Model of the dynamics of a tunnel and a shallow underground pipeline under the action of traffic loads

(1)

http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz

IRSTI:30.19.17

Л.А. Алексеева¹, В.Н. Украинец²

1Института математики и математического моделирования, г. Алматы, Казахстан

2Торайгыров университет, Павлодар, Казахстан (E-mail: ¹alexeeva47@mail.ru, ²vitnikukr@mail.ru)

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ТОННЕЛЯ И ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТРАНСПОРТНЫХ

НАГРУЗОК

Аннотация: Разработана математическая модель воздействия транспортных нагрузок на подкрепленный многослойной обделкой тоннель и подземный многослойный трубопровод при их мелком заложении. В качестве расчетной схемы данных подземных сооружений рассматривается упругая цилиндрическая многослойная оболочка, расположенная в упругом полупространстве (массиве). Перемещение слоев оболочки и упругого полупространства описывается уравнениями Ламе в подвижной системе координат. Получено аналитическое решение задачи определения компонентов напряженно-деформированного состояния массива и оболочки при произвольных скоростях нагрузки в дозвуковом случае, когда транспортная нагрузка движется со скоростью, меньшей скоростей распространения продольных и поперечных волн в массиве и оболочке. Представлены результаты компьютерных экспериментов, которые иллюстрируют напряженно-деформированное состояние трубопровода и земной поверхности при действии осесимметричной транспортной нагрузки.

Ключевые слова: упругое полупространство, дозвуковая транспортная нагрузка, многослойная цилиндрическая оболочка, напряженно-деформированное состояние

DOI: https://doi.org/10.32523/2616-7182/2020-133-4-28-39

Введение

Экспериментальные исследования показывают, что при действии на протяженные транспортные подземные сооружения в виде тоннелей и трубопроводов транспортных нагрузок (нагрузок от движущегося в тоннеле транспорта или транспортируемых по трубопроводу объектов) возникают вибрации, как в самих сооружениях, так и в окружающем их породном массиве. Превышение уровнями вибраций допустимых норм может привести к потере несущей способности конструкций сооружений или их непригодности для нормальной эксплуатации, а при их мелком заложении – к тем же последствиям для расположенных вблизи наземных сооружений. Следует заметить, что экспериментальные методы исследования вибрационных процессов, возникающих в данных сооружениях вследствие действия транспортных нагрузок, требуют значительных материальных затрат, а в некоторых случаях их проведение не представляется возможным.

В связи с этим необходимы эффективные методы их динамических расчётов, основанные на математических моделях с использованием современных представлений механики.

В качестве основных модельных задач, используемых для исследований динамики транспортных подземных сооружений под воздействием транспортной нагрузки, обычно рассматриваются задачи о действии на расположенную в упругом пространстве или полупространстве круговую цилиндрическую оболочку нагрузки, равномерно движущейся по внутренней поверхности оболочки вдоль её образующей. Первая задача моделирует динамическое поведение сооружения глубокого заложения, вторая – мелкого заложения.

(2)

Задачи о действии подвижной осесимметричной нормальной нагрузки на тонкостенную и толстостенную круговую цилиндрическую оболочку в упругом пространстве решены соответственно в статьях [1, 2]. Аналогичные задачи при действии на оболочку различных неосесимметричных подвижных нагрузок рассматривались в [3–5] и других работах.

В отличие от этих задач, подобные задачи для упругого полупространства являются более сложными, так как возникает необходимость учитывать отражаемые границей полупространства волны. Поэтому количество публикаций, посвященных исследованию этой проблеме, немногочисленно и охватывает, в основном, последние годы, в частности [6–14]. Здесь, при построении математической модели, обделка тоннеля или трубопровод рассматривались как однородная упругая круговая цилиндрическая оболочка. В настоящей работе эти конструкции представляются в виде неоднородной, многослойной упругой оболочки, слоями которой являются толстостенные круговые цилиндрические оболочки с разными физико-механическими и геометрическими характеристиками. В частном случае, когда оболочка является однослойной (однородной толстостенной оболочкой), приводятся и анализируются результаты численного эксперимента.

1. Постановка контактной транспортной задачи

Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую многослойную оболочку, состоящую из 𝑁 концентрических слоёв с разными физико-механическими и геометрическими характеристиками, расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве (массиве), отнесенному к неподвижным цилиндрической 𝑟, 𝜃, 𝑧 и декартовой 𝑥, 𝑦, 𝑧 системам координат, ось 𝑧 которых совпадает с осью оболочки и параллельна свободной от нагрузок горизонтальной границе полупространства, ось 𝑥 – перпендикулярна к этой границе: 𝑥 ≤ ℎ (рисунок 1). Контакт между слоями оболочки полагаем жёстким. Контакт между оболочкой массивом будем полагать либо жестким, либо скользящим при двусторонней связи в радиальном направлении.

Рисунок 1– Многослойная оболочка в упругом полупространстве.

По внутренней поверхности оболочки в направлении её оси 𝑧 с постоянной скоростью 𝑐 движется нагрузка интенсивностью 𝑃, вид которой не меняется с течением времени (транспортная нагрузка). Скорость движения нагрузки принимаем дозвуковой, т.е.

меньшей скоростей распространения волн сдвига в массиве и слоях оболочки.

Последовательно пронумеруем слои оболочки, присвоив контактирующему с массивом слою порядковый номер 2. Физико-механические свойства материала массива и слоев оболочки характеризуются соответственно следующими постоянными: 𝜈₁, 𝜇₁, 𝜌₁; 𝜈_𝑖, 𝜇𝑖, 𝜌𝑖(𝑖= 2,3, . . . , 𝑁+ 1), где 𝜈𝑘 – коэффициент Пуассона, 𝜇𝑘 = 𝐸𝑘/2(1 +𝜈𝑘) – модуль сдвига, 𝜌_𝑘 – плотность, 𝐸_𝑘 – модуль упругости (𝑘= 1,2, . . . , 𝑁+1). В дальнейшем индекс 𝑘= 1 относится к массиву, а 𝑘= 2,3, . . . , 𝑁+ 1 – к слоям оболочки.

Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2020, Vol. 133, №4

(3)

Определим реакцию оболочки и окружающей её среды на данную нагрузку, используя для описания движения массива и слоев оболочки динамические уравнения теории упругости в векторной форме

(𝜆_𝑘+𝜇_𝑘)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣u_k+𝜇_𝑘∆u_k=𝜌_𝑘𝜕²u_k

𝜕𝑡² , 𝑘 = 1,2, . . . , 𝑁+ 1, (1) где 𝜆_𝑘 = 2𝜇_𝑘𝜈_𝑘/(1−2𝜈_𝑘),u_k – векторы смещений точек массива и слоев оболочки, ∆ – оператор Лапласа.

Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому можно перейти к связанной с нагрузкой подвижной декартовой (𝑥, 𝑦, 𝜂 = 𝑧−𝑐𝑡) или цилиндрической (𝑟, 𝜃, 𝜂 = 𝑧 −𝑐𝑡) системе координат. Тогда уравнения (1) примут вид

(︁

𝑀_𝑝𝑘⁻²−𝑀_𝑠𝑘⁻²)︁

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣u_k+𝑀_𝑠𝑘⁻²∆u_k=𝜕²u_k/𝜕𝜂², 𝑘= 1,2, ..., 𝑁 + 1, (2) где 𝑀_𝑝𝑘 = 𝑐/𝑐_𝑝𝑘, 𝑀_𝑠𝑘 = 𝑐/𝑐_𝑠𝑘 – числа Маха; 𝑐_𝑝𝑘 = √︀

(𝜆_𝑘+ 2𝜇_𝑘)/𝜌_𝑘, 𝑐_𝑠𝑘 = √︀

𝜇_𝑘/𝜌_𝑘 – скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига в массиве и слоях оболочки.

2. Решение задачи. Потенциалы Ламе

Для определения перемещений используем потенциалы Ламе [6]. Выражая u_k через потенциалы Ламе

u_k=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙_1𝑘+𝑟𝑜𝑡(𝜙_2𝑘e_𝜂) +𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡(𝜙_3𝑘e_𝜂), 𝑘= 1,2, ..., 𝑁 + 1, (3) преобразуем уравнения (2) к виду

∆𝜙_𝑗𝑘 =𝑀_𝑗𝑘² 𝜕²𝜙_𝑗𝑘

𝜕𝜂² , 𝑗= 1,2,3, 𝑘 = 1,2, ..., 𝑁+ 1. (4) Здесь e_𝜂 – орт оси 𝜂, 𝑀_1𝑘=𝑀_𝑝𝑘, 𝑀_2𝑘=𝑀_3𝑘=𝑀_𝑠𝑘.

Используя (3) и закон Гука получаем выражения для компонент векторов uk и тензоров напряжений в массиве (𝑘 = 1) и слоях оболочки (𝑘 = 2,3, . . . , 𝑁 + 1) в подвижной цилиндрической системе координат

𝑢_𝑟𝑘= 𝜕𝜙_1𝑘

𝜕𝑟 +1 𝑟

𝜕𝜙_2𝑘

𝜕𝜃 +𝜕²𝜙_3𝑘

𝜕𝜂𝜕𝑟, 𝑢_𝜃𝑘= 1

𝑟

𝜕𝜙_1𝑘

𝜕𝜃 −𝜕𝜙_2𝑘

𝜕𝑟 +1 𝑟

𝜕²𝜙_3𝑘

𝜕𝜂𝜕𝜃, 𝑢_𝜂𝑘 = 𝜕𝜙_1𝑘

𝜕𝜂 +𝑚²_𝑠𝑘𝜕²𝜙_3𝑘

𝜕𝜂² ;

(5)

𝜎𝜂𝜂𝑘 = (2𝜇𝑘+𝜆𝑘𝑀_𝑝𝑘² )𝜕²𝜙1𝑘

𝜕𝜂² + 2𝜇𝑘𝑚²_𝑠𝑘𝜕³𝜙3𝑘

𝜕𝜂³ , 𝜎_𝜃𝜃𝑘 =𝜆_𝑘𝑀_𝑝𝑘² 𝜕²𝜙_1𝑘

𝜕𝜂² +2𝜇_𝑘 𝑟

(︂1 𝑟

𝜕²𝜙_1𝑘

𝜕𝜃² +𝜕𝜙_1𝑘

𝜕𝑟 +1 𝑟

𝜕𝜙_2𝑘

𝜕𝜃 −𝜕²𝜙_2𝑘

𝜕𝑟𝜕𝜃 + 1 𝑟

𝜕³𝜙_3𝑘

𝜕𝜃²𝜕𝜂 +𝜕²𝜙_3𝑘

𝜕𝑟𝜕𝜂 )︂

, 𝜎_𝑟𝑟𝑘 =𝜆_𝑘𝑀_𝑝𝑘² 𝜕²𝜙1𝑘

𝜕𝜂² + 2𝜇_𝑘

(︂𝜕²𝜙1𝑘

𝜕𝑟² + 1 𝑟

𝜕²𝜙2𝑘

𝜕𝜃𝜕𝑟 − 1 𝑟²

𝜕𝜙2𝑘

𝜕𝜃 +𝜕³𝜙3𝑘

𝜕𝑟²𝜕𝜂 )︂

, 𝜎_𝑟𝜂𝑘 =𝜇_𝑘

(︂

2𝜕²𝜙_1𝑘

𝜕𝜂𝜕𝑟 +1 𝑟

𝜕²𝜙_2𝑘

𝜕𝜃𝜕𝜂 + (1 +𝑚²_𝑠𝑘)𝜕³𝜙_3𝑘

𝜕𝜂²𝜕𝑟 )︂

, 𝜎_𝜂𝜃𝑘 =𝜇_𝑘

(︂2 𝑟

𝜕²𝜙_1𝑘

𝜕𝜃𝜕𝜂 −𝜕²𝜙_2𝑘

𝜕𝑟𝜕𝜂 +(1 +𝑚²_𝑠𝑘) 𝑟

𝜕³𝜙_3𝑘

𝜕𝜃𝜕𝜂² )︂

, 𝜎_𝑟𝜃𝑘 = 2𝜇_𝑘

(︂1 𝑟

𝜕²𝜙_1𝑘

𝜕𝜃𝜕𝑟 − 1 𝑟²

𝜕𝜙_1𝑘

𝜕𝜃 − 𝜕²𝜙_2𝑘

𝜕𝑟² − 𝑚²_𝑠𝑘 2

𝜕²𝜙_2𝑘

𝜕𝜂² +1 𝑟

𝜕³𝜙_3𝑘

𝜕𝑟𝜕𝜂𝜕𝜃 − 1 𝑟²

𝜕²𝜙_3𝑘

𝜕𝜂𝜕𝜃 )︂

,

(6)

где 𝑚²_𝑠𝑘 = 1−𝑀_𝑠𝑘² >0.

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы. Математика. Компьютерлiк ғылымдар. Механика, 2020, Том 133, №4

(4)

В подвижных декартовых координатах выражения для компонент напряжённо- деформированного состояния (НДС) массива имеют вид

𝑢_𝑥1 = 𝜕𝜙₁₁

𝜕𝑥 +𝜕𝜙₂₁

𝜕𝑦 +𝜕²𝜙₃₁

𝜕𝑥𝜕𝜂, 𝑢_𝑦1 = 𝜕𝜙11

𝜕𝑦 −𝜕𝜙21

𝜕𝑥 + 𝜕²𝜙31

𝜕𝑦𝜕𝜂, 𝑢𝜂1 = 𝜕𝜙11

𝜕𝜂 +𝑚²_𝑠1𝜕²𝜙31

𝜕𝜂² ; 𝜎𝜂𝜂1= (2𝜇1+𝜆1𝑀_𝑝1² )𝜕²𝜙11

𝜕𝜂² + 2𝜇1𝑚²_𝑠1𝜕³𝜙31

𝜕𝜂³ , 𝜎_𝑦𝑦1=𝜆₁𝑀_𝑝1² 𝜕²𝜙₁₁

𝜕𝜂² + 2𝜇₁

(︂𝜕²𝜙₁₁

𝜕𝑦² −𝜕²𝜙₂₁

𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕³𝜙₃₁

𝜕𝑦²𝜕𝜂 )︂

, 𝜎𝑥𝑥1=𝜆1𝑀_𝑝1² 𝜕²𝜙11

𝜕𝜂² + 2𝜇1

(︂𝜕²𝜙11

𝜕𝑥² +𝜕²𝜙21

𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕³𝜙31

𝜕𝑥²𝜕𝜂 )︂

, 𝜎_𝑥𝜂1=𝜇₁

(︂

2𝜕²𝜙₁₁

𝜕𝜂𝜕𝑥 + 𝜕²𝜙₂₁

𝜕𝑦𝜕𝜂 + (1 +𝑚²_𝑠1)𝜕³𝜙₃₁

𝜕𝜂²𝜕𝑥 )︂

, 𝜎𝜂𝑦1=𝜇1

(︂

2𝜕²𝜙11

𝜕𝑦𝜕𝜂 − 𝜕²𝜙21

𝜕𝑥𝜕𝜂 + (1 +𝑚²_𝑠1)𝜕³𝜙31

𝜕𝑦𝜕𝜂² )︂

, 𝜎𝑥𝑦1= 2𝜇1

(︂𝜕²𝜙₁₁

𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕²𝜙₂₁

𝜕𝑥² −𝑚²_𝑠1 2

𝜕²𝜙₂₁

𝜕𝜂² + 𝜕³𝜙₃₁

𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝜂 )︂

.

(7)

Таким образом, для определения компонент НДС массива и слоев оболочки необходимо решить уравнения (4) используя следующие граничные условия:

- для свободной от нагрузок поверхности полупространства (𝑥= ℎ)

𝜎_𝑥𝑥1 =𝜎_𝑥𝑦1 =𝜎_𝑥𝜂1= 0; (8)

- для скользящего контакта оболочки с массивом

при𝑟=𝑅₁ 𝑢_𝑟1 =𝑢_𝑟2, 𝜎_𝑟𝑟1 =𝜎_𝑟𝑟2, 𝜎_𝑟𝜂1 = 0, 𝜎_𝑟𝜃1 = 0, 𝜎_𝑟𝜂2 = 0, 𝜎_𝑟𝜃2 = 0, при𝑟=𝑅_𝑘 𝑢_𝑗𝑘 =𝑢_𝑗𝑘+1, 𝜎_𝑟𝑗𝑘=𝜎_{𝑟𝑗𝑘+1},

при𝑟=𝑅𝑁+1 𝜎𝑟𝑗𝑁+1=𝑃𝑗(𝜃, 𝜂), 𝑗 =𝑟, 𝜃, 𝜂, 𝑘= 2,3, ..., 𝑁;

(9) -для жёсткого контакта оболочки с массивом

при𝑟=𝑅_𝑘 𝑢_𝑗𝑘 =𝑢_𝑗𝑘+1, 𝜎_𝑟𝑗𝑘 =𝜎_{𝑟𝑗𝑘+1},

при𝑟=𝑅_𝑁+1 𝜎_𝑟𝑗𝑁₊₁=𝑃_𝑗(𝜃, 𝜂), 𝑗 =𝑟, 𝜃, 𝜂, 𝑘= 1,2, ..., 𝑁. (10) Здесь 𝑃𝑗(𝜃, 𝜂) – составляющие интенсивности подвижной нагрузки 𝑃(𝜃, 𝜂).

3. Решение периодической по 𝜂 задачи

Рассмотрим действие на оболочку синусоидальной по 𝜂 подвижной нагрузки с произвольной зависимостью от угловой координаты

𝑃(𝜃, 𝜂) =𝑝(𝜃)𝑒^𝑖𝜉𝜂, 𝑝(𝜃) =∑︀∞

𝑛=−∞𝑃_𝑛𝑒^𝑖𝑛𝜃, 𝑃𝑗(𝜃, 𝜂) =𝑝𝑗(𝜃)𝑒^𝑖𝜉𝜂, 𝑝𝑗(𝜃) =∑︀∞

𝑛=−∞𝑃𝑛𝑗𝑒^𝑖𝑛𝜃, 𝑗 =𝑟, 𝜃, 𝜂, (11) где константа 𝜉 определяет период 𝑇 = 2𝜋/𝜉 действующей нагрузки.

В установившемся состоянии зависимость всех величин от 𝜂 имеет вид (11), поэтому 𝜙_𝑗𝑘(𝑟, 𝜃, 𝜂) = Φ_𝑗𝑘(𝑟, 𝜃)𝑒^𝑖𝜉𝜂. (12)

(5)

Подставляя (12) в (4), получим

∆2Φ𝑗𝑘−𝑚²_𝑗𝑘𝜉²Φ𝑗𝑘 = 0, 𝑗= 1,2,3, 𝑘= 1,2, ..., 𝑁 + 1, (13) где ∆₂ – двумерный оператор Лапласа, 𝑚²_𝑗𝑘 = 1−𝑀_𝑗𝑘² , 𝑚_1𝑘≡𝑚_𝑝𝑘, 𝑚_2𝑘=𝑚_3𝑘 ≡𝑚_𝑠𝑘.

При дозвуковой скорости движения нагрузки 𝑀𝑠𝑘 <1, 𝑚𝑠𝑘 >0, 𝑘 = 1,2, . . . , 𝑁 + 1, и решения уравнений (13) можно представить в виде [6]

Φ_𝑗𝑘 = Φ⁽¹⁾_𝑗𝑘 + Φ⁽²⁾_𝑗𝑘, 𝑗 = 1,2,3, 𝑘= 1,2, ..., 𝑁+ 1. (14) Здесь для массива (𝑘= 1)

Φ⁽¹⁾_𝑗1 =

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎𝑛𝑗𝐾𝑛(𝑘𝑗1𝑟)𝑒^𝑖𝑛𝜃,Φ⁽²⁾_𝑗1 =

∫︁ ∞

−∞

𝑔𝑗(𝜉, 𝜁) exp (︁

𝑖𝑦𝜁+ (𝑥−ℎ)

√︁

𝜁²+𝑘_𝑗1² )︁

𝑑𝜁;

для слоев оболочки (𝑘= 2,3, . . . , 𝑁+ 1) Φ⁽¹⁾_𝑗𝑘 =

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎_{𝑛𝑗+3(2𝑘−3)}𝐾_𝑛(𝑘_𝑗𝑘𝑟)𝑒^𝑖𝑛𝜃,Φ⁽²⁾_𝑗𝑘 =

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎_{𝑛𝑗+6(𝑘−1)}𝐼_𝑛(𝑘_𝑗𝑘𝑟)𝑒^𝑖𝑛𝜃.

Здесь 𝐼_𝑛(𝑘𝑟), 𝐾_𝑛(𝑘𝑟) – соответственно модифицированные функции Бесселя и функции Макдональда, 𝑘𝑗1 =|𝑚_𝑗1𝜉|, 𝑘𝑗𝑘 =|𝑚_𝑗𝑘𝜉|;𝑔𝑗(𝜉, 𝜁), 𝑎𝑛1, ..., 𝑎_{𝑛(6𝑁+3)} – неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению.

Как показано в [6, 9], представление потенциалов для полупространства в форме (14) приводит к их следующим выражениям в декартовой системе координат:

Φ𝑗1 =

∫︁ ∞

−∞

[︃

𝑒^−𝑥𝑓^𝑗 2𝑓𝑗

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎𝑛𝑗Φ𝑛𝑗+𝑔𝑗(𝜉, 𝜁)𝑒^{(𝑥−ℎ)𝑓}^𝑗 ]︃

𝑒^𝑖𝑦𝜁𝑑𝜁, (15)

где 𝑓𝑗 =√︁

𝜁²+𝑘_𝑗1² , Φ𝑛𝑗= [(𝜁+𝑓𝑗) /𝑘𝑗1]^𝑛, 𝑗= 1, 2, 3.

Воспользуемся граничными условиями (8), с учётом (7), (12), (15). Выделяя коэффициенты при 𝑒^𝑖𝑦𝜁 и приравнивая, в силу произвольности y, их нулю, получим систему трёх уравнений, из которой выражаем функции 𝑔𝑗(𝜉, 𝜁) через неизвестные коэффициенты 𝑎_𝑛1, 𝑎_𝑛2, 𝑎_𝑛3:

𝑔_𝑗(𝜉, 𝜁) = 1

∆* 3

∑︁

𝑙=1

∆^*_𝑗𝑙𝑒^−ℎ𝑓^𝑙

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎_𝑛𝑙Φ_𝑛𝑙, (16)

где

∆* =(︀

2𝜌²_*−𝛽²)︀2

−4𝜌²_*√︀

𝜌²_*−𝛼²√︀

𝜌²_*−𝛽²,

∆^*₁₁= ∆*

2√︀

𝜌²_*−𝛼² −

(︀2𝜌²_*−𝛽²)︀2

√︀𝜌²_*−𝛼² , ∆^*₁₂=−2𝜁(︀

2𝜌²_*−𝛽²)︀

, ∆^*₁₃= 2𝜉(︀

2𝜌²_*−𝛽²)︀ √︀

𝜌²_*−𝛽²,

∆^*₂₁=−𝑀_𝑠1²

𝑚²_𝑠1∆^*₁₂, ∆^*₂₂=− ∆**

2√︀

𝜌²_*−𝛽², ∆^*₂₃=−4𝜉𝜁𝑀_𝑠1² 𝑚²_𝑠1

√︀𝜌²_*−𝛼²√︀

𝜌²_*−𝛽²,

∆^*₃₁=− ∆^*₁₃

𝑚²_𝑠1𝜉², ∆^*₃₂= ∆^*₂₁

𝛽² , ∆^*₃₃=− ∆**

2√︀

𝜌²_*−𝛽² +

(︀2𝜌²_*−𝛽²)︀2

√︀𝜌²_*−𝛽² , 𝛼=𝑀𝑝1𝜉, 𝛽=𝑀𝑠1𝜉, 𝜌²_* =𝜉²+𝜁², ∆**=(︀

2𝜌²_*−𝛽²)︀2

−4𝜌²_**√︀

𝜌²_*−𝛼²√︀

𝜌²_*−𝛽², 𝜌²_**=𝜉²+(︀

2/𝑚²_𝑠1−1)︀

𝜁².

Заметим, что ∆*(𝜌*) – определитель Рэлея, который обращается в ноль при 𝜌²_*𝑅 = 𝜉²𝑀_𝑅², или в двух точках ±𝜁_𝑅 = ± |𝜉|√︁

𝑀_𝑅² −1, где 𝑀_𝑅 = 𝑐/𝑐_𝑅 – число Маха, 𝑐_𝑅 – скорость поверхностных волн Рэлея [15], которую условимся называть рэлеевской скоростью. Из последнего следует, что ∆*(𝜌*) не обращается в ноль на действительной

(6)

оси, если 𝑀𝑅 < 1 (𝑐 < 𝑐𝑅), то есть при дорэлеевских скоростях движения нагрузки. В этом случае потенциалы (15) можно представить в виде

Φ_𝑗1 =

∫︁ ∞

−∞

[︃𝑒^−𝑥𝑓^𝑗 2𝑓_𝑗

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎_𝑛𝑗Φ_𝑛𝑗+𝑒^{(𝑥−ℎ)𝑓}^𝑗

3

∑︁

𝑙=1

∆^*_𝑗𝑙

∆*

𝑒^−ℎ𝑓^𝑙

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎_𝑛𝑙Φ_𝑛𝑙 ]︃

𝑒^𝑖𝑦𝜁𝑑𝜁.

Следует отметить, что рэлеевская скорость несколько ниже скорости волн сдвига в массиве.

Используя известное приx < h соотношение [6, 9]

exp(︁

𝑖𝑦𝜁 + (𝑥−ℎ)

√︁

𝜁²+𝑘²_𝑗)︁

=

∞

∑︁

𝑛=−∞

𝐼_𝑛(𝑘_𝑗𝑟)𝑒^𝑖𝑛𝜃[︁(︁

𝜁+

√︁

𝜁²+𝑘²_𝑗)︁ ⧸︁

𝑘_𝑗]︁𝑛

𝑒^−ℎ

√︁

𝜁²+𝑘²_𝑗

, представим Φ_𝑗1 (14) в цилиндрической системе координат

Φ𝑗1=

∞

∑︁

𝑛=−∞

(︂

𝑎𝑛𝑗𝐾𝑛(𝑘𝑗1𝑟) +𝐼𝑛(𝑘𝑗1𝑟)

∫︁ ∞

−∞

𝑔𝑗(𝜉, 𝜁) Φ𝑛𝑗𝑒^−ℎ𝑓^𝑗𝑑𝜁 )︂

𝑒^𝑖𝑛𝜃. Подставляя в последнее выражение из (16) 𝑔_𝑗(𝜉, 𝜁), для 𝑐 < 𝑐_𝑅 получим

Φ_𝑗1=

∞

∑︁

𝑛=−∞

(𝑎_𝑛𝑗𝐾_𝑛(𝑘_𝑗1𝑟) +𝑏_𝑛𝑗𝐼_𝑛(𝑘_𝑗1𝑟)) 𝑒^𝑖𝑛𝜃, (17) где 𝑏𝑛𝑗 =∑︀3

𝑙=1

∑︀∞

𝑚=−∞𝑎_𝑚𝑙𝐴^𝑚𝑙_𝑛𝑗 , 𝐴^𝑚𝑙_𝑛𝑗 =∫︀∞

−∞

Δ^*_𝑗𝑙

Δ*Φ_𝑚𝑙Φ𝑛𝑗𝑒^−ℎ(𝑓^𝑙^+𝑓^𝑗⁾𝑑𝜁.

Подставляя (17) с учётом (12) в (5), (6) получаем формулы для вычислений компонент НДС массива в цилиндрических координатах при 𝑐 < 𝑐_𝑅

𝑢^*_𝑙1 =

∞

∑︁

𝑛=−∞

3

∑︁

𝑗=1

[︁

𝑇_𝑙𝑗1⁽¹⁾(𝐾_𝑛(𝑘_𝑗1𝑟)) 𝑎_𝑛𝑗+𝑇_𝑙𝑗1⁽²⁾(𝐼_𝑛(𝑘_𝑗1𝑟)) 𝑏_𝑛𝑗]︁

𝑒^{𝑖(𝜉𝜂+𝑛𝜃)}, 𝜎_𝑙𝑚1^*

𝜇₁ =

∞

∑︁

𝑛=−∞

3

∑︁

𝑗=1

[︁

𝑆_{𝑙𝑚𝑗1}⁽¹⁾ (𝐾𝑛(𝑘𝑗1𝑟)) 𝑎𝑛𝑗+𝑆_{𝑙𝑚𝑗1}⁽²⁾ (𝐼𝑛(𝑘𝑗1𝑟)) 𝑏𝑛𝑗

]︁

𝑒^{𝑖(𝜉𝜂+𝑛𝜃)}.

(18)

Здесь 𝑙=𝑟, 𝜃, 𝜂, 𝑚=𝑟, 𝜃, 𝜂;

𝑇_𝑟11⁽¹⁾ =𝑘11𝐾_𝑛^′ (𝑘11𝑟), 𝑇_𝑟21⁽¹⁾=−^𝑛_𝑟𝐾𝑛(𝑘21𝑟), 𝑇_𝑟31⁽¹⁾ =−𝜉 𝑘₃₁𝐾_𝑛^′ (𝑘31𝑟), 𝑇_𝜃11⁽¹⁾ = ^𝑛_𝑟𝐾_𝑛(𝑘₁₁𝑟)𝑖, 𝑇_𝜃21⁽¹⁾ =−𝑘₂₁𝐾_𝑛^′ (𝑘₂₁𝑟)𝑖, 𝑇_𝜃31⁽¹⁾ =−^𝑛_𝑟𝜉𝐾_𝑛(𝑘₃₁𝑟) 𝑖, 𝑇_𝜂11⁽¹⁾ =𝜉𝐾_𝑛(𝑘₁₁𝑟)𝑖, 𝑇_𝜂21⁽¹⁾ = 0, 𝑇_𝜂31⁽¹⁾ =−𝑘₃₁² 𝐾_𝑛(𝑘₃₁𝑟)𝑖,

𝑆_𝑟𝑟11⁽¹⁾ = 2 (︂

𝑘²₁₁+^𝑛_𝑟2² − ^𝜆¹^𝑀_2𝜇^𝑝1²^𝜉²

1

)︂

𝐾_𝑛(𝑘₁₁𝑟)−^2𝑘¹¹^𝐾^𝑛_𝑟^′^(𝑘¹¹^𝑟), 𝑆_𝑟𝑟21⁽¹⁾ = ^2𝑛_𝑟2𝐾_𝑛(𝑘₂₁𝑟)−^2𝑘²¹^𝐾^𝑛_𝑟^′^(𝑘²¹^𝑟), 𝑆_𝑟𝑟31⁽¹⁾ =−2𝜉(︁

𝑘₃₁² + ^𝑛_𝑟²2

)︁

𝐾_𝑛(𝑘₃₁𝑟) +^2𝜉𝑘³¹^𝐾_𝑟^𝑛^′^(𝑘³¹^𝑟), 𝑆_𝜃𝜃11⁽¹⁾ =−2

(︂

𝑛² 𝑟² +^𝜆¹^𝑀

2 𝑝1𝜉² 2𝜇1

)︂

𝐾_𝑛(𝑘₁₁𝑟) +^2𝑘¹¹^𝐾^𝑛_𝑟^′^(𝑘¹¹^𝑟),

𝑆_𝜃𝜃21⁽¹⁾ =−^2𝑛𝐾^𝑛_𝑟^(𝑘₂²¹^𝑟)+ ^2𝑛𝑘²¹^𝐾_𝑟^𝑛^′^(𝑘²¹^𝑟), 𝑆_𝜃𝜃31⁽¹⁾ = ^2𝜉𝑛²^𝐾_𝑟^𝑛2^(𝑘³¹^𝑟) −^2𝜉𝑘³¹^𝐾_𝑟^𝑛^′^(𝑘³¹^𝑟), 𝑆_𝜂𝜂11⁽¹⁾ =−2𝜉²

(︂1+𝜆1𝑀_𝑝1² 2𝜇1

)︂

𝐾_𝑛(𝑘₁₁𝑟), 𝑆_𝜂𝜂21⁽¹⁾ = 0, 𝑆_𝜂𝜂31⁽¹⁾ = 2𝑚²₃₁𝜉³𝐾_𝑛(𝑘₃₁𝑟), 𝑆_𝑟𝜃11⁽¹⁾ =(︁

−^2𝑛𝐾^𝑛_𝑟^(𝑘₂ ¹¹^𝑟)+^2𝑛𝑘¹¹^𝐾_𝑟^𝑛^′^(𝑘¹¹^𝑟))︁

𝑖, 𝑆_𝑟𝜃21⁽¹⁾ =(︁

−(︁

𝑘₂₁² +^2𝑛_𝑟2²

)︁

𝐾_𝑛(𝑘₂₁𝑟) +^2𝑘²¹^𝐾^𝑛_𝑟^′^(𝑘²¹^𝑟))︁

𝑖, 𝑆_𝑟𝜃31⁽¹⁾ =(︁_{2𝑛𝜉𝐾}

𝑛(𝑘31𝑟)

𝑟² −^{2𝑛𝜉 𝑘}³¹^𝐾_𝑟^𝑛^′^(𝑘³¹^𝑟))︁

𝑖,

𝑆_𝜃𝜂11⁽¹⁾ =−^{2𝑛𝜉𝐾}^𝑛_𝑟^(𝑘¹¹^𝑟), 𝑆_𝜃𝜂21⁽¹⁾ =𝜉𝑘21𝐾_𝑛^′ (𝑘21𝑟), 𝑆_𝜃𝜂31⁽¹⁾ = ^𝑛𝜉

2(^1+𝑚²31)^𝐾^𝑛^(𝑘³¹^𝑟)

𝑟 ,

𝑆_𝑟𝜂11⁽¹⁾ = 2𝜉𝑘₁₁𝐾_𝑛^′ (𝑘₁₁𝑟) 𝑖, 𝑆_𝑟𝜂21⁽¹⁾ =−^𝜉𝑛𝐾^𝑛^(𝑘_𝑟²¹^𝑟)^𝑖, 𝑆_𝑟𝜂31⁽¹⁾ =−𝜉²𝑘₃₁(︀

1 +𝑚²₃₁)︀

𝐾_𝑛^′ (𝑘₃₁𝑟) 𝑖;

(7)

𝐾_𝑛^′ (𝑘_𝑗1𝑟) = ^𝑑𝐾_𝑑(𝑘^𝑛^(𝑘^𝑗1^𝑟)

𝑗1𝑟) ;𝑇_𝑙𝑗1⁽²⁾, 𝑆_{𝑙𝑚𝑗1}⁽²⁾ получаются из 𝑇_𝑙𝑗1⁽¹⁾, 𝑆_{𝑙𝑚𝑗1}⁽¹⁾ заменой 𝐾_𝑛 на 𝐼_𝑛.

Подставляя (14) при k = 2, 3,. . . , N+1 с учётом (12) в (5), (6) получаем формулы для вычислений компонент НДС слоев оболочки при 𝑐 < 𝑐𝑅

𝑢^*_𝑙𝑘=

∞

∑︁

𝑛=−∞

3

∑︁

𝑗=1

[︁

𝑇_𝑙𝑗𝑘⁽¹⁾(𝐾𝑛(𝑘𝑗𝑘𝑟)) 𝑎𝑛𝑗+3(2𝑘−3)+𝑇_𝑙𝑗𝑘⁽²⁾(𝐼𝑛(𝑘𝑗𝑘𝑟)) 𝑎𝑛𝑗+6(𝑘−1)

]︁

𝑒^{𝑖(𝜉𝜂+𝑛𝜃)}, 𝜎_𝑙𝑚𝑘^*

𝜇𝑘

=

∞

∑︁

𝑛=−∞

3

∑︁

𝑗=1

[︁

𝑆_{𝑙𝑚𝑗𝑘}⁽¹⁾ (𝐾_𝑛(𝑘_𝑗𝑘𝑟)) 𝑎_{𝑛𝑗+3(2𝑘−3)}+𝑆_{𝑙𝑚𝑗𝑘}⁽²⁾ (𝐼_𝑛(𝑘_𝑗𝑘𝑟)) 𝑎_{𝑛𝑗+6(𝑘−1)}]︁

𝑒^{𝑖(𝜉𝜂+𝑛𝜃)}. (19)

Здесь 𝑙=𝑟, 𝜃, 𝜂, 𝑚=𝑟,𝜃,𝜂, 𝑘= 2, 3, ..., 𝑁 + 1; 𝑇_𝑟1𝑘⁽¹⁾ =𝑘1𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘1𝑘𝑟), 𝑇_𝑟2𝑘⁽¹⁾ =−𝑛

𝑟𝐾𝑛(𝑘2𝑘𝑟), 𝑇_𝑟3𝑘⁽¹⁾ =−𝜉 𝑘_3𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘3𝑘𝑟), 𝑇_𝜃1𝑘⁽¹⁾ = 𝑛

𝑟𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟)𝑖, 𝑇_𝜃2𝑘⁽¹⁾ =−𝑘_2𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_2𝑘𝑟)𝑖, 𝑇_𝜃3𝑘⁽¹⁾ =−𝑛

𝑟𝜉𝐾_𝑛(𝑘_3𝑘𝑟)𝑖, 𝑇_𝜂1𝑘⁽¹⁾ =𝜉𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟)𝑖, 𝑇_𝜂2𝑘⁽¹⁾ = 0, 𝑇_𝜂3𝑘⁽¹⁾ =−𝑘²_3𝑘𝐾_𝑛(𝑘_3𝑘𝑟)𝑖,

𝑆_{𝑟𝑟1𝑘}⁽¹⁾ = 2 (︃

𝑘_1𝑘² +𝑛²

𝑟² −𝜆_𝑘𝑀_𝑝𝑘² 𝜉² 2𝜇_𝑘

)︃

𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟)−2𝑘_1𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_1𝑘𝑟)

𝑟 ,

𝑆_{𝑟𝑟2𝑘}⁽¹⁾ = 2𝑛

𝑟²𝐾𝑛(𝑘2𝑘𝑟)−2𝑘2𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘2𝑘𝑟)

𝑟 , 𝑆_{𝑟𝑟3𝑘}⁽¹⁾ =−2𝜉 (︂

𝑘²_3𝑘+ 𝑛² 𝑟²

)︂

𝐾𝑛(𝑘3𝑘𝑟) +2𝜉𝑘3𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘3𝑘𝑟)

𝑟 ,

𝑆_{𝜃𝜃1𝑘}⁽¹⁾ =−2 (︃𝑛²

𝑟² +𝜆_𝑘𝑀_𝑝𝑘² 𝜉² 2𝜇_𝑘

)︃

𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟) + 2𝑘_1𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_1𝑘𝑟)

𝑟 ,

𝑆_{𝜃𝜃2𝑘}⁽¹⁾ =−2𝑛𝐾𝑛(𝑘2𝑘𝑟)

𝑟² +2𝑛𝑘2𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘2𝑘𝑟)

𝑟 , 𝑆⁽¹⁾_{𝜃𝜃3𝑘} = 2𝜉𝑛²𝐾𝑛(𝑘3𝑘𝑟)

𝑟² − 2𝜉𝑘3𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘3𝑘𝑟)

𝑟 ,

𝑆_{𝜂𝜂1𝑘}⁽¹⁾ =−2𝜉²

(︃1 +𝜆_𝑘𝑀_𝑝𝑘² 2𝜇_𝑘

)︃

𝐾𝑛(𝑘_1𝑘𝑟), 𝑆_{𝜂𝜂2𝑘}⁽¹⁾ = 0, 𝑆_{𝜂𝜂3𝑘}⁽¹⁾ = 2𝑚²_3𝑘𝜉³𝐾𝑛(𝑘_3𝑘𝑟), 𝑆_{𝑟𝜃1𝑘}⁽¹⁾ =

(︂

−2𝑛𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟)

𝑟² +2𝑛𝑘_1𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_1𝑘𝑟) 𝑟

)︂

𝑖, 𝑆_{𝑟𝜃2𝑘}⁽¹⁾ =

(︂

− (︂

𝑘_2𝑘² +2𝑛² 𝑟²

)︂

𝐾_𝑛(𝑘_2𝑘𝑟) + 2𝑘_2𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_2𝑘𝑟) 𝑟

)︂

𝑖, 𝑆_{𝑟𝜃3𝑘}⁽¹⁾ =

(︂2𝑛𝜉𝐾𝑛(𝑘3𝑘𝑟)

𝑟² − 2𝑛𝜉 𝑘3𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘3𝑘𝑟) 𝑟

)︂

𝑖, 𝑆_{𝜃𝜂1𝑘}⁽¹⁾ =−2𝑛𝜉𝐾_𝑛(𝑘_1𝑘𝑟)

𝑟 , 𝑆_{𝜃𝜂2𝑘}⁽¹⁾ =𝜉𝑘2𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘2𝑘𝑟), 𝑆_{𝜃𝜂3𝑘}⁽¹⁾ = 𝑛𝜉²(︀

1 +𝑚²_3𝑘)︀

𝐾_𝑛(𝑘_3𝑘𝑟)

𝑟 ,

𝑆_{𝑟𝜂1𝑘}⁽¹⁾ = 2𝜉𝑘_1𝑘𝐾_𝑛^′ (𝑘_1𝑘𝑟)𝑖, 𝑆_{𝑟𝜂2𝑘}⁽¹⁾ =−𝜉𝑛𝐾_𝑛(𝑘_2𝑘𝑟)𝑖

𝑟 , 𝑆_{𝑟𝜂3𝑘}⁽¹⁾ =−𝜉²𝑘_3𝑘(︀

1 +𝑚²_3𝑘)︀

𝐾_𝑛^′ (𝑘_3𝑘𝑟)𝑖;

𝐾_𝑛^′ (𝑘𝑗𝑘𝑟) = ^𝑑𝐾^𝑛(^𝑘𝑗𝑘𝑟)

𝑑(^𝑘𝑗𝑘𝑟) ; 𝑇_𝑙𝑗𝑘⁽²⁾, 𝑆_{𝑙𝑚𝑗𝑘}⁽²⁾ получаются из 𝑇_𝑙𝑗𝑘⁽¹⁾, 𝑆_{𝑙𝑚𝑗𝑘}⁽¹⁾ заменой 𝐾𝑛 на 𝐼𝑛. Для определения коэффициентов 𝑎𝑛1, ..., 𝑎_{𝑛(6𝑁+3)} воспользуемся, в зависимости от условия сопряжения оболочки со средой, переписанными для периодической задачи граничными условиями (9) или (10). Подставляя в граничные условия соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при 𝑒^𝑖𝑛𝜃, получим бесконечную систему (n = 0, ±1, ±2,. . . ) линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно использовать метод редукции или более удобный для решения поставленной задачи метод последовательных отражений [7], позволяющий при каждом последовательном отражении решать систему линейных уравнений блочно-диагонального вида с определителями

∆_𝑛(𝜉, 𝑐) вдоль главной диагонали.

(8)

После определения коэффициентов, компоненты напряжённо-деформированного состояния массива и слоев оболочки при действии подвижной синусоидальной нагрузки можно вычислить по формулам (18), (19).

4. Решение апериодической задачи

Зная решение (18), (19) задачи для синусоидальной нагрузки (11), реакцию оболочки и окружающей её среды на движущуюся с постоянной скоростью апериодическую (локальную) нагрузку вида 𝑃(𝜃 , 𝜉) =𝑝(𝜃)𝑝(𝜂) (характерного для транспортных средств) можно найти при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС массива и оболочки в виде интегралов Фурье

𝑃(𝜃, 𝜂) = _2𝜋¹ ∫︀∞

−∞𝑃^*(𝜃, 𝜉)𝑒^𝑖𝜉𝜂𝑑𝜉=𝑝(𝜃)𝑝(𝜂) =𝑝(𝜃)_2𝜋¹ ∫︀∞

−∞𝑝^*(𝜉)𝑒^𝑖𝜉𝜂𝑑𝜉, 𝑃_𝑚(𝜃, 𝜂) = _2𝜋¹ ∫︀∞

−∞𝑃_𝑚^* (𝜃, 𝜉)𝑒^𝑖𝜉𝜂𝑑𝜉=𝑝_𝑚(𝜃)𝑝(𝜂) =𝑝_𝑚(𝜃)_2𝜋¹ ∫︀∞

−∞𝑝^*(𝜉)𝑒^𝑖𝜉𝜂𝑑𝜉, 𝑚=𝑟, 𝜃, 𝜂;

𝑢𝑙𝑘(𝑟, 𝜃, 𝜂) = 1 2𝜋

∫︁ ∞

−∞

𝑢^*_𝑙𝑘(𝑟, 𝜃, 𝜉)𝑝^*(𝜉)𝑑𝜉, 𝜎𝑙𝑚𝑘(𝑟, 𝜃, 𝜂) = 1 2𝜋

∫︁ ∞

−∞

𝜎_𝑙𝑚𝑘^* (𝑟, 𝜃, 𝜉)𝑝^*(𝜉)𝑑𝜉, (20) 𝑙=𝑟,𝜃,𝜂, 𝑚=𝑟,𝜃,𝜂, 𝑘= 1,2, . . . , 𝑁+ 1.

Здесь 𝑝^*(𝜉) =∫︀∞

−∞𝑝(𝜂)𝑒^{−𝑖𝜉𝜂}𝑑𝜂.

Для вычислений перемещений и напряжений (20) можно использовать любой численный метод интегрирования, если определители ∆_𝑛(𝜉, 𝑐) (𝑛 = 0,±1,±2, . . .), вытекающей из (9) или (10) разрешающей системы уравнений, отличны от нуля, то есть, когда скорость движения нагрузки c меньше её критических скоростей 𝑐_(𝑛)*. Значения 𝑐_(𝑛)* определяются из дисперсионных уравнений ∆_𝑛(𝜉, 𝑐) = 0 [9] и могут оказаться меньше рэлеевской скорости. Окончательное решение будет зависеть от конкретного вида движущейся нагрузки.

Заметим, что исключая из постановки задачи граничные условия (8) и исключая из (14) Φ⁽²⁾_𝑗1 , получим решение аналогичной задачи для упругого пространства.

5. Расчет напряженно-деформированного состояния стальной оболочки в породном массиве

В качестве примера рассмотрим динамическое поведение подземного однослойного стального (𝜈2 = 0,3, 𝜇2 = 8,08 · 10¹⁰Па, 𝜌2 = 7,8 · 10³кг/м³; 𝑐𝑠2 = 3218,54м/с, 𝑐𝑝2 = 6021,33м/с) трубопровода при действии движущейся в нем нагрузки. Радиус наружных поверхностей труб – 𝑅₁ = 𝑅 = 1м, внутренних – 𝑅₂ = 0,95м. Глубина заложения трубопровода в породном массиве – ℎ = 2𝑅1. Массив имеет следующие характеристики: 𝜈₁ = 0,25, 𝜇₁ =𝜇= 4,0·10⁹Па, 𝜌₁ = 2,6·10³кг/м³; 𝑐_𝑠1 = 1240,35м/с, 𝑐𝑝1 = 2148,34м/с, 𝑐𝑅 = 1140,42м/с [16]. Движущаяся в трубопроводе с докритической и дорэлеевской скоростью 𝑐 = 100м/с осесимметричная цилиндрическая нормальная нагрузка давления интенсивностью 𝑞 (Па), равномерно распределена в интервале |𝜂| ≤ 𝑙0 = 0,2𝑅. Интенсивность нагрузки подбираем таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения 2𝑙₀ равнялась эквивалентной сосредоточенной нормальной кольцевой нагрузке интенсивностью 𝑃^∘∘ (Н/м), то есть 𝑞 =𝑃^∘∘/2𝑙0.

Введем обозначения: 𝑢^∘_𝑟 = 𝑢_𝑟𝜇𝑃^∘(м), 𝜎^∘_𝜃𝜃 = 𝜎_𝜃𝜃/𝑃^∘, 𝜎_𝜂𝜂^∘ = 𝜎_𝜂𝜂/𝑃^∘, 𝑢^∘_𝑥 = 𝑢_𝑥𝜇/𝑃^∘(м), 𝑢^∘_𝑦 =𝑢_𝑦𝜇/𝑃^∘ (м), 𝜎^∘_𝑦𝑦=𝜎_𝑦𝑦/𝑃^∘, где 𝑃^∘ =𝑃^∘∘/м (Па).

Результаты расчета в поперечном сечении 𝜂 = 0 трубопровода (в координатной плоскости 𝑥𝑦) приведены в таблицах 1, 2 и на рисунках 2, 3.

В таблицах 1, 2 приведены значения компонент НДС массива при различных контактных условиях с трубопроводом.

На рисунке 2, на наружном (𝑟 = 𝑅₁) и внутреннем (𝑟 = 𝑅₂) контурах трубопровода, показаны эпюры радиальных перемещений 𝑢^∘_𝑟 и нормальных напряжений 𝜎_𝜃𝜃^∘ , 𝜎_𝜂𝜂^∘ . Кривые 1 соответствуют жёсткому контакту трубопровода с массивом, кривые 2 – скользящему контакту.