Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң
ХАБАРШЫСЫ BULLETIN
of L.N. Gumilyov Eurasian National University
ВЕСТНИК
Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева
МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР. МЕХАНИКАсериясы
MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series
СерияМАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ. МЕХАНИКА
№2(135)/2021
1995 жылдан бастап шығады Founded in 1995 Издается с 1995 года
Жылына 4 рет шығады Published 4 times a year Выходит 4 раза в год
Нұр-Сұлтан, 2021 Nur-Sultan, 2021 Нур-Султан, 2021
Бас редактордың орынбасары Жұбанышева А.Ж.
PhD, Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Бас редактордың орынбасары Наурызбаев Н.Ж.
PhD, Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Редакция алқасы
Абакумов Е.В. PhD, проф., Париж-Эст университетi, Марн-Ла-Вале, Париж, Франция Алексеева Л.А. ф.-м.ғ.д., проф., ҚР БжҒМ Математика және математикалық модельдеу
институты, Алматы, Қазақстан
Алимхан Килан PhD, проф., Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Бекжан Турдыбек PhD, проф., ҚХР Шынжан университетi, Шынжан, КНР
Бекенов М.И. ф.-м.ғ.к., доцент,Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Боранбаев С.Н. ф.-м.ғ.к., профессор, Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Гогинава У. ф.-м.ғ.д., проф., Ив. Джавахишвили Тбилиси мемлекеттiк университетi,
Тбилиси, Грузия
Голубов Б.И. ф.-м.ғ.д., проф., Мәскеу физика-техника институты (мемлекеттiк университет) Долгопрудный, Ресей
Зунг Динь ф.-м.ғ.д., проф., Информатикалық технологиялар институты, Вьетнам ұлттық университетi, Ханой, Вьетнам
Ибраев А.Г. ф.-м.ғ.д., проф., Л.Н. Гумилев ат. ЕҰУ, Нұр-Сұлтан, Қазақстан Иванов В.И. ф.-м.ғ.д., проф., Тула мемлекеттiк университетi, Тула, Ресей Иосевич А. PhD, проф., Рочестер университетi, Нью-Йорк, АҚШ
Кобельков Г.М. ф.-м.ғ.д., проф., М.В. Ломоносов атындағы Мәскеу мемлекеттiк университетi, Мәскеу, Ресей
Курина Г.А. ф.-м.ғ.д., проф., Воронеж мемлекеттiк университетi, Воронеж, Ресей Марков В.В. ф.-м.ғ.д., проф., РҒА В.А. Стеклов атындағы Мәскеу мемлекеттiк
институты, Мәскеу, Ресей
Мейрманов А.М. ф.-м.ғ.д., проф., Байланыс және информатика Мәскеу техникалық университетi, Мәскеу, Ресей
Смелянский Р.Л. ф.-м.ғ.д., проф., М.В. Ломоносов атындағы Мәскеу мемлекеттiк университетъi, Мәскеу, Ресей
Умирбаев У.У. ф.-м.ғ.д., проф., Уейна мемлекеттiк университетi, Детройт, АҚШ Холщевникова Н.Н. ф.-м.ғ.д., проф., "Станкин" Мәскеу мемлекеттiк техникалық
университетi, Мәскеу, Ресей
Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. докторы, проф., Фридрих-Шиллер университетi, Йена, Германия
Редакцияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Сәтпаев к-сi, 2, 402 бөлме.
Тел: +7 (7172) 709-500 (iшкi 31-410). E-mail: vest_math@enu.kz
Жауапты редактор: А.Ж. Жұбанышева
Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң хабаршысы.
МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРЛIК ҒЫЛЫМДАР. МЕХАНИКА сериясы Меншiктенушi: Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi.
Мерзiмдiлiгi: жылына 4 рет.
Қазақстан Республикасы Ақпарат және қоғамдық даму министрлiгiмен тiркелген. 02.02.2021 ж.
№ KZ65VPY00031936 қайта есепке қою туралы куәлiгi.
Типографияның мекенжайы: 010008, Қазақстан, Нұр-Сұлтан қ., Қажымұқан к-сi ,12/1, тел: +7 (7172)709-500 (iшкi 31-410).
c
Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi
Prof., Doctor of Phys.-Math. Sciences, L.N.Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan Deputy Editor-in-Chief Aksaule Zhubanysheva
PhD, L.N.Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan Deputy Editor-in-Chief Nurlan Nauryzbayev
PhD, L.N.Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan Editorial board:
Evgueni Abakumov PhD, Prof., University Paris-Est, Marne-la-Vallee Paris, France
Lyudmila Alexeyeva Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics and Math- ematical Modeling Ministry of Education
and Science Republic of Kazakhstan, Almaty, Kazakhstan Alexander Iosevich PhD, Prof., University of Rochester, New York, USA Alimhan Keylan PhD, Prof., L.N. Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan Bekzhan Turdybek PhD, Prof., Shenzhen University, SZU, Chinese
Makhsut Bekenov Candidate of Phys.-Math. Sci., Assoc.Prof.
L.N. Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan
Seilkhan Boranbayev Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., L.N. Gumilyov ENU, Nur-Sultan, Kazakhstan
Ushangi Goginava Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof.
Iv. Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia
Boris Golubov Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
Dolgoprudnyi, Russia
D˜ung Dinh Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Information Technology Institute, Vietnam National University, Hanoi, Vietnam
Askar Ibrayev Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., L.N. Gumilyov ENU Nur-Sultan, Kazakhstan
Valerii Ivanov Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, Russia Georgii Kobel’kov Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University,
Moscow, Russia
Galina Kurina Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Voronezh State University, Voronezh, Russia
Vladimir Markov Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
Anvarbek Meirmanov Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow Technical University of Com- munications and Informatics, Moscow, Russia
Ruslan Smelyansky Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia
Ualbay Umirbaev Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Wayne State University,Detroit, USA
Natalya Kholshchevnikova Doctor of Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow State Technological University "Stankin", Moscow, Russia Hans-Juergen Schmeisser Dr. habil., Prof., Friedrich-Shiller University
Jena, Germany
Editorial address:2, Satpayev str., of. 402, Nur-Sultan, Kazakhstan, 010008.
Теl.: +7 (7172) 709-500 (ext. 31-410). E-mail: vest_math@enu.kz Responsible Editor-in-Chief: Aksaule Zhubanysheva Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University.
MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series Owner: L.N. Gumilyov Eurasian National University. Periodicity: 4 times a year.
Registered by the Ministry of Information and Social Development of the Republic of Kazakhstan. Rediscount certificate
№ KZ65VPY00031936 dated 02.02.2021.
Address of printing house: 12/1 Kazhimukan str., Nur-Sultan, Kazakhstan 010008; tel: +7 (7172) 709-500 (ext.31-410).
c
L.N. Gumilyov Eurasian National University
Зам. главного редактора Жубанышева А.Ж.
PhD, ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан, Казахстан Зам. главного редактора Наурызбаев Н.Ж.
PhD, ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан, Казахстан Редакционная коллегия
Абакумов Е.В. PhD, проф., Университет Париж-Эст, Марн-Ла-Вале, Париж, Франция
Алексеева Л.А. д.ф.-м.н., проф., Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы, Казахстан
Алимхан Килан PhD, проф., ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан, Казахстан Бекжан Турдыбек PhD, проф., Шынжанский университет КНР, Шынжан, КНР Бекенов М.И к.ф.-м.н., доцент, ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан,
Казахстан
Боранбаев С.Н. д.ф.-м.н., профессор, ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан, Казахстан
Гогинава У. д.ф.-м.н., проф., Тбилисский государственный университет имени Ив. Джавахишвили, Тбилиси, Грузия
Голубов Б.И. д.ф.-м.н., проф., Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный, Россия
Зунг Динь д.ф.-м.н., проф., Институт информационных технологий, Вьетнамский национальный университет, Ханой, Вьетнам Ибраев А.Г. д.ф.-м.н., проф., ЕНУ имени Л.Н.Гумилева, Нур-Султан,
Казахстан
Иванов В.И. д.ф.-м.н., проф., Тульский государственный университет, Тула, Россия
Иосевич А. PhD, проф., Рочестерский университет, Нью-Йорк, США Кобельков Г.М. д.ф.-м.н., проф., МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия Курина Г.А. д.ф.-м.н., проф., Воронежский государственный университет,
Воронеж, Россия
Марков В.В. д.ф.-м.н., проф., Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия
Мейрманов А.М. д.ф.-м.н., проф., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия
Смелянский Р.Л. д.ф.-м.н., проф., МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия Умирбаев У.У. д.ф.-м.н., проф., Государственный университет Уейна, Детройт,
США
Холщевникова Н.Н. д.ф.-м.н., проф., Московский государственный технологический университет "Станкин", Москва, Россия
Шмайссер Ханс-Юрген Хабилит. доктор, проф., Университет Фридрих-Шиллера, Йена, Германия
Адрес редакции: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан, ул. Сатпаева, 2, каб. 402 Тел: +7 (7172) 709-500 (вн. 31-410). E-mail: vest_math@enu.kz
Ответственный редактор: А.Ж. Жубанышева
Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.
Серия МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ. МЕХАНИКА Собственник: Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева.
Периодичность: 4 раза в год.
Зарегистрировано Министерством информации и общественного развития Республики Казахстан.
Свидетельство о постановке на переучет № KZ65VPY00031936 от 02.02.2021 г.
Адрес типографии: 010008, Казахстан, г. Нур-Султан, ул. Кажымукана, 12/1, тел.: +7 (7172)709-500 (вн.31-410).
c
Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева
Bulletin of L.N. Gumilyov Eurasian National University.
Mathematics. Computer science. Mechanics series, №2(135)/2021 Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева.
Серия Математика. Компьютерные науки. Механика, №2(135)/2021 МАЗМҰНЫ
CONTENTS СОДЕРЖАНИЕ
Тепнадзе Т. Бiр өлшемдi Виленкин-Фурье қатарының терiс реттi Чез`aро орташалары
Tepnadze T. Ces`aro means of negative order of the one-dimensional Vilenkin-Fourier series
Т. Тепнадзе Средние Чез`аро отрицательного порядка одномерного ряда Виленкина- Фурье
6
Темiрғалиев Н. «Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң Теориялық математика және ғылыми есептеулер институты 2019 жылы» ғылыми, ғылыми-әдiстемелiк және ұйымдастырушылық есебi (III бөлiм)
Temirgaliyev N. Scientific, scientific-methodological and organizational report “The In- stitute of theoretical mathematics and scientific computing (ITMandSC) L.N.Gumilyov Eurasian National University in 2019 year (Part III)”
Темиргалиев Н. Научный, научно-методический и организационный отчет
«Институт теоретической математики и научных вычислений (ИТМиНВ) Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева в 2019 году (Часть III)»
12
Есенғалиев А.Г., Тапашев А.Д. Мұнай құбырының техникалық жағдайын диагностикалаудың математикалық негiздемесi
Yessengaliyev A.G., Tapashev A.D. Mathematical substantiation of diagnostics of the technical condition of the oil pipeline
Есенгалиев А.Г., Тапашев А.Д. Математическое обоснование диагностики технического состояния нефтепровода
64
5
http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz IRSTI:27.25.17
T. Tepnadze
The Artic University of Norway, Narvik, Norway.a (E-mail: tsitsinotepnadze@gmail.com)
Ces`aro means of negative order of the one-dimensional Vilenkin-Fourier series Abstract: In [1] has been proved some inequalities related to the approximation properties of Ces`aro means of negative order of the one-dimensional Vilenkin-Fourier series. These inequalities allow one to obtain a sufficient condition for the convergence of Ces`aro means of Vilenkin- Fourier series in the Lp−metric in the term of modulus of continuity. In this paper, we will prove the sharpness of these conditions, in particular we find a continuous function under some condition of modulo of continuity, for which Ces`aro means of Vilenkin-Fourier series diverge in the Lp−metric.
Keywords: Inequalities, Approximation, Vilenkin system, Vilenkin-Fourier series, Ces`aro means, Convergence in norm.
DOI: https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2021/2.1 2000 Mathematics Subject Classification: 42C10, 42B25.
1. Introduction
Let N+ denote the set of positive integers, N :=N+∪ {0}. Let m:= (m0, m1, ...) denote a sequence of positive integers not less then 2. Denote by Zmk :={0,1, ..., mk−1} the additive group of integers modulo mk. Define the group Gm as the complete direct product of the groups Zmj, with the product of the discrete topologies of Zmj’s.
The direct product of the measures
µk({j}) := 1 mk
(j ∈Zmk)
is the Haar measure on Gm with µ(Gm) = 1. If the sequence m is bounded, then Gm is called a bounded Vilenkin group. In this paper we will consider only bounded Vilenkin groups.
The elements of Gm can be represented by sequences x:= (x0, x1, ..., xj, ...), xj ∈Zmj . The group operation + in Gm is given by
x+y= ((x0+y0)mod m0, ...,(xk+yk)mod mk, ...),
where x := (x0, ..., xk, ...) and y:= (y0, ..., yk, ...)∈Gm. The inverse of + will be denoted by
−. For every x∈Gm we denote |x|:=
∞
P
j=0 xj
Mj+1, xj ∈Zmj . It is easy to give a base for the neighborhoods of Gm:
I0(x) :=Gm,
In(x) :={y∈Gm|y0 =x0, ..., yn−1 =xn−1} for x ∈ Gm, n ∈ N. Define In:=In(0) for n∈N+.
6
If we define the so-called generalized number system based on m in the following way: M0 :=
1, Mk+1 :=mkMk (k∈N), then every n ∈ N can be uniquely expressed as n=
∞
P
j=0
njMj, where nj ∈ Zmj (j∈N+) and only a finite number of nj’s differ from zero. We also use the following notation: |n|:=max{k∈N :nk6= 0} (that is , M|n|≤n < M|n|+1).
Next, we introduce Gm on an orthonormal system, which is called Vilenkin system. At first define the complex valued functions rk(x) :Gm → C, the generalized Rademacher functions, in this way:
rk(x) := exp2πixk
mk i2=−1, x∈Gm, k ∈ N . Now we define the Vilenkin system ψ:= (ψn:n∈N) on Gm as follows:
ψn(x) :=
∞
Y
k=0
rknk(x), (n N). In particular, we call the system the Walsh-Paley system if m= 2.
The Vilenkin system is orthonormal and complete in L1(Gm) ( see [2]).
Now, introduce analogues of the usual definitions of the Fourier analysis. If f ∈ L1(Gm) we can establish the following definitions in the usual way:
Fourier coefficients:
fb(k) :=
Z
Gm
f ψkdµ, (k ∈N), partial sums:
Snf :=
n−1
X
k=0
fb(k)ψk, (n ∈ N+ , S0f := 0), Dirichlet kernels:
Dn:=
n−1
X
k=0
ψk, (n ∈N+). The (C,−α) means of the Vilenkin-Fourier series are defined as
σ−αn (f, x) = 1 A−αn
n
X
k=0
A−αn−kfb(k)ψk(x), where
Aα0 = 1, Aαn= (α+ 1)...(α+n)
n! .
It is well Known that [3]
Aαn =
n
X
k=0
Aα−1k . Aαn−Aαn−1=Aα−1n .
Aαn∼nα. The norm of the space Lp(Gm) is defined by
kfkp :=
Z
Gm
|f(x)|pdµ(x)
1/p
, (1≤p <∞).
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 135, №2
Denote by C(Gm) the class of continuous functions on the group Gm, endoved with the supremum norm.
For the sake of brevity in notation, we agree to write L∞(Gm) instead of C(Gm). Let f ∈Lp(Gm),1≤p≤ ∞. The expression
ω 1
Mn
, f
p
= sup
h∈In
kf(· −h)−f(·)kp is called the modulus of continuity.
The problems of summability of partial sums and Ces`aro means for Walsh-Fourier series were studied in [4], [5]- [12], [13]. In his monography [14] Zhizhinashvili investigated the behavior of Ces`aro method of negative order for trigonometric Fourier series in detail. Goginava [5] studied analogical question in case fo the Walsh system. The analogous results in the case of the Vilenkin-Fourier series have been studied in [1]. In particular, the following was proved:
Theorem T. [1] Let f belong to Lp(Gm) for some p ∈ [1,∞] and α ∈ (0,1). Then for any Mk≤n < Mk+1 (k, n∈N) the inequality
σn−α(f)−f
p ≤c(p, α) (
Mkαω(1/Mk−1, f)p+
k−2
X
r=0
Mr
Mkω(1/Mr, f)p )
holds true.
This result allows one to obtain the condition which is sufficient for the convergence of the means σn−α(f, x) to f(x) in the Lp−metric.
Corollary 1. [1] Let f belong to Lp(Gm) for some p ∈ [1,∞] and let α∈(0,1). If ω
f, 1
Mk−1
p
=o 1
Mkα
, then
σn−α(f)−f
p→0 as n→ ∞.
In this paper, we are going to prove the sharpness of Corollary 1. In particular, the following Theorem holds:
Theorem 1. For every α∈(0,1), there exists a function f ∈C(Gm) for which ω
f, 1
Mk−1
C
=O 1
Mkα
, and
lim sup
k→∞
σM−α
k(f)−f 1 >0.
Since for a continuous function we have proved divergence in the space L1, we can conclude the following corollary:
Corollary 2. For every α ∈(0,1), there exists a function f ∈C(Gm), for which ω
f, 1
Mk−1
p
=O 1
Mkα
, and
lim sup
k→∞
σ−αM
k(f)−f
p>0, for some p∈[1,∞].
2. Proofs of the main results Proof of Theorem 1.
We define the function
f(x) =
∞
X
j=1
1
Mjαfj(x), where
fj(x) =ρj(x) = exp2πixj mj
. First, we prove that
ω
f, 1 Mn
C
=O 1
Mnα
. (1)
Since
|fj(x−t)−fj(x)|= 0, j= 0,1, ..., n−1, t∈In
we get
|f(x−t)−f(x)| ≤
n−1
X
j=1
1
Mjα|fj(x−t)−fj(x)|
+
∞
X
j=n
2
Mjα ≤ c Mnα. After we showed that 1 holds, next, we shall prove that σM−α
k(f) diverges in the L1 metric. It is clear that
σM−α
k(f)−f 1 ≥
Z
Gm
h σ−αM
k(f, x)−f(x)i
ψMk(x)dµ(x)
(2)
≥ Z
Gm
σM−α
k(f, x)ψMk(x)dµ(x)
− fb(Mk)
=
1 A−αM
k
Mk
X
i=0
A−αM
k−ifb(i) Z
Gm
ψi(x)ψMk(x)dµ(x)
− fb(Mk)
= 1
A−αM
k
fb(Mk)
−
fb(Mk)
. We have
fb(Mk) = Z
Gm
f(x) ¯ψMk(x)dµ(x)
=
∞
X
j=1
1 Mjα
Z
Gm
ρj(x) ¯ψMk(x)dµ(x) = 1 Mkα. So, we can write
σM−α
k(f)−f
1 ≥c(α). (3) Theorem 1 is proved.
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 135, №2
3. Conclusion
Theorem 1 gives the Lp norm estimation of the difference between Ces`aro means of negative order of the one-dimensional Vilenkin-Fourier Series and functions from Lp. This inequality allows one to obtain a sufficient condition for the convergence of the Ces`aro means to f(x) in the Lp−metric, as discussed in Corollary 1. In this paper we proved the sharpness of Corollary 1. In particular, for a continuous function, we showed divergence in the space L1, from which follows divergence in the space Lp, with p ∈ [1,∞].
References
1 Tepnadze T. On the approximation properties of Ces ˜A ro means of negative order of Vilenkin-Fourier series // Studia Sci. Math. Hung. –2016. –Vol.53, №4. –P.532-544.
2 Agaev G.N., Vilenkin N.Ya., Dzhafarli G.M., and Rubinshtejn A.I. Multiplicative systems of functions and harmonic analysis on zero-dimensional groups. –Baku: Ehlm, 1981 [in Russian].
3 Zygmund A. Trigonometric series. Vo1.1. –Cambridge: Cambridge University Press, 1959.
4 Fine N.J. Ces`aro summability of Walsh-Fourier series // Proc. Nat.Acad. Sci. U.S.A. –1995. –Vol. 41. –P.
558-591.
5 Goginava U. On the approximation properties of Ces`aro means of negative order of Walsh-Fourier series //
J. Approx. Theory. –2002. –Vol.115, №1. –P.9-20.
6 Goginava U. Uniform convergence of Ces`aro means of negative order of double Walsh-Fourier series // J.
Approx. Theory 2003. –Vol.124, №1. –P 96-108.
7 Goginava U., Nagy K. On the maximal operator of Walsh-Kaczmarz-Fej´er means // Czechoslovak Math. J.
–2011. –Vol. 61(136), №3. –P. 673-686.
8 G´at G., Goginava U. A weak type inequality for the maximal operator of (C, α)-means of Fourier series with respect to the Walsh-Kaczmarz system // Acta Math. Hungar. –2009. –Vol. 125, №1-2. –P. 65-83.
9 G´at G. and Nagy K., Ces`aro summability of the character system of the p-series field in the Kaczmarz rearrangement // Anal. Math. –2002. –Vol. 28, №1. –P. 1-23.
10 Nagy K. Approximation by Ces`aro means of negative order of Walsh-Kaczmarz-Fourier series // East J.
Approx. –2010. –Vol.16, №3. –P. 297-311.
11 Simon P., Weisz F. Weak inequalities for Ces`aro and Riesz summability of Walsh-Fourier series // J. Approx.
Theory. –2008. –Vol. 151, №1. –P. 1-19.
12 F. Schipp, ¨Uber gewisse Maximaloperatoren // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. –1975. –Vol. 18. –P.
189-195.
13 Tevzadze V. I. Uniform (C,−α) summability of Fourier series with respect to the Walsh-Paley system //
Acta Math. Acad. Paedagog. Nyh´azi. (N.S.). –2006. –Vol. 22№1ю –P. 41–61 (electronic).
14 Zhizhiashvili L.V. Trigonometric Fourier series and their conjugates. Tbilisi, 1993 (Russian); English transl.:
Kluwer Acad. publ, 1996.
15 Golubov B. I., Efimov A.V., and Skvortsov V.A. Series and transformation of Walsh. Moscow: Nauka, 1987 [In Russian]; English translation, Kluwer Academic, Dordrecht, 1991.
16 Goginava U. On the uniform convergence of Walsh-Fourier series // Acta Math. Hungar. –2001. –Vol. 93,
№1-2. –P. 59-70.
17 Schipp F., Wade W.R., Simon P. and P´al J., Walsh Series, Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. Hilger, Bristol, 1990.
Т. Тепнадзе
Норвегия Арктикалық университетi, Нарвик, Норвегия
Бiр өлшемдi Виленкин-Фурье қатарының терiс реттi Чез`aро орташалары
Аннотация: [1]-де бiр өлшемдi Виленкин-Фурье қатарларының терiс реттi Чез`apo орташаларының жуықтау қасиеттерiмен байланысты кейбiр теңсiздiктер дәлелденген. Бұл теңсiздiктер Lp - метрикасында үзiлiссiздiк модульдерi терминдерiнде Виленкин - Фурье қатарының Чез`aро орташаларының жинақталуының жеткiлiктi шартын алуға мүмкiндiк бередi. Бұл мақалада бiз осы шарттың дәл екенiн көрсетемiз, дербес жағдайда Виленкин-Фурье қатарының Чезаро орталары Lp метрикасында жинақталмайтындай үзiлiссiздiк модулi белгiлi бiр шарттарды қанағаттандыратын үзiлiссiз функция құрылады.
Түйiн сөздер:Теңсiздiктер, жуықтау, Виленкин жүйесi, Виленкин-Фурье қатары, Чез`apo орташаалары , норма бойынша жинақтылық.
Т. Тепнадзе
Арктический университет Норвегии, Нарвик, Норвегия
Средние Чез`аро отрицательного порядка одномерного ряда Виленкина-Фурье
Аннотация: В [1] доказаны некоторые неравенства, связанные с аппроксимационными свойствами средних Чез`aрo с отрицательным порядком одномерных рядов Виленкина-Фурье. Эти неравенства позволяют получить достаточное условие сходимости средних Чез`aрo рядов Виленкина – Фурье в Lp-метрике в терминах модуля
непрерывности. В данной статье мы докажем точность этого условия, в частности найдена непрерывная функция с некоторыми условия на ее модуль непрерывности, для которой средние Чезаро рядов Виленкина-Фурье расходятся в метрике Lp.
Ключевые слова: Неравенства, аппроксимация, система Виленкина, ряд Виленкина-Фурье, средние Чез`aрo, сходимость по норме.
References
1 Tepnadze T. On the approximation properties of Ces ˜A ro means of negative order of Vilenkin-Fourier series.
Studia Sci. Math. Hung. 53(4), 532-544 (2016).
2 Agaev G.N., Vilenkin N.Ya., Dzhafarli G.M., and Rubinshtejn A.I. Multiplicative systems of functions and harmonic analysis on zero-dimensional groups (Baku, Ehlm, 1981) [in Russian].
3 Zygmund A. Trigonometric series. Vo1.1. (Cambridge, Cambridge University Press, 1959).
4 Fine N.J. Ces`aro summability of Walsh-Fourier series. Proc. Nat.Acad. Sci. U.S.A. 41, 558-591 (1995).
5 Goginava U. On the approximation properties of Ces`aro means of negative order of Walsh-Fourier series. J.
Approx. Theory. 115(1), 9-20 (2002).
6 Goginava U. Uniform convergence of Ces`aro means of negative order of double Walsh-Fourier series. J. Approx.
Theory. 124(1), 96-108 (2003).
7 Goginava U., Nagy K. On the maximal operator of Walsh-Kaczmarz-Fej´er means. Czechoslovak Math. J.
61(136), 3, 673-686 (2011).
8 G´at G., Goginava U. A weak type inequality for the maximal operator of (C, α)-means of Fourier series with respect to the Walsh-Kaczmarz system. Acta Math. Hungar. 125(1-2), 65-83 (2009).
9 G´at G. and Nagy K., Ces`aro summability of the character system of the p-series field in the Kaczmarz re- arrangement. Anal. Math. 28(1), 1-23 (2002).
10 Nagy K. Approximation by Ces`aro means of negative order of Walsh-Kaczmarz-Fourier series. East J. Approx.
16(3), 297-311 (2010).
11 Simon P., Weisz F. Weak inequalities for Ces`aro and Riesz summability of Walsh-Fourier series. J. Approx.
Theory. 151(1), 1-19 (2008).
12 F. Schipp, ¨Uber gewisse Maximaloperatoren. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 18, 189-195 (1975).
13 Tevzadze V. I. Uniform (C,−α) summability of Fourier series with respect to the Walsh-Paley system. Acta Math. Acad. Paedagog. Nyh´azi. (N.S.). 22(1), 41–61 (2006) (electronic).
14 Zhizhiashvili L.V. Trigonometric Fourier series and their conjugates. (Tbilisi, 1993 [in Russian], English transl.:
Kluwer Acad. publ, 1996).
15 Golubov B. I., Efimov A.V., and Skvortsov V.A. Series and transformation of Walsh. (Moscow, Nauka, 1987 [In Russian], English translation, Kluwer Academic, Dordrecht, 1991).
16 Goginava U. On the uniform convergence of Walsh-Fourier series. Acta Math. Hungar. 93(1-2), 59-70 (2001).
17 Schipp F., Wade W.R., Simon P. and P´al J., Walsh Series, Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. (Hilger, Bristol, 1990).
Information about author:
Tepnadze T.– PhD student at the Faculty of Science and Technology, Department of Computer Science and Compu- tational Engineering, The Artic University of Norway, Campus Narvik, P.O. Box 385, N-8505, Narvik, Norway.a
Tepnadze T. – Ғылым және технология факультетiнiң PhD студентi, Компьютерлiк ғылымдар және Есептеу инженерия департаментi, Норвегия Арктикалық университетi, Narvik кампусы, P.O. Box 385, N-8505, Нарвик, Норвегия.
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 135, №2
http://bulmathmc.enu.kz, E-mail: vest_math@enu.kz МРНТИ:27.23; 24.01.45; 27.01.33
Н. Темiрғалиев
Теориялық математика және ғылыми есептеулер институты, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетi, Нұр-Сұлтан, Қазақстан
(E-mail: ntmath10@mail.ru)
«Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетiнiң Теориялық математика және ғылыми есептеулер институты 2019 жылы» ғылыми,
ғылыми-әдiстемелiк және ұйымдастырушылық есебi (III бөлiм)
Аннотация: Мақалада Синопсис-Мазмұн түрiндегi "Математикалық анализ"
оқулығының мазмұны берiлген. Дәл айтқанда, әр пункт пен параграф бiр жағынан тақырыптың мәнi мен ондағы идеяларды дамыту тұрғысынан егжей-тегжейлi баяндалып берiлсе, екiншi жағынан, мүмкiндiгiнше қысқа және мәлiметтi түрде келтiрiлген.
Оқулықтың Синопсис-Мазмұны оқырманның түйсiк деңгейiнде сақталуы керек қалдық бiлiмдi құрайды.
Түйiн сөздер: Математикалық анализ, Синопсис-Мазмұн, математикалық құрылым түрлерi, математикалық дәлелдеу мәдениетi, математикалық жетiлу.
DOI: https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2021/2.2 2000 Mathematics Subject Classification: 97E10; 97-02.
§8. «Математикалық анализ» (өңделген және толықтырылған екiншi басылым) оқулығының Синопсис түрiндегi мазмұны.
Математикалық анализ оқулығының алғашқы басылымы 3 томға бөлiнiп 1120 бет құраса [1-3], екiншi басылымының жалпы көлемi 1900 беттен асып жығылады [4]. Бұл оқулық үш авторлық оқулықтан тұратын А бағдарламасы атты "Теориялық математка және ғылыми есептеулер институтының (ТМжҒЕИ) жеткiлiктi бiлiмдi математикалық ортасыз-ақ
"математиканы түсiну" аясындағы жоғары бiлiктi мамандарды дайындауды қамтамасыз ететiн Қазақстан студенттерi мен жас оқытушыларына арналған тiкелей қолданудағы оқулықтар кешенi"-нiң алғашқысы. Мұндағы мақсат үзiлiссiз математиканың алғашқы ұғымдары негiзiнде тереңiнен түсiндiру.
Бiрiншiден, әдетте әртүрлi себептермен айтылмаған жайттарды ғылыми орта толтыратын болады деп қабылданса, мұнда бұл қағида орындалмайды деп есептеледi.
Екiншiден, байқауымша, тiптi математиканың мектеп оқулығының бастауыш сыныптарынан бастап авторлардың өздерi талай күшпен игерген математиканың алғашқы ұстамдарын бiлiп пе, бiлмей ме, әйтеуiр түсiндiрмей қолдана бередi де, сонымен оқулық мәтiнiн түсiнуге көптеген кедергi тудырады.
Оқулық 21 тарауға 156 параграфқа 887 пунктке бөлiнген. Әдетте, қазiрге дейiнгi оқулықтарда пункт пен параграф атаулары өте қысқа, жинақы, бiрақ көбiне тиiстi мәлiметсiз. Бұл оқулықтың ерекшелiгi пунктер мен параграфтардың мазмұны, әдiстемесi мен өзiндiк ерекшелiктерi жинақы ашылып, синопсис атты түрде берiлген. Мұндағы ой оқулықты игеру үстiнде пункттiң синопсис аталуынан-ақ тақырып не туралы, қандай әдiстемемен ашылған, ненi бiлу және ойда сақтау керектiгi туралы бастапқы мәлiмет беру. Сонан соң, пунктегi тексте синопсис мәлiметi кеңiнен баяндалады. Осындай пункт- пунктпен өрнектелген мәлiмет түсiнуге көп жеңiлдiк әкеледi деген ойдамыз.
Математикалық анализ пәнi негiзгi ұғымдарға, оларды дәл анықтамалар түрiнде енгiзуге, ұғымдар тiлiнде әртүрлi өзектi мәселелердi қоюға, сол қойылған мәселелердiң
12
жауап-шешiмдерiн теорема түрiнде беруге, математика затын құрайтын дәлелдемелер, дәлелдеу мәдениетiне үйрету туралы математика әлемiне кiрiспе болып табылады.
Әрине кiмге болса да ойында 1900 бетiк бiр-бiрiмен логикалық байланыс пен дамуда ұйқастырылған бiртұтыс мәтiндi ойда сақтау қиын да, тiптi қажет те емес.
Математикалық анализ пәнiнiң негiзгi мақсаты - математикалық жетiлу мен керегiнде ой түбiнен шығатын, негiзгi ұғымдар мен сол ұғымдар арасындағы байланыстар туралы қалдық бiлiм атты жеткiлiктi бiлiмнiң болуы.
Мына синопсис түрiндегi математикалық анализ мазмұнының өрнектелуiн сол дәл қалдық бiлiмнiң жүйелi тiзбесi деп түсiнуге болады.
Бiз бiлуiмiзше, бұрын-соңды математикалық әдебиетте кездеспеген, параграф пен пункт аттары синопсис түрiнде осы оқулықта алғаш рет берiлген. Негiзгi анықтамалар мазмұнымен қойылған мәселелер бiр жағынан қысқа, екiншi жағынан мәлiметтi түрде баяндалған.
Қорытындылап айтқанда, математикалық анализ оқулығы мазмұнының осы уақытқа дейiн әдебиетте кездеспеген синопсис түрiндегi бұл берiлуi мектеп оқушылары мен мұғалiмдерiне, жоғарғы оқу орындарының ұстаздарына, студенттерге, жас оқытушыларға, ғылыми жұмыстарында математика құралдарын пайдаланушы кең қауымға пайдалы болады деген үмiттемiз.
БIРIНШI ТОМ
I ТАРАУ. МАТЕМАТИКАНЫҢ ЛОГИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫСЫ МЕН ТЕРМИНДЕР СӨЗДIГI. САНДАРДЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ-АЛГЕБРАЛЫҚ
ЖӘНЕ САЛДАРЫМЕН БIРГЕ АКСИОМАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМЫ НЕГIЗIНДЕГI МАТЕМАТИКАЛЫҚ ДӘЛЕЛДЕУ МӘДЕНИЕТI
§1. Математика құрылымының жалпы түсiнiктерi және оны суреттейтiн өзiндiк тiлiнiң жан-жақты талқылаулары
1. Өзара бөлек заттарды (нәрселердi) бiрiктiрiп, бүтiн бiр заттай (нәрседей) қарастырғандағы жаңа зат (нәрсе) жиын, ал оның құрамындағы заттардың (нәрселердiң) әрқайсысы сол жиынның элементi және солардың iшiнде сандық жиын атты элементтерi тек қана нақты сандар болатын математикалық анализ пәнiндегi ерекше жиын
2. Жиын анықталмайтын алғашқы ұғым ретiнде – математиканың ғылым ретiндегi ұғымдық аппаратында жетекшi идеялар тек алдыңғыларына сүйенетiн анықтамалар түрiнде қабылданады, әрине, осы тiзбеде жиын деп аталатын ең алғашқысының бар болуы 3. Математикалық таңбалар мен шартты белгiлер – таңбалау жалпы өнер, не белгiлеу өнерi ғажайып құрал десе де болады, өйткенi ол елес қызметiн өзiне алады да ой жұмысын үдетедi. Белгiлеулер жаңалықтар ашу үшiн ыңғайлы болуы керек. Бұл көбiнесе белгiлеулер тереңде жатқан дүние құпияларын қысқа түрде бейнелегенде болады. Сонда ой-iзденiс қызметi таңғаларлық түрде қысқарады (Готфрид Лейбниц)
4. Символдық белгiлеулер (символдар) және солар арқылы математикалық сөйлемдердiң жазылуы – математикада ғасырлар бойы дами отырып қалыптасқан, символ деп аталатын арнайы құрылыстағы шартты белгiлеулер арқылы тiлдегi сөздерден сөйлем құрағандай толық математикалық сөйлемдердiң символдық жазылулары
5. Квантор деп жиi кездесетiн сөз бен сөйлемшелердiң (сөз тiркестерiнiң) символдармен белгiлеулерi аталады – үлгi ретiнде қарама-қарсы мағынадағы кез келген мен табылады сөздерi сәйкес ∀ (ағылшын тiлiндегi All сөзiнiң бiрiншi әрпiнiң төңкерiлiп жазылуы) және
∃(ағылшын тiлiндегi Exist сөзiнiң бiрiншi әрпiнiң керi бағытта жазылуы) кванторларымен белгiленуi
6. Индекстермен жабдықталған әрiптердi пайдалану қажеттiлiгi – математикада белгiлеулердi қажет ететiн объектiлер саны шексiз көп, ал белгiлеудiң негiзгi құралы болатын латын және грек, сиректеу готикалық алфавиттердегi әрiптердiң жалпы саны жүзден аспауында
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 135, №2
7. Математикалық мағынада қолданылатын кей сөздердiң түпнұсқасы – белгi, қасиет, ұғым не түсiнiк, өрнек, формула, тұжырым, шама тәрiздi сөздердiң лексикалық мағынасынан ерекшелендiретiн математикалық кәсiби түсiндiрмесi
8. «Анықтама» және оның математикадағы өзiндiк ерекше орны – сөз деген белгi, ал ол ненi белгiлеп тұрғаны түсiндiрме сөздiкте берiлгенiндей математикадағы негiзгi қасиеттердiң қабылданатын, бiрақ ешқашан да дәлелденбейтiн анықтама арқылы ерекшеленуi, аталуы, белгiленуi
9. Анықтаманың символдық жазылуы – сөзбен айтылған анықтаманы математикада дәл түсiну мен барлық мазмұнын аша және қажеттi белгiлеулердi енгiзе отырып, нәтижелi қолдануды қамтамасыз ететiн бiрмәндi түрде жазылуы
10. Теңдiк таңбасының әртүрлi мағыналары – тепе-теңдiк, орындалатын не орындалмайтын тұжырым ретiнде, теңдеудi анықтайтын шартты теңдiк, анықтама ретiнде, жаңа символды енгiзу қызметiнде
11. Теорема және оған керi теорема – шарт деп аталатын қасиеттен қорытынды деп аталатын қасиет шығатын құрылымдағы, қойылған сұраққа жауап беретiн тұжырым және де ондағы шарт пен қорытындының орнын ауыстырғанда орындалатын теорема
12. «Үшiншi мүмкiншiлiк ешқашан да қарастырылмайды» заңы мен соның негiзiндегi
«керi жору» атты дәлелдеу әдiсi – әрқашанда тұжырымы мен A¯ арқылы белгiленетiн оған қарама-қарсы тұжырымның бiреуi және солардың тек қана бiреуi орындалауы деп қабылданған логикалық қағида және оның негiзiнде дәлелдеу керек қорытындыға қарама- қарсы тұжырым орындалады деп ұйғарудан теорема шартына немесе бұрын дәлелденген тұжырымға қайшы келу арқылы дәлелдеу әдiстемесi
13. A ⇒ B ⇔ B¯ ⇒ A¯ теоремасы – шарт деп аталатын қасиеттен қорытынды деп аталатын қасиеттiң шығуы мен қорытындының орындалмауынан шарттың орындалмауының шығуының пара-парлығы
14. Әр теореманың «Қажеттi» және «Жеткiлiктi» сөздерiнiң әрқайсысы арқылы оқылуы - A ⇒ B теоремасының «B орындалуы үшiн A тұжырымының орындалуының жеткiлiктiлiгi» мен «A тұжырымының орындалуы үшiн B тұжырымының орындалуының қажеттiлiгi» түрiндегi өзара пара-пар екi оқылуы және де оқылудағы «жеткiлiктi» деген сөздiң әдеттегi мағынасына сәйкес болып, талқылауды қажет етпеуi мен «қажеттi» деген сөздiң A⇒B ⇔B ⇒A теоремасының тiкелей салдары болуы
15. «Критерий» атты теорема – тура және керi теоремалардың бiр уақытта орындалуы және де оның құндылығының шарттарының бiрiнен-бiрi алыс болуымен теорема тақырыбы болатын анықтаманың басқаша оқылуы болатын техникалық түрден ары қарай өсе беруi
16. Математикалық сөйлемнiң жазылу түрлерi – тек қана тiлдiк сөзбен, тек қана символдық түрде және сол екеуiнiң аралас түрiнде жазылуы
17. Қарама-қарсы (керi) тұжырымдау ережесi – тұжырымды символдық түрде жазып, шарттағы сөйлемшелердi өзгертпей, бiрақ ∀ және ∃ кванторларын өзара ауыстырып, қорытынды тұжырымды оған қарама-қарсы тұжырымға ауыстыру
18. Керi анықтама – қарама-қарсы тұжырым құру ережесi арқылы алынады да, жалпы қолданыста тiкелей анықтамамен қатар жүрiп, математиканың негiзгi түйiндерi жүйеленген анықтаманың өзiн толық және терең түсiнудi қамтамасыз етедi
19. Анықтаманың «атынан затына» және «затынан атына» бағыттарда қолданылуы – математикада орындалды деп қабылданған ұғымның аты аталғанда затындағы қасиеттерiнiң қолданысқа түсуi мен керiсiнше, атын дәлелдеу керек болған жағдайда затының әрбiр қадамының орындалуын қамтамасыз етiп, мазмұнынан атына көшу
20. Математикалық бiлiм алу кезеңiнде саналы түсiнуге жол салатын формалды және интуитивтi екi құраушы – анықтама керi анықтамамен бiрге, теорема қатаң түрде оқулықты толық оқу арқылы формалды игерiледi де, артынша сезiм деңгейiнде түпсанаға ұялайды
21. Математикалық ұғымдар мен терминдердiң атауында ұлт тiлiнiң жалпы мағыналы сөздердi қолданудың оң және терiс жақтары, оқулықтарда кездесетiн «тiрi» тiлден алынған терминдердiң әртүрлi тiлдiк ықпалдары – «үзiлiссiздiк» ұғымы бiрмәндi математикадағы мағынаны берсе, «тiзбек» сөзi математикадағы ұғымның кескiнiн бiр қарағанда дұрыс
бергендей болғанымен, бiрiнен кейiн бiрi тiзбектейдi мағынасында дұрыс функция ұғымынан ауытқып кетедi, ал ендi «ақырсыз аз шама», «мейiлiнше кiшкене оң ε саны»,
«ақырсыз қосынды», «айқындалмаған функция» сияқты сөз тiркестерi мүлдем басқа мағынаға бұрады
4. Жиын элементтерiнiң нүкте деп те аталу себептерi
§2. Жиын берiлулерi мен белгiлеулерi және де оларға қолданылатын амалдар 1. Жиын құру әдiстемелерi – қайсiбiр қасиет не қасиеттердi қанағаттандыратын барлық нәрселердi (заттарды) бөлiп алу мен берiлген жиындарға амалдар қолдану арқылы
2. Жиын берiлген қасиеттi элементтердiң жинағы ретiнде және сол пайда болған жиынның, оны құрайтын элементтер мен элементтердi анықтайтын қасиеттердiң символдық белгiлеулерi
3. Жиындарға қолданылатын амалдар – жиындардың бiрiгуi, қиылысуы, айырымы амалдарын сәйкес логиканың «кемiнде бiрiнде – не», «әрқайсысында – және», «бiрiншiсiнде жатып, екiншiсiнде жатпаса» тәртiптерi арқылы анықталуы
§3. Функция анықтамасы мен оның талқылаулары
1. Функцияның жалпы анықтамасы – анықталу және мәндер қабылданатын жиын деп аталатын берiлген екi жиын арасындағы сәйкестiк, тәуелдiлiк, анықталу жиынының әр элементiне қолданылатын ереже, тәртiп, заң, амал, алгоритм ретiнде
2. Функция анықтамасындағы үш элементтiң бiрi – функция аргументi немесе тәуелсiз айнымалысы деп аталатын анықталу жиынының кез келген элементiн бейнелейтiн символ 3. Функция анықтамасындағы үш элементтiң келесiсi – аргумент не тәуелсiз айнымалыға қолданылатын ереже, тәртiп, заң, амал, алгоритм және оның белгiлеулерi, нәтижесiнде анықталу және мәндер қабылданатын жиындарының арасында орнатылған тәуелдiлiк, сәйкестiк
4. Функция анықтамасындағы үш элементтiң соңғысы – функцияның мәнi деп аталатын аргументтiң әрбiр мәнiне ереже қолдану нәтижесiнде мәндер қабылданатын жиыннан сәйкес қойылатын 0 де емес, 2 де емес, т.с.с. басқа да емес тек 1 ғана – жалғыз(!) мән
5. Функциялар теңдiгi – анықталу жиындары ортақ екi функцияның аргументтiң әрбiр мәнiнде сәйкес осы екi функциялар мәндерiнiң өзара тең болуы, яғни теңдiк таңбасының бiр қолданысы болатын тепе-теңдiктi сақтауы
6. Табиғаты кез келген ортақ анықталу жиынды, мәндерi қабылданатын жиын сандық жиын болатын нақты мәндi функцияларға арифметикалық амалдар қолдану арқылы жаңа функцияларды анықтау – анықталу жиынының әр нүктесiнде сол нүктедегi функция мәндерiне аталмыш арифметикалық амалдар орындалады да, оның нәтижесi мақсатты функцияның мәнi ретiнде қабылданады
7. Iшкi және сыртқы деп аталатын, екiншiсi бiрiншiсiнiң мәндер жиынын қамтитын жиында берiлген екi функция арқылы анықталатын күрделi функция не сол функциялар суперпозициясы – сыртқы функцияның аргументiн iшкi функцияға ауысту, нәтижесiнде iшкi функцияның анықталу жиынының әр нүктесiнде бiрiнен кейiн бiрiн, әуелi iшкi, сонан соң ол функцияның мәнiне сыртқы ереженi қолдану
8. Функция анықтамасындағы алгоритм түрiнде берiлетiн ереже – айнымалыларға қолданылатын ереженi бiрiнен соң бiрi кезекпен орындалатын амалдар тiзбесiне жiктеу
9. Тағы да формула туралы және функцияның формула арқылы берiлуi – формуланың ереже ретiнде оқылуы, ол орындалатын барлық нүктелер функцияның анықталу жиынын құрауы
10. Негiзгi элементар және элементар функциялар – негiзгi эдементар деп аталатын дәрежелiк, көрсеткiштiк, логарифмдiк, тригонометриялық және керi тригонометриялық 5 түрлi функцияларға төрт арифметикалық амал мен күрделi функция құрудан тұратын 5 түрлi амалдарды ақырлы рет қолдану қорытындысындағы элементар деп аталатын функция
11. Функцияның берiлген жиынынан оның жиыншасына тарылуы – жиынның әр элементiне қолданылған ереженiң қолдану өрiсiн оның жиыншасына тарылтып, берiлген жиында анықталған функцияның тарылуы болатын жиыншадағы жаңа функцияның анықталуы
Bulletin of L.N. Gumilyov ENU. Mathematics. Computer science. Mechanics series, 2021, Vol. 135, №2
