13x

+ c

_x

y

₁₂

+ cy

_12x

, y

_23x

= z

_13xx

+ y

_12x

,

y

33x

= 2z

12xx

− a

x

z

13x

− az

13xx

+ y

11x

.

Since z

_13xx

= 0 and z

_12xx

=

^a₂^x

z

_13x

, we obtain a

_t

= a

_x

2 z

_13x

+ a

_x

y

₁₂

+ b

_x

y

₁₃

, b

_t

= z

_11xx

+ b

_x

y

₁₂

+ c

_x

y

₁₃

,

b

_t

= 2z

_11xx

+ a

_xx

z

₁₂

+ 2a

_x

z

_12x

+ aa

x

2 z

_13x

+ b

_xx

z

₁₃

+ 3b

_x

z

_13x

+ b

_x

y

₁₂

+ c

_x

y

₁₃

,

c

_t

= b

_xx

z

₁₂

+ 3b

_x

z

_12x

+ ba

_x

z

_13x

+ c

_xx

z

₁₃

+ 3c

_x

z

_13x

− a

_x

z

_11x

− az

_11xx

+ (b

²

− ac)

_x

y

₁₃

+ c

_x

y

₁₂

. Equating the RHSs of the equations for b

_t

above, we obtain the following equation

z

_11xx

+ a

_xx

z

₁₂

+ 2a

_x

z

_12x

+ aa

_x

2 z

_13x

+ b

_xx

z

₁₃

+ 3b

_x

z

_13x

= 0.

With the above system we finally have a system

c

x

z

12

+ 3cz

12x

+ (b

²

− ac)

x

z

13

+ (3b

²

− 2ac)z

13x

+ bz

11x

+ ba

x

z

12

+ abz

12x

+ bb

x

z

13

= 0, (15) 2b

x

z

12

+ 2c

x

z

13

+ 3cz

13x

+ az

11x

+ aa

x

z

12

+ a

²

z

12x

+ ab

x

z

13

+ abz

13x

+ 4bz

12x

= 0, (16) 3z

11x

+ a

x

z

12

+ az

12x

+ b

x

z

13

+ bz

13x

= 0, (17) z

_11xx

+ a

_xx

z

₁₂

+ 2a

_x

z

_12x

+ aa

_x

2 z

_13x

+ b

_xx

z

₁₃

+ 3b

_x

z

_13x

= 0. (18) From (18) we express z

_11xx

, plug z

_11xx

into b

_t

, c

_t

and obtain the following equation

a

_t

= a

x

2 z

_13x

+ a

_x

y

₁₂

+ b

_x

y

₁₃

, (19)

b

t

= b

x

y

12

+ c

x

y

13

− a

xx

z

12

− 2a

x

z

12x

− b

xx

z

13

− (3b

x

+ aa

x

2 )z

13x

, (20)

c

t

= (b

²

− ac)

x

y

13

+ c

x

y

12

+ (b

xx

+ a

²_x

3 + aa

xx

)z

12

+ (c

xx

+ 1

3 a

x

b

x

+ ab

xx

)z

13

+ (3b

x

+ 7

3 aa

x

)z

12x

+ ( 4

3 ba

_x

+ 3c

_x

+ a

²

a

_x

2 + 3ab

_x

)z

_13x

. (21)

From (17) we express z

_11x

, plug z

_11x

into (15) and (16) and obtain the following equations, respectively

(3c

_x

+ 2ba

_x

)z

₁₂

+ (9c + 2ab)z

_12x

+ (4b

²

− 3ac)

_x

z

₁₃

+ (8b

²

− 6ac)z

_13x

= 0, (22) (6b

x

+ 2aa

x

)z

12

+ (12b + 2a

²

)z

12x

+ (6c

x

+ 2ab

x

)z

13

+ (9c + 2ab)z

13x

= 0. (23) Now we express z

_13x

in (23) to obtain

z

13x

= (12b + 2a

²

)(3c

x

+ 2ba

x

) − (6b

x

+ 2aa

x

)(9c + 2ab) (9c + 2ab)

²

− (12b + 2a

²

)(8b

²

− 6ac) z

12

+ (12b + 2a

²

)(4b

²

− 3ac)

x

− (6c

x

− 2ab

x

)(9c + 2ab)

(9c + 2ab)

²

− (12b + 2a

²

)(8b

²

− 6ac) z

₁₃

(24)

82

(12)

We plug z

13x

into z

12x

which is expressed from (22) and obtain z

12x

which has the form z

12x

=

−(3c

_x

+ 2ba

_x

)

(9c + 2ab) − (8b

²

− 6ac) (9c + 2ab)

(12b + 2a

²

)(3c

_x

+ 2ba

_x

) − (6b

_x

+ 2aa

_x

)(9c + 2ab) (9c + 2ab)

²

− (12b + 2a

²

)(8b

²

− 6ac)

z

12

−

(4b

²

− 3ac)

_x

(9c + 2ab) + (8b

²

− 6ac) (9c + 2ab)

(12b + 2a

²

)(4b

²

− 3ac)

_x

− (6c

_x

− 2ab

_x

)(9c + 2ab) (9c + 2ab)

²

− (12b + 2a

²

)(8b

²

− 6ac)

z

₁₃

(25) The solution to a hierarchy for N = 2 case when V

₀

= 0 system is given by (2), (3), (4) corresponds to the system of above equations (19), (20), (21), where values z

12x

and z

13x

from Eqs. (24), (25).

Conclusion. In this paper we investigate solutions to a hierarchy for N = 2 case when V

₀

= 0 of Witten-Dijkgraaf-E.Verlinde-H.Verlinde (WDVV) equations. For WDVV equation are described conditions of normalization, of associativity, of quasihomogenuis. The WDVV equations was writ- ten in general form. In this work we consider the WDVV equation for n = 3 case with an antidi- agonal metric η . So, we considered of some cases of hierarchy for N = 2 when V

₀

= 0 of WDVV associativity equations. Lax pairs for the system of three equations, that contains the equation of associativity are written to find the hierarchy of associativity equation. Using the compatibility condition are found the relations between the matrices U, V

₂

, V

₁

. Thus, we obtained the elements of the matrices V

2

, V

1

for case N = 2 when V

0

= 0 . The elements of matrix V

2

are found with the expression of z

_ij

and independent and dependent variables for the matrix V

₂

. It was found, that only z

11

, z

12

, z

13

are independent elements of V

2

, and the other elements can be written in terms of them. Also solving elements of matrix V

₁

expressed through y

_ij

and independent and dependent variables for the matrix V

₁

. It is found, that y

₁₁

, y

₁₂

, y

₁₃

are independent elements of V

1

, and the other elements can be written in terms of them and z

11

, z

12

, z

13

. We accepted that elements of matrix V

₀

are zero. It is found the relationship between the elements a

_t

, b

_t

, c

_t

and y

ijx

of the matrices U

t

, V

1x

. So, expressed are variables a

t

, b

t

, c

t

of three equations are written with the help of matrix elements z

₁₂

, z

₁₃

, y

₁₂

, y

₁₃

.

Acknowledgments. We express gratitude to Professor R. Myrzakulov for useful discussions and advices. The work is performed under the financial support of the scientific and technical program BR05236277 "Investigation of some problems of astrophysics and cosmology in the framework of the Einstein and non-Einstein theories of gravity", 2018.

Список литературы

1 Дубровин Б.А. Геометрия двумерных топологических теорий поля // Конспект лекций по математике. -

№1620. - С. 120-348 - (1996).- URL: https://arxiv.org/abs/hep-th/9407018. (дата обращения: 15.02.2019).

2 Дубровин Б.А. Интегрируемые системы в топологической теории поля // Ядерная Физика Б.-379 - C.

627–689 - (1992).

3 Виттен Е. О структуре топологической фазы двумерной гравитации // Ядерная Физика Б.-340 - C. 281–332 - (1990).

4 Диджкрафт Р, Верлинде Е., Верлинде Г. // Ядерная Физика Б. -352 - C. 59 - (1991) // Заметки о топологической теории струн и 2D квантовой гравитации-Preprint PUPT–1217-IASSNS-HEP–90/80 - (1990).

5 Хертлинг С. Многообразия Фробениуса и пространства модулей для особенностей // лекции Кэмбридж Университет- Великобритания - (2002).

6 Буряк A., Басалаев A. Открытые уравнения WDVV и ограничения Вирасоро - (2019) URL:

https://arxiv.org/abs/1901.10393, (дата обращения: 15.02.2019).

7 Фан Г., Ву Л. Уравнение ВДВВ и его применение к относительной теории Громова-Виттена - (2019) URL:

https://arxiv.org/abs/1902.05739, (дата обращения: 29.02.2019).

8 Дубровин Б., Янг Д., Янг Ю. Интегралы Ходжа и тау-симметричные интегрируемые иерархии гамильтоновых эволюционных ЧДУ // Успехи в математике-293 - C. 382-435 - (2016).

9 Дубровин Б., Янг Ю. Многообразия Фробениуса и ограничения Вирасоро // Системы Mathematica-Новая серия 5. C. 423-466 - (1999).

10 Парк Дж. Гомотопические вычисления в квантовой теории полей (2018) URL:

https://arxiv.org/abs/1810.09100, (дата обращения: 10.03.2019).

11 Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток //

Дифференциальная геометрия и теория Гамильтона, успехи матем.Наук.-44-C. 29-98 - (1989).

12 Дубровин Б. А. О почти двойственности для многообразий Фробениуса // Амер. Математика. Соц.

Перевод.-212-C.75-132 - (2004) .

83

(13)

13 Мохов О.И. Симплектическая и пуассонова геометрия на пространствах петель многообразий и нелинейных уравнений // Переводы Американского математического общества - №2170. - С. 121-152 - (1995).URL: https://arxiv.org/abs/hep-th/9503076. (дата обращения: 10.03.2019).

14 Мохов О.И., Ферапонтов Е.В. Уравнения ассоциативности в двумерной топологической теории поля как интегрируемые гамильтоновы недиагонализируемые системы гидродинамического типа //Функциональный анализ и его приложения- №30- (1995).- URL: https://arxiv.org/abs/hep-th/9505180.

(дата обращения: 10.03.2019).

15 Ферапонтов Е. В., Мохов О. И. Нелокальные Гамильтоновы операторы гидродинамического типа, связанные с метриками постоянной кривизны // Русс. Математика. Обследование- 45-№ 3-C. 218-219 - (1990).

16 А.А. Жадыранова, Ж.Р. Мырзакул, Ы.Е. Ануарбекова Иерархия уравнений ассоциативности WDVV для случая n = 3 и N = 2 при

V06= 0

[Ierarchiya WDVV uravneniya dlya n = 3 i N = 2 sluchaya, kogda

V06= 0

] // Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева-4(125) - C. 60-66 - (2018).

А.А. Жадыранова, Ы.Е. Ануарбекова

Кафедра общей и теоретической физики Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан, Казахстан

Иерархия уравнений ассоциативности WDVV для случая n= 3 и N= 2 при V0= 0

Аннотация. В статье исследуются решения иерархии для случая N = 2, когда V0 = 0 уравнений Виттена-Диджкграфа-Е.Верлинде-Г.Верлинде (ВДВВ). Дано описание нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных ассоциативности в 2D топологических теориях поля (для некоторых решений специального типа системы Виттена-Диджкграфа-Е.Верлинде-Г.Верлинде (ВДВВ) как интегрируемой недиагонализуемой слабонелинейной однородной системы гидродинамического типа.В статье рассматриваются нелинейные уравнения третьего порядка для функции f=f(x, t)) двух независимых переменных x,t. Уравнения ассоциативности сводятся к нелинейным уравнениям третьего порядка для функции f=f(x, t)), когда потенциал F зависит от метрики η. В работе рассматривается уравнение WDVV для n= 3 случая с антидиагональной метрикой η. Проиллюстрировано решение некоторых случаев иерархии при N = 2 и V0 = 0 уравнений ассоциативности. Для нахождения иерархии уравнения ассоциативности записываются пары Лакса для системы из трех уравнений. С помощью условия совместимости найдены соотношения между матрицами U, V2, V1. Элементы матрицы V2 выражены через zij и найдены независимые и зависимые переменные матрицы V2. Также найдены элементы матрицы V1, выраженные через yij и определены независимые и зависимые переменные для матрицы V1. Принято, что элементы матрицы V0 равны нулю. В физическом приложений решения WDVV описывают пространство модулей топологических конформных теорий поля. В приведенных выше переменных нелинейные уравнения третьего порядка для функции f

= f (x,t)) переписаны как новая система из трех уравнений. Найдена связь между элементами at, bt, ct и yijx матриц Ut, V1x. Установлено, что только z11, z12, z13 являются независимыми элементами V2, а остальные элементы могут быть записаны в их терминах. Выраженные переменные at, bt, ct трех уравнений записаны с помощью матричных элементов z12, z13, y12, y13.

Ключевые слова: решение иерархии, уравнения Виттена-Дижкрафа-Е.Верлинде-Г.Верлинде, нелинейная однородная система гидродинамическго типа, уравнения ассоциативности, нелинейные уравнения третьего порядка, антидиагональная метрика, пары Лакса, условие совместности, независимые элементы, зависимые переменные, система с уравнениями.

А.А. Жадыранова, Ы.Е. Ануарбекова

Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнi, Нұр-Сұлтан, Қазақстан

n= 3 және N= 2 жағдайлары үшiн V0= 0 болғандағы WDVV ассоциативтiлiк теңдеуiнiң иерархиясы

АңдатпаБерiлген мақалада N= 2 V0= 0иерархиясы үшiн Виттен-Диджкграф-Е.Верлинде-Г.Верлинде (ВДВВ) теңдеулерi зерттеледi. 2D топологиялық теориясында (Виттен-Диджкграф-Е. Верлинде-Г. Верлинде (ВДВВ) жүйесiнiң кейбiр шешiмдерi үшiн гидродинамикалық типтегi интегралданатын сызықты емес бiртектi жүйе ретiнде берiлген. Бұл жұмыста x, t тәуелсiз айнымалыларынан тұратын f=f(x, t) функциясы үшiн үшiншi реттi сызықты емес теңдеулер талқыланады. Ассоциативтiлiк теңдеулер F потенциал η метрикаға байланысты болғанда үшiншi реттi сызықты емес f =f(x, t)) теңдеулерге келтiрiледi. WDVV n= 3 және метрика η антидиагональ болғанда қарастырылады. Сонымен қатар ассоциативтiлiк теңдеулерN = 2 и V0 = 0 иерархиясының бiрнеше шешiмдерi сипатталады. Ассоциативтiлiк теңдеулерiнiң иерархиясын табу мақсатында ассоциативтiлiк теңдеулерiнен құралған теңдеулер жүйесi үшiн Лакс жұптары жазылды. Сәйкестiк шартының көмегiмен U, V2, V1 матрицалары арасындағы қатынастар анықталды. zij арқылы өрнектелген V2 матрицасының элементтерi мен V2 матрицасының тәуелдi және тәуелсiз айнымалылары есептелiндi. yij арқылы өрнектелген V1 матрицасының элементтерi мен V1

матрицасының тәуелдi және тәуелсiз айнымалылары табылды. V0 матрицасының элементтерi нөлге тең деп алынды.

WDVV шешiмiнiң физикалық қосымшаларында өрiстiң топологиялық конформалық теориялар модульдерiнiң кеңiстiгiн сипаттайды. Жоғарыда келтiрiлген айнымалыларда f =f(x, t) функциясы үшiн үшiншi реттi сызықты емес теңдеулер үш теңдеудi жаңа жүйесi ретiнде жазылған. Ut, V1x матрицалар элементтерi at, bt, ct и yijx

арасындағы байланыс табылды. Тек z11, z12, z13 V2 матрицаның тәуелсiз элементтерi, қалған элементтер олардың терминiмен жазылуы мүмкiн. Теңдеулер жүйесiнен тұратын at, bt, ct айнымалылары z12, z13, y12, y13 матрицалық элементтерi арқылы өрнектелiп жазылды.

84

(14)

Түйiн сөздер: иерархия шешiмдерi. Виттен-Диджкргаф-Е.Верлинде-Г.Верлинде теңдеулерi, гидродинамикалық типтi сызықты емес бiртектi жүйе , ассоциативтiлiк теңдеуi, үшiншi реттi сызықты емес теңдеулер, антидиагональ метрика, Лакс жұптары, сәйкестiк шарты, тәуелсiз элементтер, тәуелдi айнымалылар, теңдеулер жүйесi.

References

1 Dubrovin B.A., Geometry of 2D topological field theories, Springer Lecture Notes in Math. (1620), 120-348, (1996). [arXiv:hep-th/9407018].

2 Dubrovin B.A., Integrable systems in topological field theory, Nucl. Physics B, 379, 627–689, (1992).

3 Witten E., On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity, Nucl. Physics B, 340, 281–332, (1990).

4 Dijkgraaf R., Verlinde E. and Verlinde H., Nucl. Physics B, 352, 59, (1991); Notes on topological string theory and 2D quantum gravity, Preprint PUPT–1217, IASSNS-HEP–90/80, November, (1990).

5 Hertling C., Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities, Cambridge University Press, Cambridge (UK), (2002).

6 Buryak A., Basalaev A., Open WDVV equations and Virasoro constraints [https://arxiv.org/abs/1901.10393], (2019).

7 FAN H., WU L., WDVV equation and its application to relative Gromov–Witten theory [https://arxiv.org/abs/1902.05739], (2019).

8 Dubrovin B., Liu S.-Q., Yang D., Zhang Y. Hodge integrals and tau-symmetric integrable hierarchies of Hamil- tonian evolutionary PDEs. Advances in Mathematics 293, 382-435, (2016).

9 Dubrovin B., Zhang Y. Frobenius manifolds and Virasoro constraints. Selecta Mathematica. New Series 5, no.4, 423-466, (1999).

10 Jae-Suk Park, Homotopical Computations in Quantum Fields Theory [https://arxiv.org/abs/1810.09100], (2018).

11 Dubrovin B.A., Novikov S.P., Hydrodynamics of weakly deformed soliton lattices. Differential geometry and Hamiltonian theory, Uspekhi Mat.Nauk. 44, 29-98, (1989). English translation in Russ. Math. Surveys 44, 35-124, (1989).

12 Dubrovin B.A., On almost duality for Frobenius manifolds, Amer. Math. Soc. Transl. 212, 75-132, (2004).

13 Mokhov O.I. Symplectic and poisson geometry on loop spaces of manifolds and nonlinear equa- tions,Translations of the American Mathematical Society-Series 2 170, 121-152, (1995). [arXiv:hep-th/9503076].

14 Mokhov O.I., Ferapontov Y.V. Equations of Associativity in Two-Dimensional Topological Field Theory as Integrable Hamiltonian Nondiagonalizable Systems of Hydrodynamic Type, Functional analysis and its appli- cations 30(3), (1995). [arXiv:hep-th/9505180].

15 Ferapontov E.V., Mokhov O.I., Nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type that are connected with metrics of constant curvature, Russ. Math. Surv. 45, no.3, 218-219, (1990).

16 A.A. Zhadyranova, Zh.R. Myrzakul, Y.Ye. Anuarbekova Hierarchy of WDVV associativity equations for n = 3 case and N = 2 when

V0 6= 0

[Ierarchiya WDVV uravneniya dlya n = 3 i N = 2 sluchaya, kogda

V0 6= 0

] Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University [Vestnik Evrazijskogo nacional’nogo universiteta imeni L.N. Gumileva]. 4(125), 60-66, (2018).

Сведения об авторах:

Жадыранова А.А.- жалпы және теориялық физика кафедрасының докторанты, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Сәтпаев көш., 2, Нұр-Сұлтан, Қазақстан.

Ануарбекова Ы.Е.- жалпы және теориялық физика кафедрасының магистранты, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Сәтпаев көш., 2, Нұр-Сұлтан, Қазақстан.

Zhadyranova A.A.- PhD student of the department of general and theoretical physics, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Satpayev str., 2,Nus-Sultan, Kazakhstan.

Anuarbekova Y.Ye.- Master student of the department of general and theoretical physics, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Satpayev str.,2, Nus-Sultan, Kazakhstan.

Поступила в редакцию 15.05.2019